Funzioni

Question 1

Definizione funzione

Answer 1

Dati due insiemi A e B si dice funzione di A in B una qualunque relazione che associa a ogni elemento x appartenente ad A uno e un solo elemento y appartenente a B.
Si indica f: A –> B

Question 2

Grafico di una funzione

Answer 2

Data una funzione f da A contenuto in R, da R in R, il grafico di f è l’insieme Gf dei punti (x;y) del piano cartesiano, tali che y sia immagine di x appartenente ad A tramite la funzione f.
(Tradotto: il grafico della funzione è una curva nel piano cartesiano fatta da punti x e y, con y immagine di x)

Question 3

Classificazione funzioni

Answer 3

Due macro categorie:
1) Funzioni algebriche
2) Trascendenti

Le algebriche si dividono in:
- razionali: divise in: intere e fratte
- irrazionali

Le trascendenti si dividono in:
- funzione logaritmica
- funzione esponenziale
- funzione goniometrica

Question 4

Funzioni algebriche

Answer 4

Funzioni con solo le 4 operazioni, l’elevazione a potenza con esponente intero e l’estrazione di radice

Question 5

Funzioni trascendenti

Answer 5

Funzioni non algebriche

Question 6

Funzioni razionali

Answer 6

Funzioni algebriche la cui variabile non è sotto radice

Question 7

Funzioni irrazionali

Answer 7

Funzioni algebriche la cui variabile è sotto radice

Question 8

Funzioni polinomiali

Answer 8

Funzioni razionali espresse mediante un polinomio e in cui la variabile non compare al denominatore

Question 9

Funzioni fratte

Answer 9

Funzioni razionali in cui la variabile compare al denominatore

Question 10

Funzioni logaritmiche

Answer 10

Funzioni trascendenti in cui la variabile compare nell’argomento del logaritmo: es. f(x) = log (x+3)

Question 11

Funzioni esponenziali

Answer 11

Funzioni trascendenti in cui la variabile compare all’esponente: es. f(x) = 2^x

Question 12

Funzioni goniometriche

Answer 12

Funzioni trascendenti di seno, coseno, tangente

Question 13

Funzioni uguali

Answer 13

Due funzioni f(x) e g(x) si dicono uguali se hanno stesso dominio

Question 14

Funzione lineari

Answer 14

Equazione: f(x) = mx+q
Dominio=Codominio: R
Grafico è una retta

Question 15

Funzione quadratica

Answer 15

Equazione: f(x) = ax^2+bx+c
D:R
Coordinate vertice: V(-b/2a; -Δ/4a)
Grafico è una parabola con conca verso l’alto se a>0 e conca verso il basso se a<0

Question 16

Funzione seno

Answer 16

Equazione: f(x) = sen x
D: R
C: [-1;1]
Grafico identico a quello che abbiamo fatto per il seno

Question 17

Funzione coseno

Answer 17

Equazione: f(x) = cos x
D: R
C: [-1;1]
Grafico è identico a quello che abbiamo fatto per il coseno

Question 18

Funzione tangente

Answer 18

Equazione: f(x) = tan x
D: x diversa π/2 + kπ
C: R
Grafico è identico a quello che abbiamo fatto per la tangente

Question 19

Funzione esponenziale analisi

Answer 19

Equazione: f(x) = a^x
D: R
C: (0; + infinito)

Question 20

Funzione logaritmica analisi

Answer 20

Equazione: f(x) = log x
D: (0; + infinito)
C: R

Question 21

Funzione crescente

Answer 21

Funzione si dice crescente in un intervallo quando per tutti i valori x dell’intervallo considerato se X1 minore di X2, allora f(X1) é minore di f(x2)

Question 22

Funzione decrescente

Answer 22

Funzione si dice decrescente in un intervallo quando per tutti i valori x dell’intervallo considerato se c è minore di X2, allora f(x1) 3 maggiore di f(x2)

Question 23

Funzione non decrescente(rispettivamente non crescente)

Answer 23

Funzione si dice crescente in un intervallo quando per tutti i valori x dell’intervallo considerato se X1 è minore di X2, allore f(x1) é minore uguale a f(x2)

