Continuità funzioni.

Question 1

Funzione continua

Answer 1

una funzione f(x) si dice continua in un punto di accumulazione x0, appartenente al dominio di f(x), se il limite per x che tende a x0 di f(x) è uguale a f(x0)

Question 2

Punto di accumulazione

Answer 2

dato un insieme A, un punto di accumulazione dell’inseme A è il punto x0 se per qualsiasi intorno di x0 esiste almeno un elemento y, appartenente ad A e diverso da x0, che appartenga all’intorno

Question 3

Permanenza di segno

Answer 3

Data una funzione f(x) con x0 punto di accumulazione del dominio, se limite per x che tende a x0 di f(x) = l con l maggiore di 0 (o di + infinito )o l minore di 0 (o di - infinito), allora esiste un intorno di x0 in cui 0 è compreso tra 0 e f(x0)

Question 4

Continuità in un intervallo

Answer 4

Una funzione f(x) è detta continua in un intervallo I se è definita nell’intervallo (ovvero i punti dell’intervallo appartengono al suo dominio) e se è continua in ogni punto dell’intervallo. In particolare è continua nel suo dominio se è continua in tutti i punti del dominio

Question 5

Punto di discontinuità

Answer 5

Dato x0 appartenente al dominio di f(x) e punto di accumulazione, se il limite per x che tende a x0 di f(x) non esiste o è diverso da f(x0), allora f(x) è discontinua e x0 è il punto di discontinuità di f(x)

Question 6

Teorema di Bolzano o Teorema degli zeri

Answer 6

Data una funzione f definita in un intervallo chiuso e limitato [a:b], e continua nell’intervallo [a;b], e f(a) x f(b) è minore di 0, allora esiste almeno un punto x0 ⋲ (appartenente al) intervallo [a;b] tale che f(x0) = 0

Question 7

Teorema dei valori intermedi

Answer 7

Data una funzione f definita in un intervallo chiuso e limitato [a:b], e continua nell’intervallo [a;b], allora la funzione assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b)

Question 8

Teorema di Weierstrass

Answer 8

Data una funzione f definita in un intervallo chiuso e limitato [a:b], e continua in [a;b], allora f(x) è limitata e assume un massimo e un minimo in [a;b]

Question 9

Teorema Weierstrass + valori intermedi

Answer 9

Data una funzione f definita in un intervallo chiuso e limitato [a:b], e continua in [a;b], e siano m e M rispettivamente il valore minimo e massimo assunto dalla funzione; allora la funzione assume tutti i valori compresi nell’intervallo [m;M]

Question 10

Discontinuità di prima specie

Answer 10

quando il limite per x che tende a x0+ di f(x)=l è finito e quando limite per x che tende a x0- di f(x) = l’(si dice l primo) finito con l’ diverso da l

Question 11

Discontinuità di seconda specie

Answer 11

quando il limite per x che tende a x0+o- di f(x) o non esiste o è infinito

Question 12

Discontinuità di terza specie o eliminabile

Answer 12

limite per x che tende a x0+ di f(x) è uguale al limite per x che tende a x0- f(x) ed entrambi sono uguali a l, che è finito e con f(x0) diverso da l oppure f(x0) non esiste

Question 13

Asintoto del grafico di una funzione

Answer 13

è una retta per la quale, qualunque sia ε>0 (per qualunque numero piccolissimo positivo), sia sempre possibile determinare dei punti del grafico di f(x) che distino dall’asintoto meno di ε

Question 14

Asintoto verticale (x=x0 con xo numero qualunque)

Answer 14

se limite per x che tende a x0+ di f(x)= + o - infinito e se limite per x che tende a x0- di f(x)= + o - infinito
vanno ricercati o nei punti di discontinuità o negli estremi del dominio se sono finiti (domini i cui estremi NON sono + o - infinito)

Question 15

Asintoto orizzontale (y=y0 con y0 numero qualunque)

Answer 15

se limite per x che tende a -∞ di f(x) = y0 e limite per x che tende a +∞ di f(x) = y0
va ricercato negli estremi del dominio se sono infiniti (se gli estremi del dominio sono + o - infinito)

Question 16

Asintoto obliquo (y=mx+q)

Answer 16

se limite per x che tende a -∞ di|f(x)-mx-q| = 0 e limite per x che tende a+∞ di|f(x)-mx+q| = 0