Tarifierung Von RV Verträgen

Question 1

Experience Tarifierung - Grundidee

Answer 1

Schätzung der erwarteten Schadenlast eines Schadenexzedenten im Quotierungsjahr durch die individuelle Schadenerfahrung des EV in einem bestimmten Beobachtungszeitraum.

Question 2

Experience-Tarifierung von pro Risiko-XLs

Answer 2

Bei XLs pro Risiko wird zu jedem (relevanten) Einzelschaden im Beobachtungszeitraum eine as-if-Schadenhöhe berechnet (wie groß wäre der gleiche Schaden, wenn er im Quotierungsjahr passieren würde)
Hierbei versucht man Inflation, regulatorische Rahmenbedingungen, etc. zu berücksichtigen.
Durch Anwendung der zu tarifierenden RV Struktur des Quotierungsjahres erhält man für jedes i im Beobachtungszeitraum eine as-if Schadenlast S(RVT)_i
S(RVT)_i gibt an, wie sich der Schadenverlauf des Jahres i für den RV im Qutoierungsjahr Q darstellt.
Bei XLs pro Risiko geht man davon aus, dass der erwartete xs-Schaden linear mit dem Volumen wächst. Daher verwendet man
E(S(RV)_Q) = v_Q/v_i * S(RVT)_i als Schätzer für die erwartete xs-Schadenlast im Quotierungsjahr.

Question 3

Burning Cost pro Risiko

Answer 3

Meist werden volumenproportionale Gewichte verwendet, d.h. w_i = v_i/Sum(v_i).
Dann erhält man den pro Risiko Burning Cost
E(S(RV)_Q)/v_Q = (S(RVT)_1 + … + S(RVT)_2)/(v_1 + … + v_2)
Als Schätzer für die erwartete Schadenlast in Prozent des Volumens
In der Praxis werden als Volumenmaße meist revalorisierte Prämien verwendet.

Question 4

Revalorisierte Prämien

Answer 4

Die revalorisierte Prämien des Jahres I ist die Prämie, die man im Quotierungsjahr Q für das Portfolio des Jahres i bekommen würde.

Question 5

Experience-Tarifierung von CAT-XLs

Answer 5

Auch bei CAT-XLs berücksichtigt man bei der as-if Berechnung der Schäden Faktoren, die sich auf die Höhe von Einzelschäden auswirken (Inflation, Änderung in den rechtlichen Rahmenbedingungen, etc.)
Zur Berücksichtigung des Portefeuille-Wachstum werden Kumulschäden aus dem Jahr i zusätzlich mit dem Faktor v_Q/v_i skalieren (bei einem größeren Portefeuille gibt es nicht mehr Stürme, sondern der Schaden pro Sturm ist höher)
Durch Anwendung der zu tarifierenden RV-Strukturen des Quotierungsjahres erhält man für jedes Jahr i im Beobachtungszeitraum eine as-if Schadenlast S(RVT)_i
Die as-if Schadenlasten S(RVT)_i können direkt als Schätzer für E(S(RV)_Q verwendet werden, da das Portefeuillewachstum in den as-if Schadenhöhen berücksichtigt wurde. Somit erhalten wir den Schätzer
E(S(RV)_Q):= w_1S(RVT)_1 + … + w_NS(RVT)_N,
Wobei w_i Gewichte sind.

Question 6

CAT Burning Cost

Answer 6

Häufig werden identische Gewichte für alle Jahre verwendet (da man in allen Jahren von der gleichen erwarteten Anzahl von Stürmen ausgeht). dann erhält man die CAT Burning Cost
E(S(RV)_Q/v_Q = (S(RVT)_1 + … + S(RVT)_N)/(N*v_Q)
Als Schätzer für die erwartete Schadenlast in Prozent des Volumens.

