Комплексные числа

Question 1

Комплексное число

Answer 1

z = (a,b); a,b∈R - упорядоченная пара
z = a + bi

Question 2

Операции с комплексными числами

Answer 2

z = (a,b); w=(u,v)
z = a + bi; w = u+vi
1) z=w: a=u, b=v
2) z+w: ((a+u),(b+v))
(a+u)+(b+v)i
3) z*w: (au-bv,av+bu)
(au-bv)+(av+bu)i

Question 3

Вычитание и деление комплексных чисел

Answer 3

1) w = z1-z2 ⇔ z1 = w+z2
2) w=z1/z2 ⇔ z1=w*z2

Question 4

Комплексное сопряжённое

Answer 4

]z - комплексное число
z̅ = a - bi
z1 = z2 ⇔ z̅1̅ = z̅2̅
z̅1̅z̅2̅ = z̅1̅ * z̅2̅
z̅1̅̅+̅̅z̅2̅ = z̅1̅+z̅2̅
w̅ = z̅1̅/z̅2̅
z+z̅ = 2a = 2Rez
z-z̅ = 2b = 2Imz
⟧|z| = √a̅²̅+̅b̅²̅ ⇒ zz̅=|z|²
z1/z2 = z1*z̅2̅/|z2|²

Question 5

Тригонометрическая запись комплексного числа

Answer 5

z = r(cos(φ) + i*sin(φ))

Question 6

Показательная форма комплексного числа

Answer 6

z = re^(iφ)

Question 7

Формулы Эйлера

Answer 7

cos(φ)+i*sin(φ)=e^(iφ)

cos(φ) = (e^(iφ)+e(-iφ))/2

sin(φ)=(e^(iφ)-e(-iφ))/2i

Question 8

Комплексная экспонента

Answer 8

e^z = e^(a+bi) = e^(a)*e^(bi)

Question 9

Синус и косинус комплексного числа

Answer 9

sin(z) = (e^(iz)-e^(-iz))/2i

cos(z) = (e^(iz)+e^(-iz))/2

Question 10

Арксинус комплексного числа

Answer 10

Arcsin(z) = {w: sin(w) = z}
w = -i*Ln(iz+√1̅-̅z̅²̅)

Question 11

Логарифм комплексного числа

Answer 11

Ln(z) = {w: e^(w)=z}
Ln(z) = ln(r) + i(φ+2πk), k∈Z

Question 12

Комплексная степень

Answer 12

z1^(z2) = e^(z2*Ln(z1))

Question 13

Комплексное число в степени n

Answer 13

z^(n) = r^(n)*e^(inφ)

Question 14

Корень n-ой степени из комплексного числа

Answer 14

(n)√z̅ = {w: w^(n) = z}
(n)√z̅ = (n)√(|z|²) * e^(i*((1/n)arg(z)+2πk/n), k∈Z

Question 15

Гиперболические функции

Answer 15

sh x = e^x-e^(-x)/2

ch x = e^x+e^(-x)/2

Question 16

Arsh(z)

Answer 16

Arsh(z) = {w: sh(w)=z}

Arsh(z) = Ln(z+√z̅^̅2̅+̅1̅