Дифференцирование

Question 1

Производная

Answer 1

Пусть f задана на X⊂R
lim( f(x0+Δx) - f(x0)/Δx) при Δx→0 называется производной f в точке x0

Question 2

Лемма о приращении функции (+следствие)

Answer 2

Если f имеет в точке x0 конечную производную, то Δf = f′(x0)Δx + o(Δx)

Следствие: если f имеет конечную производную в точке x0, то f непрерывна в точке x0 (обратное неверно!)

Question 3

Лемма о производной суперпозиции

Answer 3

Пусть f имеет конечную производную в точке x0, а g в точке y0 = f(x0):
Тогда gof имеет конечную производную в точке x0, причём (gof)’(x0) = g’(f(x0))*f’(x0)

Question 4

Обратная функция

Answer 4

Пусть f задана на X, Y = f(X). g, заданная на Y, называется обратной f, если:
1) (gof)(x) = x на X
2) (fog)(y) = y на Y

Question 5

Лемма о производной обратной функции

Answer 5

Пусть f имеет конечную производную в точке x0, g - обратная к f. Тогда g имеет конечную производную, не равную 0, в точке y0 = f(x0), причём g’(y0) = 1/(f’(x0)) = 1/(f’(g(y0)))

Question 6

Дифференцируемая функция

Answer 6

f называется дифференцируемой в точке x0, если ∃A∈R:
Δf(x) = f(x0+Δx) - f(x0) = AΔx + o(Δx) при Δx→0
df(x0) = AΔx - дифференциал f в точке x0

Question 7

Критерий дифференцируемости функции

Answer 7

Функция f дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда ∃ конечная производная f’(x0)

Question 8

Лемма о связи производной и изменения значения функции

Answer 8

Пусть f имеет производную в точке x0. Если f’(x0)>0 (f’(x0)<0), то ∃δ>0:
f(x)>f(x0) ∀x∈(x0, x0+δ) (f(x)<f(x0))
f(x)<f(x0) ∀x∈(x0-δ, x0) (f(x)>f(x0))

Question 9

Теорема Ферма

Answer 9

Пусть f определена в некотором промежутке и во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке ∃f’(c), то f’(c)=0.

Question 10

Теорема Ролля

Answer 10

Пусть:
1) f определена и непрерывна в [a,b]
2) f дифференцируема в каждой точке (a,b)
3) f(a)=f(b)
Тогда ∃c∈(a,b), т.ч. f’(c)=0.

Question 11

Теорема Лагранжа

Answer 11

Пусть f определена и непрерывна в [a,b] и имеет конечную производную в (a,b). Тогда ∃c∈(a,b), т.ч. (f(b)-f(a))/(b-a) = f’(c).

Question 12

Теорема Коши

Answer 12

Пусть g и f заданы и непрерывны в [a,b] и имеют конечные производные в (a,b), причём g’(x)≠0 при x∈(a,b). Тогда ∃c∈(a,b), т.ч. (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f’(c)/g’(c).

Question 13

Лемма об остатке в формуле Тейлора (форма Пеано)

Answer 13

Пусть f имеет конечные производные до порядка n включительно в некоторой окрестности (x0-δ, x0+δ) и n-ая производная непрерывна в точке x0. Тогда rn(x) = o((x-x0)^n) при x→x0.

Question 14

Остаток в форме Лагранжа

Answer 14

Пусть f’(x)… (n+1) производная f(x) существуют в окрестности точки x0. Существует c между x и x0, т.ч.

f(x) = f(x0) + f’(x0)(x-x0)… + ((n+1) производная f в т. c/(n+1)!)(x-x0)^(n+1)

Question 15

Лемма о производной константы

Answer 15

Пусть f определена и непрерывна в [a,b] и имеет конечную производную на (a,b). Функция f постоянна на [a,b] ⇔ f’(x) = 0 на (a,b).

Question 16

Лемма о производной монотонной функции

Answer 16

Пусть f задана и непрерывна в промежутке X и во внутренних точках этого промежутка имеет конечную производную. Для того чтобы f возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы f’(x)≥0 (f’(x)≤0)

Question 17

Лемма о производной строго монотонной функции

Answer 17

Пусть f задана и непрерывна в промежутке X и во внутренних точках этого промежутка имеет конечную производную. Функция f строго возрастает (строго убывает) тогда и только тогда, когда f’(x)≥0 (f’(x)≤0) внутри X и f’(x) не обращается в 0 ни на каком промежутке, лежащем в X.

Question 18

Точка максимума/минимума

Answer 18

Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции f, если существует такой интервал (x0-δ, x0+δ)⊂X, что f(x0)≥f(x) (f(x0)≤f(x)) ∀x∈(x0-δ, x0+δ)

Question 19

Необходимое условие экстремума (лемма)

Answer 19

Пусть f задана на X и во внутренней точке x0∈X имеет экстремум. Если существует f’(x0), то f’(x0)=0.

Question 20

Лемма о точке экстремума

Answer 20

Пусть в точке x0 f’(x0)=0 или f’(x0) не существует. Пусть ещё f’(x) существует в окрестности точки x0 при некоторой δ>0 и сохраняет в каждом из интервалов (x0-δ, x0), (x0, x0+δ). Возможны 3 случая:
1 (2). f’ при переходе черех x0 меняет знак с + на - (с - на +). Тогда x0 - точка максимума (минимума)
3. f’ при переходе через точку x0 не меняет знака. Тогда экстремума в точке x0 нет.

Question 21

Лемма о связи точек экстремума и второй производной

Answer 21

Пусть f определена на X, имеет конечную производную в некотором интервале (x0-δ, x0+δ)⊂X, f’(x0)=0, существует f’‘(x0). Тогда, если f’‘(x0)>0, то x0 - точка минимума; если f’‘(x0)<0, то x0 - точка максимума.

Question 22

Лемма о связи n-ой производной и экстремумов

Answer 22

Пусть f имеет в окрестности точки x0 производные до порядка n включительно, а n-ая производная непрерывна в точке x0. Пусть ещё f’(x0)=f’‘(x0)=…f (n-1) (x0) = 0. f (n) (x0) ≠0.
Если n нечётно, то в x0 нет экстремума. Если n четно, то при f (n) (x0) > 0 x0 - точка минимума, при f(n) (x0) < 0 x0 - точка максимума.