Question 7

Burning Cost-Quotierung für XLs pro Risiko in den Longtail-Sparten

Answer 7

Ziel: Schätzung der erwarteten Schadenlast eines XLs pro Risiko C xs D
Burning Cost Rechnung: Wähle eine Beobachtungsperiode und schätze die erwartete Schadenlast im Quotierungsjahr (in % des GNPI) durch den Burning Cost
BC:= (Summe der (as-if) xs Schäden in der Beobachtungsperiode)/(Summe der (revalorisierten) GNPI in der Beobachtungsperiode)
Bemerkung:
die Änderungen Inflation, rechtliche Rahmenbedingungen, etc.) zwischen Beobachtungszeitraum und Quotierungsjahr müssen qualifiziert berücksichtigt werden (as-if Korrektur)
Im Beobachtungszeitraum müssen ausreichend viele xs Schäden vorliegen
Die Schäden müssen repräsentativ (typisch) sein
Bei KH und AH XLs: ausgeprägter Longtail Charakter —> IBNR-Problematik

Question 8

As-if Korrekturen

Answer 8

Einflussfaktoren, die nur einzelne Schäden betreffen, müssen individuell berücksichtigt werden
Berücksichtigung von Faktoren, die alle Schadenzahlungen in ihrer Höhe gleichmäßig beeinflussen: Indexierung der Schäden mit einem geeigneten Schadenindex
Faktoren, die die Prämienqualität beeinflussen (z.B. Tarifänderung): Revalorisierung der Prämien mit einem geeigneten Prämienindex
Vorweggehende RV: Anwendung der VorwegRV im Quotierungsjahr auf die as-if korrigierten Bruttoschäden!

Question 9

Mögliche Indizes bei KH-XLs

Answer 9

Schadenindex: Lohn- und Gehaltsindex korrigiert um Superimposed Inflation. Oder: Mischung aus Lohn- und Gehaltsindex und Pflegekostenindex
Prämienindex: Durchschnittsprämie pro Jahreseinheit. Oder: Durchschnittsprämie pro JE (z.B. Anzahl Auto, Halbjahres Police =0,5 JE) dividiert durch die Schadenhäufigkeit

Question 10

Revalorisierung der Prämie

Answer 10

P_i GNPI des Jahres i
I(P)_i Prämienindex im Jahr i (für i = 1,…,N bekannt, für i=Q=N+2 geschätzt)
Revalorisierte GNPIs:
P(RVT)_i:= I(P)_Q/I(P)i * P_i
Indexierter Burning Cost:
BC(ind) = (Sum(1 to N) X(RVT)(i,N-i+1))/(Sum(1 to N)P(RVT)_i)

Question 11

IBNR Rechnung

Answer 11

In der Regel N ~ 10
Eine IBNR Rechnung liefert eine Schätzung für den Stand nach N Abwicklungsjahren
In vielen Ländern wickeln sich die Schäden in KH-XLs viel länger ab. —> Wahl eines Tail Factors, der die Entwicklung der Schäden vom N-ten Abwicklungsjahr bis zur Ausregulierung nach N* Jahren abbilden soll.
Schätzer für den erwarteten Schaden im Quotierungsjahr
BC(ind)IBNR = (Sum(1 to N) X(RVT)(I,N*))/Sum(1 to N) P(RVT)_i

Question 12

Exposure Tarifierung

Answer 12

Schätzung des erwarteten Schadenlast eines np RV Vertrags unter Verwendung von Marktschadenerfahrung/Marktkurven und der individuellen Bestandsinformationen des Zedenten

Question 13

Übliche Verfahren zur exposure Quotierung

Answer 13

Sach/Feuer pro Risiko: Exposurekurve
Haftpflicht pro Risiko: Zuschlagsquotierung, ILF Kurven
Naturgefahren pro Ereignis: geophysikalische Modelle, die die geografische Zusammensetzung des Portefeuilles verwenden
Unfall pro Risiko: Eintrittshäufigkeit und Invaliditätsgradverteilung

Question 14

Zuschlagsquotierung

Answer 14

Grundlegende Annahme: Eine Verdoppelung der Deckungssumme bedingt stets den gleichen prozentualen Zuschlag z aus (0,1) auf die (Risiko-)Prämie. z heißt Zuschlagssatz (Doubled Limits Surcharge)
Diese Annahme ist in Europa und Asien bei der Originaltarifierung von Haftpflichtrisiken üblich und kann zur Exposurequotierung von XLs pro Risiko verwendet werden.
Bezeichnet S_z(v) die Risikoprämie bei der Deckungssumme v, so gilt für natürliche Zahlen n und eine Standardversicherunssumme v_0:
S_z(2^2v_0) = S_z(v_0) * (1+z)^n
Verallgemeinerung auf n=log_2(v/v_0)
S_z(v) = S_z(v_0)(1+z)^log_2(v/v_0) = S_z(v_0)*(v/v_0)^log_2(1+z)
Die Faktoren S_z(v)/S_z(v_0) werden Increased Limits Factors (ILF) genannt.

