Funzioni Flashcards
Definizione funzione
Dati due insiemi A e B si dice funzione di A in B una qualunque relazione che associa a ogni elemento x appartenente ad A uno e un solo elemento y appartenente a B.
Si indica f: A –> B
Grafico di una funzione
Data una funzione f da A contenuto in R, da R in R, il grafico di f è l’insieme Gf dei punti (x;y) del piano cartesiano, tali che y sia immagine di x appartenente ad A tramite la funzione f.
(Tradotto: il grafico della funzione è una curva nel piano cartesiano fatta da punti x e y, con y immagine di x)
Classificazione funzioni
Due macro categorie:
1) Funzioni algebriche
2) Trascendenti
Le algebriche si dividono in:
- razionali: divise in: intere e fratte
- irrazionali
Le trascendenti si dividono in:
- funzione logaritmica
- funzione esponenziale
- funzione goniometrica
Funzioni algebriche
Funzioni con solo le 4 operazioni, l’elevazione a potenza con esponente intero e l’estrazione di radice
Funzioni trascendenti
Funzioni non algebriche
Funzioni razionali
Funzioni algebriche la cui variabile non è sotto radice
Funzioni irrazionali
Funzioni algebriche la cui variabile è sotto radice
Funzioni polinomiali
Funzioni razionali espresse mediante un polinomio e in cui la variabile non compare al denominatore
Funzioni fratte
Funzioni razionali in cui la variabile compare al denominatore
Funzioni logaritmiche
Funzioni trascendenti in cui la variabile compare nell’argomento del logaritmo: es. f(x) = log (x+3)
Funzioni esponenziali
Funzioni trascendenti in cui la variabile compare all’esponente: es. f(x) = 2^x
Funzioni goniometriche
Funzioni trascendenti di seno, coseno, tangente
Funzioni uguali
Due funzioni f(x) e g(x) si dicono uguali se hanno stesso dominio
Funzione lineari
Equazione: f(x) = mx+q
Dominio=Codominio: R
Grafico è una retta
Funzione quadratica
Equazione: f(x) = ax^2+bx+c
D:R
Coordinate vertice: V(-b/2a; -Δ/4a)
Grafico è una parabola con conca verso l’alto se a>0 e conca verso il basso se a<0
Funzione seno
Equazione: f(x) = sen x
D: R
C: [-1;1]
Grafico identico a quello che abbiamo fatto per il seno
Funzione coseno
Equazione: f(x) = cos x
D: R
C: [-1;1]
Grafico è identico a quello che abbiamo fatto per il coseno
Funzione tangente
Equazione: f(x) = tan x
D: x diversa π/2 + kπ
C: R
Grafico è identico a quello che abbiamo fatto per la tangente
Funzione esponenziale analisi
Equazione: f(x) = a^x
D: R
C: (0; + infinito)
Funzione logaritmica analisi
Equazione: f(x) = log x
D: (0; + infinito)
C: R
Funzione crescente
Funzione si dice crescente in un intervallo quando per tutti i valori x dell’intervallo considerato se X1 minore di X2, allora f(X1) é minore di f(x2)
Funzione decrescente
Funzione si dice decrescente in un intervallo quando per tutti i valori x dell’intervallo considerato se c è minore di X2, allora f(x1) 3 maggiore di f(x2)
Funzione non decrescente(rispettivamente non crescente)
Funzione si dice crescente in un intervallo quando per tutti i valori x dell’intervallo considerato se X1 è minore di X2, allore f(x1) é minore uguale a f(x2)
Funzione iniettiva
Una funzione f da A a B è iniettiva se a elementi distinti di A fa corrispondere elementi distinti di B, o analogamente, se B ha più di una controimmagine in A
(Tradotto: se tracciando righe orizzontali esse toccano la funzione 1 o 0 volte)
Funzione suriettiva
Una funzione f da A a B è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
(Tradotto: se tracciando righe orizzontali esse toccano la funzione 2 o più volte)
Funzione biunivoca
Una funzione f da A a B è biunivoca se ogni elemento di B è immagine di uno e uno solo elemento di A.
(Tradotto: se tirando righe orizzontali esse toccano la funzione sempre e solo 1 volta)
Funzione inversa
Data la funzione biunivoca f: A –> B con y=f(x) , la funzione inversa di f è f^-1: B –>A in cui x = f^-1 (x)
Funzione composta
Date le funzioni f: A –> B e g: B –>C , con y = f(x) e x = g(y), la funzione composta di f e g è la funzione f°g: A –> C in cui z = g(f(x))
Funzione pari
f(x) si dice pari se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- se x appartiene a D anche -x appartiene a D (Tradotto: D simmetrico)
- f(-x)=f(x) (Tradotto: funzione simmetrica rispetto all’asse delle y)
Funzione dispari
f(x) si dice dispari se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- se x appartiene a D anche -x appartiene a D (Tradotto: D simmetrico)
- f(-x)=-f(x) (Tradotto: funzione simmetrica rispetto all’origine)
Funzione né pari né dispari
Quando è verificata 1 o nessuna delle condizioni per le funzioni pari e dispari
Studio di funzione
Data una funzione (come equazione): studiare la funzione significa elaborare il grafico
Passaggi:
1) Calcolare il dominio
2) Individuare la simmetria, ovvero stabilire se la funzione è pari o dispari
3) Determinare gli zeri di una funzione, ovvero i punti di intersezione con gli assi
per asse x: risolvere sistema tra y=0 e l’equazione della funzione
per asse y: risolvere sistema tra x=0 e l’equazione della funzione
4) Studiare il segno: ovvero se è positiva o negativa
se f(x)>0: trovo soluzione di questa disequazione; per questi valori (le soluzioni della disequazione) la funzione è positiva; per tutti gli altri è negativa
Intorno
Si dice intorno di x0 un qualunque intervallo che contenga x0
Intorno destro (o sinistro)
Si dice intorno destro (o sinistro) di x0 un intorno di x0 che ha + elementi a destra (o a sinistra) di x0
Limite per x che tende a x0 di f(x) = l
Se per ogni epsilon > 0 esiste delta > 0 tale che per ogni x appartenente al dominio per cui il valore assoluto di x-x0 è < delta, allora il valore assoluto f(x)-l è < di epsilon.
