Предел функции и непрерывность Flashcards
Предельная точка
Точка a называется точкой сгущения (предельной точкой) множества X∈R, если ∀ её проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку из X
Определение предела функции
Пусть a - предельная точка D(f) функции f. Говорят, что f(x)→A при x→a, если:
1) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D(f) 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-A|<ε
2) Для ∀ последовательности xn∈D(f), xn≠a, lim (xn) = a при n→∞ верно, что lim(f(xn))=A при n→∞
Односторонние пределы
1) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D(f) 0<x-a<δ (0<a-x<δ) верно, что |f(x)-A|<ε
2) ∀ последовательности xn → a xn>a (xn<a) верно, что f(xn)→A
Бесконечный предел
1) ∀M>0 ∃δ>0 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)|>M
2) ∀xn → a, xn≠a lim(f(xn)) = ∞ при n→∞
Лемма о связи предела функции и односторонних пределов
lim f(x) = A при x→a ⇔ lim f(x) при x→a+0 = lim f(x) при x→a-0 = A
Предел в бесконечности
1) ∀ε>0 ∃M>0 |x|>M ⇒|f(x)-A|<ε
2) ∀xn →∞ lim f(xn) = A при n→∞
Лемма о неравенстве с пределом
Если ∃lim f(x) = A при x→a и A>P (A<P), то для x, достаточно близких к a, f(x)>P (<P)
Лемма о пределе и ограниченности функции
Если ∃lim f(x) = A при x→a - конечный предел, f ограничена при x, достаточно близких к a
Предел суммы, произведения, частного
Если ∃lim f(x) = A при x→a и ∃lim g(x) = B при x→a, то функции f±g и fg имеют конечные пределы, причём lim (f(x)±g(x)) = A±B при x→a; lim (f(x)g(x)) = AB при x→a
Если B≠0, то ∃ конечный предел функции f/g, lim (f(x)/g(x)) = A/B при x→a
Критерий Коши
∃lim f(x) при x→a - конечный ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0:
0<|x-a|<δ; 0<|x’-a|<δ ⇒ |f(x)-f(x’)|<ε
Непрерывность
D(f) - область определения функции f
x0∈D(f) - предельная точка D(f)
f(x) непрерывна в x0, если:
1) lim f(x) = f(x0) при x→x0
2) ∀ε>0 ∃δ>0: |x-x0|<δ ⇒|f(x)-f(x0)|<ε
3) ∀ последовательности xn∈D(f) xn→x0 ∃limf(xn) при n→∞ = f(x0
В противном случае f имеет разрыв в т. x0.
Лемма о монотонной функции на отрезке
Пусть f возрастает (убывает) на отрезке [a,b] и на нём принимает значения из отрезка [f(a), f(b)] {[f(b), f(a)]}
Если при этом значения функции заполняют весь отрезок [f(a), f(b)] {[f(b), f(a)]}, то f непрерывна на [a,b].
Непрерывность суперпозиции функций
Пусть f непрерывна на X, g непрерывна на У, где f(X)⊂У. Тогда gof непрерывна на X.
Теоремы Больцано-Коши
1) Пусть f непрерывна на отрезке [a,b]. Если f(a)f(b)<0, то ∃c∈(a,b), т.ч. f(c)=0.
2) Пусть f непрерывна на [a,b], f(a)=A, f(b)=B, A≠B. Тогда ∀C, лежащего между A и B, ∃c∈(a,b), т.ч. f(c)=C.
Теоремы Вейерштрасса
1) Пусть f непрерывна на [a,b]. Тогда f ограничена на [a,b].
2) Пусть f непрерывна на [a,b]. Тогда она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на [a,b].
