Zahlensysteme Flashcards by Klara R.

Zahlensysteme

Binärsystem/ Dualsystem Basis 2
Oktalsystem Basis 8
Dezimalsystem Basis 10
Hexadezimalsystem Basis 16

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Binärsystem

entworfen von Gottfried Wilhelm Leibniz
anfang des 18. Jh
zwei Ziffern zur Verfügung
Dualzahl: besteht aus nullen und einsen
erscheint unpraktisch, aber mittels integrierter Schaltungen (ICS) lassen sich sehr komplexe Rechenwerke erstellen und können äußerst effizient die vier Grundrechenarten ausführen

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Zahlendarstellung

Erfindung von Zahlensystemen und Verarbeitung von Zahlenstellen
=> Beginn der Datenverarbeitung
Entwicklung von Rechnern begann mit Erfindung von Zahlenzeichen und Zahlensystemen
Abbildung auf Zahlen erlaubt Quantifizierung unterscheidbarer Objekte (z.B.: Tiere auf der Herde)
Darstellung von Zahlen kann sehr unterschiedlich sein

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Römisches Zahlensystem

kein Zeichen für null
Wert hängt von Form und Anzahl der Zeichen ab => Additionssystem
I=1
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000

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Additionssysteme

Wert durch addieren der Werte der Ziffern

Postition spielt keine Rolle => Römisches Zahlensystem, Strichliste

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Unärsystem

eine Ziffer

z.B.: Strichliste

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Positionssysteme

auch Stellenwertsysteme genannt
Wert hängt von Form und Position ab
einfache Rechenregeln
z.B.:
unser Zahlensystem: aus Indien => arabische Zahlen
alle Informationen im Rechner => Abfolge 0 und 1
Unterscheidung von nur zwei Zuständen

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Informationen und Daten

Informatik ist die automatisierte Verarbeitung von Informationen
Informationen werden im Computer durch Daten repräsentiert
Repräsentation muss derart gewählt werden, dass aus den Daten Informationen wiederhergestellt werden können
Prozess der Interpretation von Daten nennt man Abstraktion
Informationen = Abstraktion=> Daten
<=Repräsentation= Daten

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Informationsarten eines Rechners

Anwendersicht: unterschiedlich, z.B.: Video, Audio

Technische Sicht: alle gleich => Daten interpretiert => in für Menschen lesbarer Form ausgegeben

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Elektronischer Schalter

Werte lassen sich mittels elektronischer Spannungen unterscheiden
0=> keine Spannung Aus
1=> Spannung An
elektronische Bauteile: Relais, Röhren, Transistoren

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Kodierungsmöglichkeiten binäre Informationen

Ladung 0 ungeladen, 1 geladen
Spannung 0 Volt 0, 5 Volt 1
Magnetisierung 0 unmagnetisiert, 1 magnetisiert

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Bit

kleinstmögliche Einheit der Information
zwei Möglichkeiten
0 falsch, nein
1 wahr, ja

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Bitfolgen

arbeitet der Computer mit z.B.: 01

2 Bit=> 4 Antworten

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Byte

Bits: Gruppen von Bits
Rechner arbeiten nur mit Gruppen von bits
8 Bit=> 1 Byte=> 2 Nibble => 2 Hex-Ziffern
8 Bit-Rechner, 16 Bit-Rechner,…

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Wort

kleinste addressierbare Einheit
Gruppen 
2 Byte Wort
4 Byte Doppelwort
8 Byte Quadwort
uneinheitlich: z.B.: bei 32 Bit-System: Wort auch für Gruppen von 4 Byte

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Speicher Metrische Präfixe

1 Kilobyte KB 10^3 1000
Megabyte MB 10^6 1000000
Gigabyte GB 10^9 1000000000
Terabyte TB 10^12
Petabyte
Exabyte
Zettabyte
Yottabyte

Speicher binäre Präfixe

Kibibyte KiB 2^10
Mebibyte MiB 2^20
Gibibyte GiB 2^30
Tebibyte TiB 2^40
Pebibyte PiB 2^50
Exbibyte EiB 2^60
Zebibyte ZiB 2^70
Yobibyte YiB 2^80

Probleme bei der Verwendung der Präfixe

Speichermedienhersteller nutzen metrische Präfixe 10^3, 10^6,…
Betriebssysteme: zeigen zwar die Dezimalpräfixe an (KB, MB,..) rechnen aber die Größe in die Binärwerte (GiB, TiB) um
dies hat zur Folge, dass eine 1 TB große Festplatte vom Betriebssystem mit ungefähr 0,909 TB Größe angegeben wird, richtig wären 931 GiB/0,909 TiB oder 1000 GB/1TB

Hornerschema

umwandeln positiver Dezimalzahlen in Binärsystem
6
6:2=3 R0
3:2=1 R1
1:2=0 R1
110
darstellbare positive ganze Zahlen im Binärsystem: 
Bit (n) 1            2     4
Zahl (2^n-1) 1   3     15
n-1, weil die 0 keine positive Zahl ist

