Wykład 4 (estymacja przedziałowa)

Question 1

Czym jest wnioskowanie?

Answer 1

Podstawowa odmiana rozumowania obok sprawdzania dowodzenia i wyjaśniania.

W statystyce – zbiór reguł uogólnienia wyników z próby losowej.
- odchylenie standardowe
- wariancja
- średnia arytmetyczna
Inaczej: wnioskowanie o populacji na podstawie próby przy pomocy różnych parametrów (jak wyżej)

Question 2

Czym jest estymacja i jak się dzieli?

Answer 2

Metoda szacowania nieznanego rozkładu/parametrów rozkładu badanej cechy w populacji generalnej;

A) Punktowa - uzyskujemy konkretną wartość liczbową; punktowe oszacowanie wartości szukanego parametru
B) Przedziałowa - ocena parametru; przedział, do którego można znaleźć szacowaną wartość parametru

Question 3

Na czym polega weryfikacja hipotez statystycznych?

Answer 3

Na testowaniu przypuszczenia dotyczącego nieznanego rozkładu/nieznanych parametrów.

Question 4

Co to kurwa jest estymator?

Answer 4

Statystyka służąca do oszacowania parametru rozkładu cechy w populacji.

x= μ

• parametr dla próby badaczej, który pozwala oszacować realną wartość parametru w całej populacji
• śr. arytmetyczna, wariancja, odch. stand.

Question 5

Jakie właściwości ma estymator?

Answer 5

• ZGODNOŚĆ = jeśli p (że jego wartość jest bliska wartości paremetru) rośnie ze wzrostem liczby próby
• DOSTATECZNOŚĆ = jeśli wykorzystuje wszystkie informacje zawarte w próbie
• EFEKTYWNOŚĆ = wielkość wariancji estymatora
• NIEOBCIĄŻNOŚĆ = brak występowania błędu systematycznego w ocenie parametru (wartość oczekiwana=parametrowi)

Question 6

Co to błąd standardowy?

Answer 6

SE => rozrzut estymatora wokół parametru populacji.

Dla średniej SE= S/pierw.n

inaczej: odchylenie standardowe estymatora

Question 7

O czym i na podstawie czego wnioskuje estymacja przedziałowa?

Answer 7

To wnioskowanie na podstawie statystyk z próby:
- proporcji p₀ = n/N
- średniej 𝑥,
- odchylenia standardowego 𝑠
o parametrach populacji:
- proporcji 𝜋,
- wartości oczekiwanej 𝜇,
- odchylenia standardowego 𝜎 populacji

Question 8

Co to przedział ufności?

Answer 8

Przedział, w którym estymowany parametr znajduje się z prawdopodobieństwem równym 𝑝.

Prawdopodobieństwo 𝑝 nazywamy poziomem ufności.
𝜋1,𝜋2 -> lewa i prawa (dolna i górna) granica przedziału ufności

Question 9

Wzór na niepewność estymaty 𝝅 (proporcji)

Answer 9

niep = (𝜋2 −𝜋1)/2

jest połową szerokości przedziału ufności

Question 10

Jak skonstruować przedział ufności?

Answer 10

na podstawie 𝑝0 i wynosi on:
[ 𝑝0 − 𝑛𝑖𝑒𝑝, 𝑝0 + 𝑛𝑖𝑒𝑝]

Dla średniej jest tak samo:
[𝑥−𝑛𝑖𝑒𝑝, 𝑥+𝑛𝑖𝑒𝑝 ]

Question 11

Jak obliczyć dolną i górną granicę przedziału ufności dla proporcji?

Answer 11

Dolna granica przedziału ufności:
𝜋1=p₀ − z_(1-α/2) * sqrt[p₀(1-p₀)/n]

Górna granica przedziału ufności:
𝜋2 =p₀ + z_(1-α/2) * sqrt[p₀(1-p₀)/n]

𝑝0 jest środkiem przedziału ufności (tylko dla proporcji i dla średniej, nie dotyczy wariancji)

Question 12

Co to z_(1-α/2)?

Answer 12

Jest percentylem rzędu (1−𝛼/2) rozkładu 𝑁(0,1) (obliczany z kalkulatora)

Question 13

Co to jest 𝛼?

Answer 13

Poziom istotności

𝑝=1−𝛼, 𝛼=1−𝑝

Przykład: poziom ufności 𝑝=0,95 𝛼=0,05

Question 14

Jaką postać ma przedział ufności dla proporcji?

Answer 14

𝑃{𝜋1 ≤ 𝜋 ≤ 𝜋2} = p

P{ p₀ − z_(1-α/2) * sqrt[p₀(1-p₀)/n] ≤ 𝜋 ≤ p₀ + z_(1-α/2) * sqrt[p₀(1-p₀)/n]} = p

Question 15

Jak obliczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej?

Answer 15

• dla znanego 𝜎:

P{ x − z_(1-α/2) * (𝜎/sqrt[n]) ≤ 𝜋 ≤ x + z_(1-α/2) * (𝜎/sqrt[n])} = p

• dla nieznanego 𝜎:

P{ x − t_(1-α/2) * (s/sqrt[n]) ≤ 𝜋 ≤ x + t_(1-α/2) * (s/sqrt[n])} = p
gdzie:
t_(1-α/2) - jest percentylem rzędu (1−𝛼/2) rozkładu t-Studenta o liczbie stopni swobody 𝑑𝑓=𝑛−1

Question 16

Jak wygląda przedział ufności dla wariancji?

Answer 16

P{ [(n-1)s²] / X²(1−𝛼/2) ≤ 𝜎² ≤ [(n-1)s²] / X²(𝛼/2) } = p

nie jest symetryczny względem s

Question 17

Jak wygląda przedział ufności dla odchylenia standardowego?

Answer 17

jest pierwiastkiem z przedział ufności dla wariancji