Question 24

Funzione iniettiva

Answer 24

Una funzione f da A a B è iniettiva se a elementi distinti di A fa corrispondere elementi distinti di B, o analogamente, se B ha più di una controimmagine in A
(Tradotto: se tracciando righe orizzontali esse toccano la funzione 1 o 0 volte)

Question 25

Funzione suriettiva

Answer 25

Una funzione f da A a B è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
(Tradotto: se tracciando righe orizzontali esse toccano la funzione 2 o più volte)

Question 26

Funzione biunivoca

Answer 26

Una funzione f da A a B è biunivoca se ogni elemento di B è immagine di uno e uno solo elemento di A.
(Tradotto: se tirando righe orizzontali esse toccano la funzione sempre e solo 1 volta)

Question 27

Funzione inversa

Answer 27

Data la funzione biunivoca f: A –> B con y=f(x) , la funzione inversa di f è f^-1: B –>A in cui x = f^-1 (x)

Question 28

Funzione composta

Answer 28

Date le funzioni f: A –> B e g: B –>C , con y = f(x) e x = g(y), la funzione composta di f e g è la funzione f°g: A –> C in cui z = g(f(x))

Question 29

Funzione pari

Answer 29

f(x) si dice pari se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- se x appartiene a D anche -x appartiene a D (Tradotto: D simmetrico)
- f(-x)=f(x) (Tradotto: funzione simmetrica rispetto all’asse delle y)

Question 30

Funzione dispari

Answer 30

f(x) si dice dispari se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- se x appartiene a D anche -x appartiene a D (Tradotto: D simmetrico)
- f(-x)=-f(x) (Tradotto: funzione simmetrica rispetto all’origine)

Question 31

Funzione né pari né dispari

Answer 31

Quando è verificata 1 o nessuna delle condizioni per le funzioni pari e dispari

Question 32

Studio di funzione

Answer 32

Data una funzione (come equazione): studiare la funzione significa elaborare il grafico
Passaggi:
1) Calcolare il dominio
2) Individuare la simmetria, ovvero stabilire se la funzione è pari o dispari
3) Determinare gli zeri di una funzione, ovvero i punti di intersezione con gli assi
per asse x: risolvere sistema tra y=0 e l’equazione della funzione
per asse y: risolvere sistema tra x=0 e l’equazione della funzione
4) Studiare il segno: ovvero se è positiva o negativa
se f(x)>0: trovo soluzione di questa disequazione; per questi valori (le soluzioni della disequazione) la funzione è positiva; per tutti gli altri è negativa

Question 33

Intorno

Answer 33

Si dice intorno di x0 un qualunque intervallo che contenga x0

Question 34

Intorno destro (o sinistro)

Answer 34

Si dice intorno destro (o sinistro) di x0 un intorno di x0 che ha + elementi a destra (o a sinistra) di x0

Question 35

Limite per x che tende a x0 di f(x) = l

Answer 35

Se per ogni epsilon > 0 esiste delta > 0 tale che per ogni x appartenente al dominio per cui il valore assoluto di x-x0 è < delta, allora il valore assoluto f(x)-l è < di epsilon.
Tradotto: se prendo un elemento x appartenente a un intorno di x0, la sua immagine appartiene a un intorno di l

Question 36

Limite per x che tende a x0 di f(x)=+infinito

Answer 36

Se per ogni M>0 esiste delta >0 tale che per ogni x appartenente al dominio per cui il valore assoluto x-x0 è < delta, allora f(x) > M
Tradotto: se prendo un valore x appartenente a un intorno di x0, la sua immagine appartiene a un intorno di +infinito

Question 37

Limite per x che tende a x0 di f(x)=-infinito

Answer 37

Se per ogni M>0 esiste delta >0 tale che per ogni x appartenente al dominio per cui il valore assoluto x-x0 è < delta, allora f(x) < - M
Tradotto: se prendo un valore x appartenente a un intorno di x0, la sua immagine appartiene a un intorno di -infinito