Question 15

Exposurekurven

Answer 15

Geeignete Verteilung zur Modellierung von Q_0 verfügbar in Form von sog. Exposurekurven

G(x) = E(min(Q_0,x))/E(Q_0) = (Integral(0 to x) (1-F(t))dt)/(integral(0 to 1)(1-F(t))dt = r_j(x*v_j), x>=0

Berechnung der Verteilung von Q_0 aus der Exposurekurve G

F(x) := 1-G‘(x)/G‘(0)

G ist konkav, G(0)=0 und G(x)=1 für x>=1. Je näher G an der Diagonale verläuft, desto totalschadengeneigter ist das Risiko

Question 16

Vorgehen bei der Feuer-Exposurequotierung

Answer 16

Multipliziere die Originalprämie der Risiken mit einer „realistischen“ Schadenquote, um den erwarteten Originalschadenbedarf der Risiken zu schätzen.

Verwende die Exposurekurve, um den Schadenbedarf auf Selbstbehalt und Abgabe des XLs pro Risiko aufzuteilen. Anteil des RV an der Risikoprämie bei einem Risiko mit VS v und einem XL C xs D:
G((C+D)/v)-G(D/v)

Question 17

Vorteile Zuschlagsquotierung

Answer 17

Nur ein Paramter, der sehr intuitiv ist: Verdopplungszuschlag
Dimensionsfrei (wie bei Feuer Exposure); es ist sogar das einzige dimensionsfreie Modell für die Haftpflicht-Exposurequotierung

Question 18

Vorgehen bei gelayerten Originalprogrammen

Answer 18

1. Schritt: bestimme zu jedem der Originallayer c_i xs d_i den Haftungsabschnitt c(RV)_i xs d(RV)_i, der durch den XL am Originalrisiko gedeckt wird
2. Schritt: bestimme den Schadenbedarf s(RV) für den Schadenexzedenten als Summe der Schadenbedarfe, die aus c(RV)_i xs d(RV)_i stammen

Question 19

Vorgehen bei Datenmangel

Answer 19

Marktmodelle

Payback- und Szenarienansätze

Question 20

Marktmodell für Tarifierung von np Veträgen

Answer 20

In Segmenten mit Marktwert relativ homogenen Risiken (z.B. KH, mache AH-Segmente):
RV erstellt Marktquotierung (BC Rechnung für alle verfügbaren Portefeuilles des Marktes)
Anpassung des Marktmodells an die Marktquotierung
Bei fehlender statistischer Sigifiganz der Schadenerfahrung bei individueller BC Rechnung: Mischung mit Marktmodell oder sogar ausschließlicher Ansatz des Marktmodells)

Question 21

Payback- und Szenarienansätze

Answer 21

Verwendung bei z.B.:
Hohe Deckung, bei denen jegliche Schadenerfahrung fehlt und für die auch keine Exposuremodelle vorhanden sind
Neue Gefahren, die noch schwer einzuschätzen sind
Payback-Ansatz:
Schätzer für erw. Schadenlast = Haftungsstrecke/Wiederkehrperioden für Totalschaden (in Jahren)

Minest-Rate on Line-Ansatz:
Rate on Line (RoL) = Rückversicherungsprämie/Haftungsstrecke
Häufig Forderung eines Mindest-Rate on Lines, z.B. >= 1% (entspricht einem Payback von höchstens 100 Jahren für einen Totalschaden)

Szenarienansätze:
Verfeinerung des Payback-Ansatzes. Es werden nicht nur Totalschäden betrachtet sondern verschiedene mögliche Schadenszenarien x_i, die mit Wiederkehrperioden T_i versehen werden (mittels Expertenschätzung)
Schätzer für erw. Schadenlast=Summe über i min(C, (x_i-D)+)/T_i
Problem: durch Hinzunahme von weiteren Szenarien wird es stets teurer
Daher besser: Szenarien verwenden, um eine Verteilung anzupassen

