TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE, MASSIMI E MINIMI E DERIVATA PRIMA

Question 1

Punto di massimo assoluto

Answer 1

considerata una funzione f da A a R, il punto x0 appartenete ad A è un punto di massimo assoluto per f se ∀x∈A f(x0)≥f(x)

Question 2

Punto di minimo assoluto

Answer 2

considerata una funzione f da A a R, il punto x0 appartenete ad A è un punto di minimo assoluto per f se ∀x∈A f(x0)≤f(x)

Question 3

Punto di massimo relativo o locale

Answer 3

considerata una funzione f da A a R, il punto x0 appartenete ad A è un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno di x0 tale che ∀x∈I e A si ha f(x0)≥f(x)

Question 4

Punto di minimo relativo o locale

Answer 4

considerata una funzione f da A a R, il punto x0 appartenete ad A è un punto di minimo relativo per f se esiste un intorno di x0 tale che ∀x∈I e A si ha f(x0)≤f(x)

Question 5

Punti stazionari o critici

Answer 5

data una funzione f derivabile, i punti in cui f’ si annulla sono punti stazionari o critici → i massimi e i minimi sono punti critici

Question 6

Teorema di Fermat

Answer 6

sia f definita in un intervallo [a;b] e c ∈ ]a;b[ sia un punto in cui f è derivabile, se f ha in c un punto di estremo relativo (massimo o minimo) allora f’(c), ovvero la derivata prima di f in c è = 0

Question 7

Teorema di Rolle

Answer 7

data una funzione f continua in [a;b], derivabile in ]a;b[ e tale che f(a) = f(b), esiste c ∈ ]a;b[ tale che f’(c) = 0

Question 8

Teorema di Lagrange o del valor medio

Answer 8

data una funzione f continua in [a;b], derivabile in ]a;b[ esiste c ∈ ]a;b[ tale che f’(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]

Question 9

Teorema 1

Answer 9

data f definita da I a R derivabile, allora se f’(x) > 0 per ogni x appartenente a I allora f è strettamente crescente in I; se f’(x) < 0 per ogni x appartenente a I allora f è strettamente decrescente in I

Question 10

Teorema 2

Answer 10

ia f una funzione continua in un intorno di I del punto x0 e derivabile in I tranne al più in x0:
- se esistono un intorno sinistro di x0 per cui f’(x) > 0 e un intorno destro di x0 per cui f’(x) < 0, allora x0 è un punto di massimo locale per f

• se esistono un intorno sinistro di x0 per cui f’(x) < 0 e un intorno destro di x0 per cui f’(x) > 0, allora x0 è un punto di minimo locale per f

Question 11

Teorema 3

Answer 11

se f è continua e derivabile in un intorno I del punto x0, allora x0 è un punto di flesso a tangente orizzontale se:
- f’(x0) = 0
- la derivata prima non cambia segno nell’intorno I di x0