Derivate

Question 1

Teorema della retta tangente per le coniche

Answer 1

siano r una retta e γ una conica (parabola, circonferenza, iperbole, …) tali che il sistema formato dalle loro equazioni ammetta come soluzioni un’equazione di secondo grado con discriminante Δ; affinché r sia tangente a γ è necessario che Δ=0

Question 2

Definizione retta tangente

Answer 2

per definire la retta tangente a un punto P, ci si approccia nelle vicinanze del punto e si immagina una retta secante la curva passante per il punto P e per un altro punto Q

avvicinando il punto Q al punto P la retta secante assomiglia sempre di più alla retta tangente al punto P (retta rossa)

la retta tangente è la posizione limite della retta secante PQ al tendere di Q a P

Question 3

Ricavare l’equazione della retta tangente: fase 1

Answer 3

si considera una funzione y = f(x) e un suo punto P di coordinate [x0; f(x0)] e un punto Q di coordinate [x0+h; f(x0+h)] con h una quantità piccola a piacere che si chiama incremento

Question 4

Ricavare l’equazione della retta tangente: fase 2

Answer 4

il coefficiente angolare della retta secante alla funzione e passante per P e Q è dato dal rapporto incremetale tra i due punti:
m=Δy/Δx=(yQ-yP)/(xQ-xP=[f(x0+h)-f(x0)]/[x0+h-x0]=[f(x0+h)-f(x0)]/h

Question 5

Ricavare l’equazione della retta tangente: fase 3

Answer 5

dalla definizione di retta tangente si è visto che Q deve tendere a P, quindi se Q tende a P il coefficente angolare della retta tangente è il limite per h che trende a 0 di quel rapporto incrementale:
m=limite per h che tende a 0 di [f(x0+h)-f(x0)]/h
questo limite si chiama derivata prima della funzione nel punto P

Question 6

Rapporto incrementale

Answer 6

è il numero = [f(x0+h)-f(x0)]/h ovvero il rapporto tra le coordinate del punto P e del punto Q dell’esempio precedente

Question 7

Funzione derivabile

Answer 7

una funzione y=f(x) definita in un intorno di xo è derivabile nel punto x0 se esiste il seguente limite: limite per h che tende a 0 di [f(x0+h)-f(x0)]/h (rapporto incrementale)

Question 8

Derivata di una funzione nel punto xo

Answer 8

la derivata nel punto xo di una funzione f(x) definita in un intorno di x0 è il coefficente angolare della retta tangente alla funzione nel punto xo, ed esso è dato dal seguente limite: limite per h che tende a 0 di [f(x0+h)-f(x0)]/h

Question 9

Notazione di Lagrange per la derivata nel punto x0

Answer 9

f’(x0), si legge f primo di x0 oppure derivata prima di f in x0

Question 10

Funzione derivata

Answer 10

data una funzione f definita da D a R, derivabile in un intorno (I) del suo dominio (D), la funzione derivata f’ ,definita da I a R, è quella funzione che associa, a ogni punto (x) dell’intorno (I), il valore della derivata in quel punto f’(x)

Question 11

Funzione derivabile destra

Answer 11

una funzione y = f(x) definita in un intorno destro di x0, si dice derivabile a destra in x0 se esiste finito il limite destro del rapporto incrementale (limite per h che tende a 0 di [f(x0+h)-f(x0)]/h), che viene definito derivata destra di f in x0

Question 12

Funzione derivabile sinistra

Answer 12

una funzione y = f(x) definita in un intorno sinistro di x0, si dice derivabile a sinistra in x0 se esiste finito il limite sinistro del rapporto incrementale (limite per h che tende a 0 di [f(x0+h)-f(x0)]/h), che viene definito derivata sinistra di f in x0

Question 13

Derivabilità in un intervallo [a;b]

Answer 13

una funzione y=f(x) è derivabile in un intervallo [a;b] se è derivabile per ogni punto (x) appartenente all’intervallo e se esistono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b

Question 14

Teorema: Rapporto tra derivabilità e continuità

Answer 14

sia f una funzione definita in un intorno di x0. Se f è derivabile in x0, allora f è continua in x0, ma non vale necessariamente il viceversa

Question 15

Derivata di f(x) = k con k numero reale

Answer 15

f’(x) = 0

Question 16

Derivata di f(x) = x

Answer 16

f’(x)=1

Question 17

Derivata di f(x) = x^n con n numero

Answer 17

f’(x)=nx^(n-1)

Question 18

Derivata di f(x) = cos x

Answer 18

f’(x) = - senx

Question 19

Derivata di f(x) = sen x

Answer 19

f’(x) = cosx

Question 20

Derivata di f(x) = tan x

Answer 20

f’(x) = 1/cos^2x

Question 21

Derivata di f(x) = a^x con a>o e a ≠ 1

Answer 21

f’(x) = a^xlna

Question 22

Derivata di f(x) = e^x

Answer 22

f’(x) = e^x

Question 23

Derivata di f(x) = login basa a di b con a>0 e a ≠ 1

Answer 23

f’(x) = 1x1lnx

Question 24

Derivata di f(x) = lnx

Answer 24

f’(x) = 1/x

Question 25

Linearità della derivata

Answer 25

date f e g due funzioni derivabili in x appartenente al dominio di entrambe e α (alfa) e β (beta) due costanti: anche la funzione αf +o- βg è derivabile e si ha: αf’ +o- βg’

Question 26

Derivata del prodotto

Answer 26

la derivata del prodotto tra 2 funzioni è uguale a: la derivata della prima funzione per la seconda non derivata + la prima non derivata per la derivata della seconda

formula: derivata di |f(x) * g(x)| = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

Question 27

Derivata del quoziente

Answer 27

la derivata del quoziente tra due funzioni è uguale a: la derivata della prima funzione per la seconda non derivata - la prima non derivata per la derivata della seconda; il tutto fratto la seconda funzione al quadrato

formula: derivata di f(x)g(x)=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/[g(x)]^2

Question 28

Derivata della funzione reciproca

Answer 28

se f è una funzione derivabile in un punto x appartenente al dominio, anche il reciproco di f 1/f (si legge 1 su f oppure 1 fratto f) è derivabile per tutti i valori di x per cui f(x) è diverso da 0 e si ha che la derivata prima del reciproco di una funzione (1/f(x)) è meno la frazione in cui al numeratore c’è la derivata di f(x) e al denominatore [f(x)]^2

Question 29

Derivata di una funzione composta

Answer 29

data g una funzione derivabile in un punto x appartenente al suo dominio e f, funzione derivabile in z, che è immagine di x attraverso g (z = g(x)), la funzione composta f ◦ g (si legge f composto g) è derivabile in x e si ha che la derivata di f(g(x)) = f’(g(x)) * g’(x)

Question 30

Punto di non derivabilità

Answer 30

è un punto in cui non è verificata la condizione di derivabilità, per cui il limite destro per h che tende a 0 del rapporto incrementale o non è uguale al limite sinistro o non esiste finito

Question 31

Punto angoloso

Answer 31

se:
la derivata destra e la derivata sinistra in x0 esistono entrambe

la derivata destra e la derivata sinistra in x0 sono diverse tra loro

Question 32

Cuspide

Answer 32

se:
sia la derivata destra sia la derivata sinistra sono infinite in x0

la derivata destra e la derivata sinistra sono discordi (tradotto: una fa + infinito e l’altra - infinito)

Question 33

Flesso a tangente verticale

Answer 33

se
sia la derivata destra sia la derivata sinistra sono infinite in x0

la derivata destra e la derivata sinistra sono concordi