Tradotto: se prendo un elemento x appartenente a un intorno di x0, la sua immagine appartiene a un intorno di l
Limite per x che tende a x0 di f(x)=+infinito
Se per ogni M>0 esiste delta >0 tale che per ogni x appartenente al dominio per cui il valore assoluto x-x0 è < delta, allora f(x) > M
Tradotto: se prendo un valore x appartenente a un intorno di x0, la sua immagine appartiene a un intorno di +infinito
Limite per x che tende a x0 di f(x)=-infinito
Se per ogni M>0 esiste delta >0 tale che per ogni x appartenente al dominio per cui il valore assoluto x-x0 è < delta, allora f(x) < - M
Tradotto: se prendo un valore x appartenente a un intorno di x0, la sua immagine appartiene a un intorno di -infinito
Limite per x che tende a infinito di f(x) = l
Se per ogni epsilon >0 esiste K>0 tale che per ogni x appartenente al dominio per cui K>0, allora il valore assoluto di f(x)-l è < epsilon
Tradotto: prendendo un elemento x appartenente a un intorno di infinito, la sua immagine appartiene a un intorno di l
Limite per x che tende a infinito di f(x) = infinito
Se per ogni M>0 esiste K>0 tale che per ogni x>K, allora f(x)>M
Tradotto: prendendo un elemento x appartenente a un intorno di infinito, la sua immagine appartiene a un intorno di infinito
Calcolo dei limiti
1) Dato un limite finito o infinito di una funzione, per calcolarlo devo sostituire infinito o x0 all’interno dell’equazione della funzione
2) Eseguo i calcoli e le semplificazioni applicando se necessario le regole dell’infinito
Dominio
Dominio è l’insieme dei valori x di partenza su cui si applica la funzione, è detto insieme delle controimmagini della funzione
Codominio
è l’insieme di arrivo degli elementi y, che sono associati agli elementi x tramite la funzione. codominio è l’insieme delle immagini
Immagine
è l’insieme di arrivo della funzione
Controimmagine
è l’insieme di partenza della funzione
Intorno simmetrico o circolare
dati i numeri reali x0 e n>0, si dice intorno simmetrico o circolare di centro x0 e di raggio n l’insieme di tutti i numeri reali x tali che (x-x0)<n
Intorno di +∞
dato un numero reale a, si definisce intorno di +∞ un qualsiasi insieme che contenga un intervallo del tipo [a; +∞]
Punto di accumulazione
Dato un inseme A e un punto x0, si dice che x0 è punto di accumulazione per A, se, preso un intorno di x0, in esso ci sono punti di A diversi da x0. Un punto appartenente ad A, che non sia di accumulazione è detto isolato
Insieme superiormente limitato
dato un sottoinsieme dell’insieme A, esso è superiormente se esiste k tale che k≥x per ogni x appartenente ad A e k è detto maggiorante di A
Insieme inferiormente limitato
dato un sottoinsieme dell’insieme A, esso è inferiormente limitato se esiste h tale che h≤x per ogni x appartenente ad A e h è detto minorante di A
Estremo superiore
dato un insieme A, il più piccolo dei suoi maggioranti è detto estremo superiore e si indica con sup(A)
Estremo inferiore
dato un insieme A, il più grande dei suoi minoranti è detto estremo inferiore e si indica con inf(A)
Massimo
dato un sottoinsieme A, superiormente limitato, si dice massimo di A e si indica con max(A) l’estremo superiore se appartiene ad A
Minimo
dato un sottoinsieme A, inferiormente limitato, si dice minimo di A e si indica con min(A) l’estremo inferiore se appartiene ad A
Funzione superiormente limitata
f(x) è detta superiormente limitata se esiste k, tale che k ≥ f(x) per ogni x appartenente al dominio, k è detto maggiorante
Funzione inferiormente limitata
f(x) è detta inferiormente limitata se esiste h tale che h ≤ f(x) per ogni x appartenente al dominio, h è detto minorante
Teorema di unicità del limite
se una funzione ammette limite per x che tende a x0 allora tale limite è unico
Teorema della permanenza del segno
se il limite per x che tende a x0 di f(x) è uguale a l con l > 0 o se il limite per x che tende a x0 di f(x) è uguale a + infinito, allora esiste un intorno di x0 in cui per ogni x appartenente all’intorno risulta f(x) > 0
se l < 0, il teorema è lo stesso solo che f(x) < 0
Forma indeterminata
forma di limite non risolvibile per semplice sostituzione