Question 38

Limite per x che tende a infinito di f(x) = l

Answer 38

Se per ogni epsilon >0 esiste K>0 tale che per ogni x appartenente al dominio per cui K>0, allora il valore assoluto di f(x)-l è < epsilon
Tradotto: prendendo un elemento x appartenente a un intorno di infinito, la sua immagine appartiene a un intorno di l

Question 39

Limite per x che tende a infinito di f(x) = infinito

Answer 39

Se per ogni M>0 esiste K>0 tale che per ogni x>K, allora f(x)>M
Tradotto: prendendo un elemento x appartenente a un intorno di infinito, la sua immagine appartiene a un intorno di infinito

Question 40

Calcolo dei limiti

Answer 40

1) Dato un limite finito o infinito di una funzione, per calcolarlo devo sostituire infinito o x0 all’interno dell’equazione della funzione
2) Eseguo i calcoli e le semplificazioni applicando se necessario le regole dell’infinito

Question 41

Dominio

Answer 41

Dominio è l’insieme dei valori x di partenza su cui si applica la funzione, è detto insieme delle controimmagini della funzione

Question 42

Codominio

Answer 42

è l’insieme di arrivo degli elementi y, che sono associati agli elementi x tramite la funzione. codominio è l’insieme delle immagini

Question 43

Immagine

Answer 43

è l’insieme di arrivo della funzione

Question 44

Controimmagine

Answer 44

è l’insieme di partenza della funzione

Question 45

Intorno simmetrico o circolare

Answer 45

dati i numeri reali x0 e n>0, si dice intorno simmetrico o circolare di centro x0 e di raggio n l’insieme di tutti i numeri reali x tali che (x-x0)<n

Question 46

Intorno di +∞

Answer 46

dato un numero reale a, si definisce intorno di +∞ un qualsiasi insieme che contenga un intervallo del tipo [a; +∞]

Question 47

Punto di accumulazione

Answer 47

Dato un inseme A e un punto x0, si dice che x0 è punto di accumulazione per A, se, preso un intorno di x0, in esso ci sono punti di A diversi da x0. Un punto appartenente ad A, che non sia di accumulazione è detto isolato

Question 48

Insieme superiormente limitato

Answer 48

dato un sottoinsieme dell’insieme A, esso è superiormente se esiste k tale che k≥x per ogni x appartenente ad A e k è detto maggiorante di A

Question 49

Insieme inferiormente limitato

Answer 49

dato un sottoinsieme dell’insieme A, esso è inferiormente limitato se esiste h tale che h≤x per ogni x appartenente ad A e h è detto minorante di A

Question 50

Estremo superiore

Answer 50

dato un insieme A, il più piccolo dei suoi maggioranti è detto estremo superiore e si indica con sup(A)

Question 51

Estremo inferiore

Answer 51

dato un insieme A, il più grande dei suoi minoranti è detto estremo inferiore e si indica con inf(A)

Question 52

Massimo

Answer 52

dato un sottoinsieme A, superiormente limitato, si dice massimo di A e si indica con max(A) l’estremo superiore se appartiene ad A

Question 53

Minimo

Answer 53

dato un sottoinsieme A, inferiormente limitato, si dice minimo di A e si indica con min(A) l’estremo inferiore se appartiene ad A

Question 54

Funzione superiormente limitata

Answer 54

f(x) è detta superiormente limitata se esiste k, tale che k ≥ f(x) per ogni x appartenente al dominio, k è detto maggiorante

Question 55

Funzione inferiormente limitata

Answer 55

f(x) è detta inferiormente limitata se esiste h tale che h ≤ f(x) per ogni x appartenente al dominio, h è detto minorante

Question 56

Teorema di unicità del limite

Answer 56

se una funzione ammette limite per x che tende a x0 allora tale limite è unico

Question 57

Teorema della permanenza del segno

Answer 57

se il limite per x che tende a x0 di f(x) è uguale a l con l > 0 o se il limite per x che tende a x0 di f(x) è uguale a + infinito, allora esiste un intorno di x0 in cui per ogni x appartenente all’intorno risulta f(x) > 0
se l < 0, il teorema è lo stesso solo che f(x) < 0

Question 58

Forma indeterminata

Answer 58

forma di limite non risolvibile per semplice sostituzione