Unidad 3: Variables Aleatorias

Question 1

Definición de Variable Aleatoria

Answer 1

Se define al asignar un valor numérico a cada suceso elemental de una experiencia aleatoria. Es decir, una variable aleatoria es un fenómeno de interés cuyos resultados se expresan con números

Question 2

Variable Aleatoria Discreta (VAD)

Answer 2

Una variable es discreta cuando el conjunto de valores posibles que puede asumir es un conjunto finito o infinito numerable.

Question 3

Función de distribución acumulada F(X) VAD

Answer 3

F(x) = P(X<=x) = ∑ P( X= i)

Question 4

Propiedades de VAD

Answer 4

• pi >= 0, ∀i
• ∑pi = 1 condición de cierre

Question 5

Parámetros estadísticos de una VAD

Answer 5

Son las medidas que resumen la información que brinda un distribución de probabilidad así como los estadísticos resumen de la información que brinda una distribución de frecuencias.

• Esperanza matemática
• Varianza Poblacional
• Desviación Estándar

Question 6

Parámetros estadísticos de una VAD - Esperanza matemática

Answer 6

Es el valor promedio de una variable aleatoria X. Se la nota como E[X] o μ.
Su fórmula para una VAD es:
μ = E[X] = ∑xi*pi

Question 7

Parámetros estadísticos de una VAD - Varianza poblacional

Answer 7

Es la medida de dispersión y se la nota como V[X] o σ^2. La fórmula para su cálculo es:

σ^2 = V[X] = E[ x - μ ]^2 = (xi - μ )^2 * pi

Question 8

Parámetros estadísticos de una VAD - Desviación Estándar Poblacional

Answer 8

Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y su ventaja es que trabaja con las mismas unidades en las que está expresada la variable.
Así: σ ó σ[X] = RAÍZ( V[X] )

Question 9

Distribuciones de VAD

Answer 9

• Distribución Binomial
• Distribución de Poisson
• Distribución Geométrica
• Distribución Hipergeométrica

Question 10

Distribuciones de VAD - Distribución Binomial

Answer 10

Sea A un suceso con probabilidad p. Entonces, la variable aleatoria Y: ‘ Cantidad de veces que se presenta el suceso A en n repeticiones independientes’ tiene una distribución binomial con parámetros n y p. En símbolos Y~B(n, p).

P(Y = K) = nCp * p^k * (1-p)^(n-k)

E[X] = np
V[X]= np*( 1 - p)

Question 11

Distribuciones de VAD - Distribución de Poisson

Answer 11

Decimos que una VA X tiene una distribución de Poisson con parámerto λ > 0 y notamos X~ Po(λ), cuando:

P(X = k) = ( λ^k *e^(-k) ) / k!

E[X] = λ
V[X] = λ

Question 12

Distribuciones de VAD - Distribución Hipergeométrica

Answer 12

Se tiene un lote de N artículos de los cuales r son defectuosos (N- r no lo son). Se eligen al azar y sin reposición n artículos del lote (n<=N). Sea X la cantidad de artículos defectuosos en la muestra de tamaño n. Entonces Rx = {0,1,2,…, min(n,r)}.

X~ Hi(N, n, r)

P(X = k) = ( rCk * (N-r)C(n-k) ) / NCn

p = r/N
E[X] = np
V[X] = np(1-p) (N-n / N-1)

Question 13

Distribuciones de VAD - Distribución Geométrica

Answer 13

Se realizan repeticiones independientes hasta que el suceso A se presenta por primera vez.
Se define la variable X como ‘ Cantidad de ensayos independiente de Bernoulli que se realizan hasta que el suceso A se presenta por primera vez’, y sea P(A) = p.
X~ Ge(p)

P(X=k) = p(1-p)^(k-1)

E[X] = 1/p
V[X] = 1-p/p^2

Question 14

Variables Aleatorias Continuas VAC

Answer 14

Cuando una variable aleatoria es continua, el recorrido es un intervalo real.
Sea X una VAC. Decimos que fx es la función de densidad de probabilidad asociada a X cuando se verifica

• fx (x) >= 0 para todo x ∈ R
• [-∞, +∞] ∫ fx (x) dx = 1
• P(a <= X <= b) = [a, b] ∫ fx (x) dx

Question 15

Función de distribución acumulada - VAC

Answer 15

Sea X una VAC y fx su función de desnsidad de probabilidad. La función

Fx: R–> [0,1]
x –> FX (x) = [-∞, x] ∫ fx (t) dt
Se denomina función de distribución acumulada de la VA X.

Question 16

Función de distribución acumulada - VAC - Propiedades

Answer 16

1- FX (x) = P(X <= x)
2- 0 <= FX(x) <= 1, ∀ x ∈ R
3- FX es monótona no decreciente
4- F’X(x) = fX(x) en los puntos de continuidad de fX.

Question 17

Esperanza de una VAC

Answer 17

Sea X una VAC y fX su función de densidad de probabilidad. La esperanza matemática de X es el número.

E[X]= μ =[-∞, +∞] ∫ x*fx (x) dx

Siempre que la integra exista y sea finita

Question 18

Varianza de una VAC

Answer 18

Sea X una VAC y fX su función de densidad de probabilidad. La varianza de X es el número:

V[X] = σ^2 = [-∞, +∞] ∫ [(x-μ) ^2] *fx (x) dx

Siempre que la integral exista y sea finita

Question 19

Distribuciones de una VAC

Answer 19

• Distribución Uniforme
• Distribución Exponencial
• Distribución Normal

Question 20

Distribuciones de una VAC - Distribución Uniforme

Answer 20

Decimos que una VA X se distribuye uniformemente en el intervalo [a,b] y notamos X ~ U(a, b), cuando su función de densidad de probabilidad es:

fX(x) = 1/(b-a) si x ∈ [a,b]
fX(x) = 0 en otro caso

E[X] = (a + b) / 2
V[X] = (b - a)^2 / 12

Question 21

Distribuciones de una VAC - Distribución Exponencial

Answer 21

Decimos que una VA X tiene una distribución exponencial de parámetro λ > 0 y notamos X ~ Exp(λ), cuando su función de densidad de probabilidad es:

fX(x) = λ*e^(-λ x) si x > 0
fX(x) = 0 en otro caso

P(X<=x) = 1- e^(-λx)
P(X>x) = e^(-λx)

E[X] = 1/λ
V[X] = 1/λ^2

Question 22

Distribuciones de una VAC - Distribución Exponencial - Propiedad de la no memoria

Answer 22

La propiedad de la condicional es igual a la resta de los valores:

P(X>t / X>s) = P(X > t-s)

Question 23

Distribuciones de una VAC - Distribución Exponencial - Vinculación con la distribución de Poisson

Answer 23

Xt: Distribución de Poisson
T: Distribución Exponencial

P(T>t) = P(Xt = 0) = e^(-λt)

Question 24

Distribuciones de una VAC - Distribución Normal

Answer 24

Decimos que una VA X tiene una distribución normal con parámetros μ y σ, donde σ > 0, y notamos X~N(μ,σ) cuando su función de densidad de probabilidad es:

fX(x) = (1/raiz(2π)σ) * e^(-(x-μ)^2/2σ^2)

E[X] = μ
V[X] = σ^2

Normalización:
Z = μ-x/σ