Unidad 4: Suma de Variables Aleatorias Flashcards
Variables Aleatorias Bidimensionales
Describen el comportamiento simultáneo de dos o más VA
Función de Probabilidad Conjunta
Sea (X, Y) un vector aleatorio bidimensional discreto y RXxY su rango. Entonces la función
p: RXxY –> ℝ
(x,y) –> p(x,y)
Se denomina función de probabilidad conjunta del vector (X, Y) cuando satisface las siguientes condiciones:
1- p(x, y) >= 0
2- ∑p(x,y) = 1
3- Si (x,y) ∈ RXxY, entonces ∑ p(x,y) = P((X,Y) ∈ A)
Función de densidad conjunta
Es lo mismo que la probabilidad conjunta pero sustituyendo por integrales
Distribución Marginal
Dada p(x,y) = P(X = x, Y = y) la función de probabilidad conjunta del vector (X, Y), se puede calcular con facilidad:
pX(x) = P(X = x) ∀ x ∈ Rx,
pY(y) = P(Y = y) ∀ y ∈ Ry
Distribuciones Condicionales
P(A/B) = P(X =x/ Y = y) = P(X = x, Y=y)/ PY(y)
Variables Aleatorias Independientes
Dos VAD X e Y son independientes si.
1- p(x,y) = pX(x) * pY(y)
2- p(x/y) = pX(x)
3 p(y/x) = pY(y)
Del mismo modo para las continuas
Esperanza y varianza para Suma de VA
E[X] = ∑ai * E[xi]
V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 ó ∑ai^2 * V[Xi]
Propiedad reproductiva de Poisson
Si X1, X2, …, Xn son n VAI y cada Xi tiene una distribución de Poisson con parámetros λi, entonces:
X = ∑ Xi, También tiene distribución de Poisson de parámetro λ = ∑λi
Teorema central del límite (TCL)
Si X1, X2, …, Xn son n VAI cualesquiera, con E[Xi] = μ y V[Xi] = σ^2, entonces si la variable es mayor a 30, tiene distribución aproximadamente normal con parámetros E[X]= ∑μi y V[X] = ∑ σi^2
Covarianza y coeficiente de correlación
La covarianza entre dos VA se nota COV(X,Y).
COV(X,Y) = E[(X-μX)*(Y-μY)]
Si las VA son independientes la covarianza es igual a 0. Si no son independientes no necesariamente es igual a 0
el coeficiente de correlación ρ(X,Y) = COV(X,Y) / σX*σY
Si las VA son independientes el coeficiente de correlación es igual a 0. Si no son independientes no necesariamente es igual a 0
