Thema 2: Nutzen und Erwartungsnutzentheorie Flashcards
nicht perverse Präferenzen
mehr Geld weniger Geld vorziehen
x>y und y>c - x>c
Lotterien Definiton
Einfache Lotterie Definition
Zusammengesetze Lotterie
Reduzierte Lotterie
Präferenzen über Lotterien
Durch Lotterien lassen sich unsichere Handlungsalternativen
modellieren. Nun müssen die Präferenzen über die Lotterien
analysiert werden.
Stetigkeit der Präferenzordnung
Stetigkeit der Präferenzordnung bedeutet, dass minimale Änderungen in den Wahrscheinlichkeiten nicht zu einer Änderung der Präferenzen bezüglich zweier Lotterien führen. Anders ausgedrückt: Wenn eine Lotterie L1 gegenüber einer Lotterie L2 präferiert wird, dann wird auch die zusammengesetzte Lotterie aL + (1 − a)L1 gegenüber L2 präferiert, solange die Wahrscheinlichkeit a nur klein genug ist, egal, wie „schlecht“ die zusätzliche Lotterie L ist.
Unabhängigkeitsaxiom
Das Unabhängigkeitsaxiom verlangt, dass wenn eine Lotterie
L einer anderen Lotterie L1 vorgezogen wird, auch eine zusammengesetzte Lotterie mit L und einer weiteren Lotterie
L2 der entsprechenden zusammengesetzten Lotterie aus L1
und L2 vorgezogen wird und umgekehrt.
Neumann-Morgenstern Erwartungsnutzenfunktion
(Erwartungsnutzentheorem)
Man nehme an, dass die rationale Präferenzrelation ≿ über
die Menge der Lotterien L stetig ist und das
Unabhängigkeitsaxiom erfüllt. Dann kann die Präferenzrelation ≿ durch eine Erwartungsnutzenfunktion dargestellt werden. Zahlenvergleich möglich
Allais Paradox
Entscheidung zwischen 2 Lotterien nicht konsistent. Erklärung:
1. Es handelt sich um einen Entscheidungsfehler, der sofort
korrigiert würde, wenn er durch die Entscheidungsträger erkannt würde.
- Das Paradox hat kaum Bedeutung, weil es Individuen mit einer extrem ungewöhnlichen Situation konfrontiert.
- Menschen berücksichtigen den “Ärger” über verpasste Gelegenheiten. Bei der Wahl zwischen L1 und L1´ kann man 0,5 Mio. mit Sicherheit bekommen. Der “Ärger”, zu verlieren wäre eventuell sehr hoch. Bei der Wahl zwischen L2 und L2´ hat man
ohnehin nur eine geringe Gewinnchance, so dass das Potential, sich zu ärgern eher beschränkt ist. - Man könnte das Unabhängigkeitsaxiom aufgeben und durch schwächere Annahmen ersetzen.
Bernoulli Nutzenfunktion
x bezeichnet einen (stetigen), nichtnegativen Geldbetrag. Die Variable x nimmt damit die Rolle der cn im diskreten Fall an.
Jedem Geldbetrag x kann ein Nutzenwert u zugeordnet werden, d.h. u=u(x). u(x) ist als Funktion interpretierbar und wird auch als Bernoulli-Nutzenfunktion bezeichnet.
Eine Geldlotterie kann daher als Verteilungsfunktion F: R → [0; 1] dargestellt werden. F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens ein Geldbetrag von x gewonnen wird.
Geldlotterien als Verteilungsfunktion
Kann als Verteilungsfunktion dargestellt werden
bewahrt lineare Struktur von Lotterien
Risikoeinstellung
Ein Akteur heißt “risikoavers”, wenn für jede Lotterie F(. ) gilt, dass die degenerierte Lotterie, die mit Sicherheit den Betrag ∫ xf(x)dx auszahlt, mindestens genauso gut bewertet wird wie die ursprüngliche Lotterie F(. ). Ist der Entscheidungsträger für jede Lotterie F(. ) indifferent zwischen dieser und der entsprechenden degenerierten Lotterie, dann wird der Entscheidungsträger “risikoneutral” genannt. Präferiert er immer F(. ), so nennt man ihn “risikofreudig”.
Jensens Ungleichung
Risikoeinstellung und Nutzenfunktion
Auf der linken Seite steht der Erwartungsnutzen der Lotterie, auf der rechten Seite steht der Nutzen des Gewinnerwartungswertes der Lotterie.
Daraus folgt:
Ist u(x) streng konkav, ist der Entscheidungsträger strikt risikoavers.
Ist u(x) linear, ist der Entscheidungsträger risikoneutral.
Ist u(x) streng konvex, ist der Entscheidungsträger strikt risikofreudig.
Sicherheitsäquivalent
Das Sicherheitsäquivalent c von F(. ) ist derjenige sichere Geldbetrag, bei dem der Entscheidungsträger indifferent
zwischen c und der Lotterie F(. ) ist.
Pratt Arrow Maß
Zusammenhang Risikoaversion und Sicherheitsäquivalent
Zusammenhang Risikoaversion r und a
Bei Nutzenfunktion u(x)= ax^2 +x
Kommerzielles Glücksspiel
Kommerzielles Glücksspiel kann nur angeboten werden, wenn die Einnahmen des Spielveranstalters größer sind als die Gewinnausschüttungen. Damit muss der
Gewinnerwartungswert der Spieler negativ sein. Wenn sie dennoch spielen, muss ihr Sicherheitsäquivalent höher sein, als ihr Gewinnerwartungswert. Die Spieler müssen also risikofreudig sein!
Maß für Risikoneigung (auf Markt mit gleichem Erwartungsnutzen)
Linearität von Nutzenfunktionen
Erklärung für Teilnahme am Glücksspiel
- Entscheidungsfehler (z.B. falsch eingeschätzte Gewinnwahrscheinlichkeiten)
- Lokale Risikofreude (Akteure sind prinzipiell risikoavers, bei kleinen Geldbeträgen aber risikofreudig)
- Glücksspielteilnahme ist eine Konsumaktivität, die nicht
(nur) anhand ihrer finanziellen Auswirkungen beurteilt wird.
