Предел последовательности

Question 1

Сходящаяся последовательность

Answer 1

Последовательность называется сходящейся, если ∃A∈R такое, что:
∀ε>0 ∃N(ε)∈N: ∀n>N(ε) |an - A|<ε
В противном случае an - расходящаяся последовательность
A - предел последовательности an

Question 1

Последовательность

Answer 1

Произвольное отображение f: N→R
f(n) - члены последовательности
{an}, где an = f(n)

Question 2

Лемма с простейшими свойствами сходящихся последовательностей (а,б,в)

Answer 2

а) Свойство сходимости и значение предела (если он ∃) не изменяются при замене или отбрасывании конечного числа членов последовательности
б) Последовательность не может сходиться к двум разным пределам
в) Если lim(an) = A при n→∞ и A<M (A>M), то, начиная с некоторого номера, и an<M (an>M)

Question 3

Ограниченность последовательности

Answer 3

Последовательность an называется ограниченной сверху (снизу), если множество {an} ограничено сверху (снизу), т.е. ∃M∈R: an≤M (an≥M)

В противном случае an называется не ограниченной сверху (снизу). Тогда пишут sup(an)=+∞ (inf(an)=-∞)

Если an ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной. В противном случае она называется неограниченной.

Question 4

Лемма об ограниченности сходящейся последовательности

Answer 4

Сходящаяся последовательность ограничена

Question 5

Лемма о действиях с пределами

Answer 5

⟧an, bn - сходящиеся последовательности
lim(an) при n↦∞ = A, lim(bn) при n↦∞ = B, тогда:

а) αan, an±bn, anbn - тоже сходящиеся последовательности
lim(αa) при n↦∞ = αA
lim(an±bn) при n↦∞ = A±B
lim(anbn) при n↦∞ = A*B

б) если lim(bn) при n↦∞ ≠ 0, то an/bn - сходящаяся и lim(an/bn) при n↦∞ = A/B

Question 6

Лемма о переходе в неравенствах с пределами

Answer 6

Пусть последовательности an и bn - сходящиеся и, начиная с некоторого номера, an≥bn
Тогда lim(an)≥lim(bn) при n→∞

Question 7

Лемма о сжатии последовательности

Answer 7

⟧an, bn - сходящиеся и lim(an)=lim(bn)=a (при n→∞)
Если cn: an≤cn≤bn, начиная с некоторого номера, то cn - тоже сходящаяся последовательность и lim(cn) = a при n→∞

Question 8

Бесконечно малая последовательность

Answer 8

Последовательность an называется бесконечно малой (б.м.), если lim(an) при n→∞ = 0

Question 9

Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательности

Answer 9

⟧an - б.м., bn - ограниченная, тогда an*bn - б.м.

Question 10

Последовательность с бесконечным пределом

Answer 10

lim(an) при n→∞ = +∞ (или -∞, или ∞), если ∀k>0 ∃N(k)∈N: ∀n>N(k) an>k (an<-k, |an|>k)

Question 11

Бесконечно большая последовательность

Answer 11

Если lim(an) при n→∞ = ±∞ или ∞, то an называется бесконечно большой (б.б.)

Question 12

Лемма о связи б.м. с б.б.

Answer 12

а) ⟧an - б.м. и an≠0, тогда 1/an - б.б.
б) ⟧an - б.б. и an≠0, тогда 1/an - б.м.

Question 13

Теорема Штольца

Answer 13

⟧yn →+∞ и, начиная с некоторого номера, y(n+1)>yn
Тогда lim(xn/yn) при n→∞ = lim(xn - x(n-1)/yn-y(n-1)) при n→∞, если lim справа существует (конечный или ±∞)

Question 14

(Строго) возрастающая/убывающая последовательность

Answer 14

Последовательность an называется (строго) возрастающей/убывающей, если a(n+1)≥an (a(n+1)>an)/ a(n=1)≤an (a(n+1)<an) ∀n∈N

Question 15

Монотонная последовательность

Answer 15

Последовательность an называется монотонной, если она возрастает или убывает

Question 16

Теорема о пределе монотонной последовательности

Answer 16

⟧ последовательность an возрастает и ограничена сверху (убывает и ограничена снизу), тогда она имеет конечный предел. Если условие ограниченности не выполняется, то предел равен +∞ (-∞).

Question 17

Лемма об убывающей и возрастающей последовательностях

Answer 17

⟧ xn возрастает, yn убывает, причём xn<yn ∀n∈N. Если lim (yn-xn) = 0 при n→∞, то ∃ lim(xn) = lim(yn) при n→∞.

Question 18

Теорема о вложенных отрезках

Answer 18

⟧ дана последовательность вложенных отрезков [an, bn]⊂…⊂[a2, b2]⊂[a1, b1], причём lim(bn-an) = 0 при n→∞. Тогда ∃! C: ∩[an, bn] = {C}.

Question 19

Вложенный отрезок

Answer 19

[a1, b1] вложен в [a,b] ⇔ [a1, b1] ⊂ [a, b].

Question 20

Подпоследовательность

Answer 20

⟧an - последовательность, nk - строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность bk = ank называется подпоследовательностью последовательности an (частичной последовательностью)

Question 21

Лемма о подпоследовательности

Answer 21

⟧an - сходящаяся последовательность, lim(an)=a при n→∞. Тогда ∀ её подпоследовательность сходится и lim(bk)=a при k→∞.

Question 22

Частичный предел

Answer 22

⟧ ank - подпоследовательность an. Если ∃ lim(ank) = a при n→∞, то a - частичный предел an.

Question 23

Верхний и нижний пределы

Answer 23

Верхний (нижний) предел последовательности an - это точная верхняя (нижняя) граница множества её частичных пределов

Question 24

Лемма о последовательностях Mk, mk

Answer 24

Mk = sup {ak, a(k+1),…,an,…}
mk = inf {ak, a(k+1),…,an,…}
Пусть последовательность an ограничена. Тогда последовательности Mk, mk сходятся.

Question 25

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Answer 25

Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Question 26

Лемма с 4 утверждениями о M* и M∗

Answer 26

1)* ∀ε>0 ∃N1∈N: ∀n>N1 an<M+ε
2) ∀ε>0 ∀N2∈N ∃n>N2 an>M-ε
1)∗ ∀ε>0 ∃N3∈N: ∀n>N3 an>M∗ -ε
2)∗ ∀ε>0 ∀N4∈N ∃n>N4 an<M+ε

Question 27

Лемма о последовательности an и её частичных пределах (M* и M∗)

Answer 27

M*, M∗ - частичные пределы последовательности an

Question 28

Лемма о связи верхнего (нижнего) предела с M* и M∗

Answer 28

M* - верхний предел an, M∗ - нижний предел an

Question 29

Теорема о связи свойства сходимости и верхних (нижних) пределов

Answer 29

an сходится ⇔ Верхний предел an = Нижний предел an

Question 30

Критерий Коши

Answer 30

an сходится ⇔ ∀ε>0 ∃N∈N: ∀n, m>N |an-am|<ε