Zahlensysteme Flashcards
Zahlensysteme
Binärsystem/ Dualsystem Basis 2
Oktalsystem Basis 8
Dezimalsystem Basis 10
Hexadezimalsystem Basis 16
Binärsystem
entworfen von Gottfried Wilhelm Leibniz anfang des 18. Jh zwei Ziffern zur Verfügung Dualzahl: besteht aus nullen und einsen erscheint unpraktisch, aber mittels integrierter Schaltungen (ICS) lassen sich sehr komplexe Rechenwerke erstellen und können äußerst effizient die vier Grundrechenarten ausführen
Zahlendarstellung
Erfindung von Zahlensystemen und Verarbeitung von Zahlenstellen
=> Beginn der Datenverarbeitung
Entwicklung von Rechnern begann mit Erfindung von Zahlenzeichen und Zahlensystemen
Abbildung auf Zahlen erlaubt Quantifizierung unterscheidbarer Objekte (z.B.: Tiere auf der Herde)
Darstellung von Zahlen kann sehr unterschiedlich sein
Römisches Zahlensystem
kein Zeichen für null Wert hängt von Form und Anzahl der Zeichen ab => Additionssystem I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000
Additionssysteme
Wert durch addieren der Werte der Ziffern
Postition spielt keine Rolle => Römisches Zahlensystem, Strichliste
Unärsystem
eine Ziffer
z.B.: Strichliste
Positionssysteme
auch Stellenwertsysteme genannt
Wert hängt von Form und Position ab
einfache Rechenregeln
z.B.:
unser Zahlensystem: aus Indien => arabische Zahlen
alle Informationen im Rechner => Abfolge 0 und 1
Unterscheidung von nur zwei Zuständen
Informationen und Daten
Informatik ist die automatisierte Verarbeitung von Informationen
Informationen werden im Computer durch Daten repräsentiert
Repräsentation muss derart gewählt werden, dass aus den Daten Informationen wiederhergestellt werden können
Prozess der Interpretation von Daten nennt man Abstraktion
Informationen = Abstraktion=> Daten
<=Repräsentation= Daten
Informationsarten eines Rechners
Anwendersicht: unterschiedlich, z.B.: Video, Audio
Technische Sicht: alle gleich => Daten interpretiert => in für Menschen lesbarer Form ausgegeben
Elektronischer Schalter
Werte lassen sich mittels elektronischer Spannungen unterscheiden
0=> keine Spannung Aus
1=> Spannung An
elektronische Bauteile: Relais, Röhren, Transistoren
Kodierungsmöglichkeiten binäre Informationen
Ladung 0 ungeladen, 1 geladen
Spannung 0 Volt 0, 5 Volt 1
Magnetisierung 0 unmagnetisiert, 1 magnetisiert
Bit
kleinstmögliche Einheit der Information
zwei Möglichkeiten
0 falsch, nein
1 wahr, ja
Bitfolgen
arbeitet der Computer mit z.B.: 01
2 Bit=> 4 Antworten
Byte
Bits: Gruppen von Bits
Rechner arbeiten nur mit Gruppen von bits
8 Bit=> 1 Byte=> 2 Nibble => 2 Hex-Ziffern
8 Bit-Rechner, 16 Bit-Rechner,…
Wort
kleinste addressierbare Einheit Gruppen 2 Byte Wort 4 Byte Doppelwort 8 Byte Quadwort uneinheitlich: z.B.: bei 32 Bit-System: Wort auch für Gruppen von 4 Byte
Speicher Metrische Präfixe
1 Kilobyte KB 10^3 1000 Megabyte MB 10^6 1000000 Gigabyte GB 10^9 1000000000 Terabyte TB 10^12 Petabyte Exabyte Zettabyte Yottabyte
Speicher binäre Präfixe
Kibibyte KiB 2^10 Mebibyte MiB 2^20 Gibibyte GiB 2^30 Tebibyte TiB 2^40 Pebibyte PiB 2^50 Exbibyte EiB 2^60 Zebibyte ZiB 2^70 Yobibyte YiB 2^80
Probleme bei der Verwendung der Präfixe
Speichermedienhersteller nutzen metrische Präfixe 10^3, 10^6,…
Betriebssysteme: zeigen zwar die Dezimalpräfixe an (KB, MB,..) rechnen aber die Größe in die Binärwerte (GiB, TiB) um
dies hat zur Folge, dass eine 1 TB große Festplatte vom Betriebssystem mit ungefähr 0,909 TB Größe angegeben wird, richtig wären 931 GiB/0,909 TiB oder 1000 GB/1TB
Hornerschema
umwandeln positiver Dezimalzahlen in Binärsystem 6 6:2=3 R0 3:2=1 R1 1:2=0 R1 110 darstellbare positive ganze Zahlen im Binärsystem: Bit (n) 1 2 4 Zahl (2^n-1) 1 3 15 n-1, weil die 0 keine positive Zahl ist