Question 22

Ansätze um kollektives Modell an Großschäden anzupassen

Answer 22

Schadenhöhenfit und empirische xs Frequenz
Extrapolation mit individuellen Fit
Extrapolation mit Markt Tail

Question 23

Schadenhöhenfit und empirische xs Frequenz

Answer 23

Zur Anpassung von kollektiven Modell an Großschaden
Anpassung der Verteilung der Schadenhöhen X_n an die Großschäden > D (z.B. Mit Maximum Liklihood) Beispiele für geeignete Verteilungstypen: Pareto, Verallgemeinerte Pareto und Lognormal Tail
Für N wird meist eine Poission oder eine NegBin Verteilung verwendet, deren Erwartungswert mit der empirischen Schadenzahl xs D aus der BC Rechnung übereinstimmt (nach Skalierung auf das Volumen des Quotierungsjahres)
Bei Longtail XLs ist dieser Ansatz nur durchführbar, wenn man Einzelschäden fortsetzt.
Vorteil: das Modell verwendet eine realistische xs Frequenz
Nachteil: die geschätzte erwartete Schadenlast im bestrichenen Layer stimmt nicht mit dem Burning Cost überein.

Question 24

Extrapolation mit individuellem Fit

Answer 24

Es sei ein Schätzer für den erwarteten Schaden im Layer C_0 xs D verfügbar (aus der BC Rechnung).
Vorgehen:
Verteilungsfit der Schadenhöhe X_n an die Großschäden > D
Wahl einer Verteilung für N (meist Poisson oder NegBin), sodass

E(N) = Schätzer / E(min(C_0,(X_n-D)+))

Vorteil: die geschätzte erwartete Schadenlast im Layer C_0 xs D stimmt mit dem Burning Cost überein. Aus diesem Grund stößt der Anstatz I.d.R. Auf höhere Akzeptanz bei den Zedenten.
Nachteil: das Modell verwendet evtl. eine unrealistische Frequenz xs D.

Question 25

Extrapolation mit Markt Tail

Answer 25

Verwendung einer Verteilung für die X_n, die dem entsprechenden Segment (Land, Branch) „passt“
Rest wie Extrapolations mit individuellen Fit
Hierfür entscheidend:
Vergleichbarkeit von Tails einzelner Portefeuilles (mit unterschiedlichen Schadenmeldegrenzen)
Intuitive Bedeutung der Verteilungsparameter

Vorteile:
Die geschätzte erw. Schadenlast im Layer C_0 xs D stimmt mit dem Burning Cost überein
Anwendung auch dann, wenn eine Anpassung einer Schadenhöhenverteilung aufgrund zu weniger xs-Schäden nicht möglich ist.
Ein individueller Fit muss für den unbestrichenen Layer nicht unbedingt besser sein, selbst wenn die Anpassung im bestrichenen Teil sehr gut ist.
Relativ robust, falls die Schadeninformation im Bereich der Priorität unvollständig ist
Kann auch verwendet werden, wenn Schätzer für erw. Schaden nicht aus der Burning Cost Rechnung stammt.

Nachteile:
Das Modell verwendet evtl. eine unrealistische Frequenz xs D
Schadenhöhenverteilung passt evtl. nicht zum individuellen Portefeuille

Question 26

Folgerungen aus den Eigenschaften der Pareto Verteilung

Answer 26

Die Pareto Verteilung hat nur einen „echten“ Parameter: das Pareto Alpha
Das Pareto Alpha ist invariant gegenüber Skalierung (und damit gegenüber Währungsumrechnung und Inflation)
Bei Pareto verteilten Daten ist das Pareto Alpha unabhängig von der Meldegrenze
Aufgrund dieser Eigenschaften ist die Pareto Verteilung sehr gut zum Vergleich von Tails geeignet. Man kann häufig „Markt Alphas“ für verschiedene Segmente angeben.

Question 27

Frequenz Extrapolation

Answer 27

Ist X ~ Pareto(t, Alpha), so gilt für Priorität D_i >= t

Frequenz xs D_2/Frequenz xs D_1 = (1-F_(t, Alpha)(D_2))/(1-F_(t, Alpha)(D_1)) = (D_1/D_2)^Alpha