Hexadezimalsystem

16 Ziffern zur Verfügung (0-9, A-F)
leserlicher 11001011=CB
Präfix 0X z.B.: 0XCB

Addieren von Binärzahlen

Problem: arithmetrischer Überlauf
kann sein, dass die neue Zahl nicht gespeichert werden kann
Overflow => kann zu Abstürzen führen, fehlerhaften Rechnungen

Subtrahieren von Binärzahlen

Umwandeln der zahl, die man abzieht zum Einerkomplement
=> invertieren 0000=> 1111
in die Zweierkomplement: +1
dann normal addieren
=> Das Ergebnis ist in Zweierkompenentendarstellung
evtl Überlauf entfällt

Konvertieren von Zweierkomplementdarstellung ins Dezimalsystem

Erste Stelle
0 => positiv: wie bisher
1 => negative: 
invertieren: 1110 zu 0001
plus 1 => 0010
in x10=> 2
minus davor -2

Dividieren von Binärzahlen

bei einer Division mit Ganzzahlen können Ergebnisse mit Nachkommastellen entstehen
bei ganzzahligen Datentypen werden diese abgeschnitten

Möglichkeiten der Darstellung von positiven/negativen Ganzzahlen

Vorzeichenbit Einerkomplement Zweierkomplement

Vorzeichenbit bei positiven/negativen Zahlen

``` linkes bit gibt an ob die zahl positiv oder negativ ist 0=> positiv 1=> negativ +7, -7 Problem: zwei Nullen 0000 und 1111 ```

Einerkomplement bei positiven/negativen Zahlen

``` alle Bits werden invertiert +7, -7 auch zwei mal die null Nachteile: zwei mal die null Binäraddition nur in abgewandter Form ```

Zweierkomplement bei positiven/negativen Zahlen

``` invertieren (Einerkomplement bilden) in Zweierkomplement: +1 +7,-8 Vorteile: eine null Vorzeichen an einem Bit ablesbar 1=>- 0=>+ keine besonderen Steuerlogiken in digitalen Schaltungen notwendig (passt zu Funktionsweise eines Rechners) Grundrechenarten wie gewohnt Nachteile: assymmetrischer Zahlenbereich (nicht jedes -x hat x) ```

Darstellung rationaler Zahlen

können in binär dargestellt werden Festpunktdarstellung=> nicht angewandt Anzahl der Stellen sind vorgegeben, wo das Komma ist Gleitpunkt-/Fließkommadarstellung

Gleitpunkt-/Fließkommadarstellung | allgemein

``` IEEE 754 Vorzeichenbit 0=>+ 1=>- Exponent: legt den Wertebereich fest (große, kleine Zahl) Matisse: Genauigkeit vier Darstellungen: single single extended double double extended ``` 64 Bit genauer als 32 Bit Gleitkommazahl

Single precision Gleitkommazahl

Vorzeichen: 1 Bit Exponent: 8 Bit Mantisse: 23 Bit kleinste darstellbare Zahl: -1,4*10^-45 ist ein Ergebnis oder das Zwischenergebnis kleiner als die kleinste Zahl, wird auf null gerundet größte Zahl: 3403*10^38 => nicht alle Zahlen dazwischen sind darstellbar

Bestandteile Gleitpunktdarstellung

Vorzeichen: 0=> + und 1=> - Exponent: wird nicht direkt gespeichert, sondern um 127 erhöht (Zahlen von -127 bis 128) z.B.: 0 statt 0000 0000 dann: 0111 1111 Mantisse: Wert 2^n an der Stelle n (von links gezählt) 1 (0,5), 1 (0,25) , 1 (0,125),...

binäre Gleitkommazahl in Dezimalzahl

``` bei positiver Zahl: z= (1+m)*2^exp-127 bei negativer Zahl: z= - (1+m)*2^exp-127 bsp: 0=> positive Zahl Mantisse berechnen: 2^-n+2^-n,... vorläufiger Exponent ```

Dezimalzahl in binäre Gleitkommazahl

Mantisse berechnen: 1. Berechnen des ganzzahligen Anteils mittels Hornerschema ganzzahligen Anteil solange durch 2 Teilen, bis 0 rauskommt, Rest umkippen 2. Nachkommastellen mit modifiziertem Hornerschema das hinter der kommazahl, mit 0, davor solange durch 2 teilen bis genug Stellen vorhanden sind => größer 1 ist 1, kleiner 1 ist 0=> nicht umkippen Bestimmung des Exponenten: Mantisse solange nach rechts oder links verschieben, bis 1 Zahl vor dem Komma steht=> nach 23 Bit abschneiden (ganzzahliger Anteil, gebrochener Anteil=> Komma verschieben) Exponent dann 2^n n ist die Anzahl wie weit es verschoben wurde, dann um 127 erhöht Problem: beim abschneiden geht Genauigkeit verloren mehr Berechnungen=> ungenauer