Hexadezimalsystem
16 Ziffern zur Verfügung (0-9, A-F)
leserlicher 11001011=CB
Präfix 0X z.B.: 0XCB
Addieren von Binärzahlen
Problem: arithmetrischer Überlauf
kann sein, dass die neue Zahl nicht gespeichert werden kann
Overflow => kann zu Abstürzen führen, fehlerhaften Rechnungen
Subtrahieren von Binärzahlen
Umwandeln der zahl, die man abzieht zum Einerkomplement
=> invertieren 0000=> 1111
in die Zweierkomplement: +1
dann normal addieren
=> Das Ergebnis ist in Zweierkompenentendarstellung
evtl Überlauf entfällt
Konvertieren von Zweierkomplementdarstellung ins Dezimalsystem
Erste Stelle 0 => positiv: wie bisher 1 => negative: invertieren: 1110 zu 0001 plus 1 => 0010 in x10=> 2 minus davor -2
Dividieren von Binärzahlen
bei einer Division mit Ganzzahlen können Ergebnisse mit Nachkommastellen entstehen
bei ganzzahligen Datentypen werden diese abgeschnitten
Möglichkeiten der Darstellung von positiven/negativen Ganzzahlen
Vorzeichenbit
Einerkomplement
Zweierkomplement
Vorzeichenbit bei positiven/negativen Zahlen
linkes bit gibt an ob die zahl positiv oder negativ ist 0=> positiv 1=> negativ \+7, -7 Problem: zwei Nullen 0000 und 1111
Einerkomplement bei positiven/negativen Zahlen
alle Bits werden invertiert \+7, -7 auch zwei mal die null Nachteile: zwei mal die null Binäraddition nur in abgewandter Form
Zweierkomplement bei positiven/negativen Zahlen
invertieren (Einerkomplement bilden) in Zweierkomplement: +1 \+7,-8 Vorteile: eine null Vorzeichen an einem Bit ablesbar 1=>- 0=>+ keine besonderen Steuerlogiken in digitalen Schaltungen notwendig (passt zu Funktionsweise eines Rechners) Grundrechenarten wie gewohnt Nachteile: assymmetrischer Zahlenbereich (nicht jedes -x hat x)
Darstellung rationaler Zahlen
können in binär dargestellt werden
Festpunktdarstellung=> nicht angewandt
Anzahl der Stellen sind vorgegeben, wo das Komma ist
Gleitpunkt-/Fließkommadarstellung
Gleitpunkt-/Fließkommadarstellung
allgemein
IEEE 754 Vorzeichenbit 0=>+ 1=>- Exponent: legt den Wertebereich fest (große, kleine Zahl) Matisse: Genauigkeit vier Darstellungen: single single extended double double extended
64 Bit genauer als 32 Bit Gleitkommazahl
Single precision Gleitkommazahl
Vorzeichen: 1 Bit
Exponent: 8 Bit
Mantisse: 23 Bit
kleinste darstellbare Zahl: -1,410^-45
ist ein Ergebnis oder das Zwischenergebnis kleiner als die kleinste Zahl, wird auf null gerundet
größte Zahl: 340310^38
=> nicht alle Zahlen dazwischen sind darstellbar
Bestandteile Gleitpunktdarstellung
Vorzeichen: 0=> + und 1=> -
Exponent: wird nicht direkt gespeichert, sondern um 127 erhöht (Zahlen von -127 bis 128)
z.B.: 0 statt 0000 0000 dann: 0111 1111
Mantisse: Wert 2^n an der Stelle n (von links gezählt)
1 (0,5), 1 (0,25) , 1 (0,125),…
binäre Gleitkommazahl in Dezimalzahl
bei positiver Zahl: z= (1+m)*2^exp-127 bei negativer Zahl: z= - (1+m)*2^exp-127 bsp: 0=> positive Zahl Mantisse berechnen: 2^-n+2^-n,... vorläufiger Exponent
Dezimalzahl in binäre Gleitkommazahl
Mantisse berechnen:
1. Berechnen des ganzzahligen Anteils mittels Hornerschema
ganzzahligen Anteil solange durch 2 Teilen, bis 0 rauskommt, Rest umkippen
2. Nachkommastellen mit modifiziertem Hornerschema
das hinter der kommazahl, mit 0, davor solange durch 2 teilen bis genug Stellen vorhanden sind => größer 1 ist 1, kleiner 1 ist 0=> nicht umkippen
Bestimmung des Exponenten:
Mantisse solange nach rechts oder links verschieben, bis 1 Zahl vor dem Komma steht=> nach 23 Bit abschneiden
(ganzzahliger Anteil, gebrochener Anteil=> Komma verschieben)
Exponent dann 2^n
n ist die Anzahl wie weit es verschoben wurde, dann um 127 erhöht
Problem: beim abschneiden geht Genauigkeit verloren
mehr Berechnungen=> ungenauer
