Suites et fonctions

Question 1

Suite géométrique:

Answer 1

x(n+1)=qx(n)
x(n)=x(0)q^n
Sn=(n)Σ(k=1)x(k)=x(0)*(1-q^(n+1))/(1-q)

Question 2

Démonstration somme d’une suite géométrique

Answer 2

Sn=x(0)+x(0)q+x(0)q^2+……+x(0)q^n
qSn=x(0)q+x(0)q^2+…………+x(0)q^n+x(0)q^(n+1)
(1-q)Sn=x(0)-x(0)q^(n+1)
Sn=x(0)*(1-q^(n+1))/(1-q)

Question 3

Suite arithmétique:

Answer 3

x(n+1)=x(n)+m
x(n)=x(0)+nm
Sn=(n)Σ(k=1)x(k)=(n+1)(x(0)+x(n))/2

Question 4

Démonstration d’une suite arithmétique:

Answer 4

Sn=U(0)+U(1)+…….+U(n)

Question 5

Suite arithmético-géométrique:
U(n+1)=aU(n)+b
U(0)=c∈R
On suppose a≠1 et b≠0

Answer 5

Etape 1:
On cherche le point fixe de f(x)=x avec f(x)=ax+b
Résoudre ax+b=x
La solution noté L
Donc: L=b/(1-a)
Etape 2:
Soit Vn= Un-L
Montrons que Vn est géométrique
V(n+1)=U(n+&)-L
          =aUn+b-(b/(1-a))=aUn+(b(1-a)-b)/(1-a)
          =aUn-(ab)/(1-a)= a(Un-b/(1-a))
          =a(Un-L)= a(Vn)
Etape 3:
Exprimer Vn en fonctionde n puis exprimer Un en fonction de n
Vn=V(0)a^n
     =(U(0)-L)a^n
or Vn= Un-L
alors Un=Vn+L=(U(0)-L)a^n+L

Question 6

Définition suite constante et stationnaire

Answer 6

Une suite (xn) est constante s’il existe c∈R tel que pour tout entier naturel n, un = c. Une suite est dite stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang.

Question 7

Suite minorée:

Answer 7

Une suite (xn)n∈N est dite minorée, s’il existe a∈R tel
que pour tout n∈N on a xn≥a.

Question 8

Suite majorée:

Answer 8

Une suite (xn)n∈N est dite majorée, s’il existe b∈R tel
que pour tout n∈N on a xn≤b.

Question 9

Suite bornée:

Answer 9

Une suite (xn)n∈N est dite bornée, si (xn)n∈N est à la fois minorée et majorée.

Question 10

Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:

Cas réelle : Si Δ>0

Answer 10

xn = λr1^n+ μr2^n
où r1, r2 sont les racines du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈R^2

Question 11

Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:

Cas réelle : Si Δ=0

Answer 11

xn = (λn+ μ)r^n
où r est la racines double du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈R^2

Question 12

Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:

Cas réelle : Si Δ<0

Answer 12

xn =r^n(λcos(nθ)+μsin(nθ)
où rexp(+-iθ) sont les racines complexes conjuguées du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈R^2

Question 13

Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:

Cas complexe : Si Δ≠0,

Answer 13

xn = λr1^n+ μr2^n
où r1, r2 sont les racines du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈C^2

Question 14

Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:

Cas complexe : Si Δ=0

Answer 14

xn = (λn+ μ)r^n
où r est la racines double du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈C^2

Question 15

Proposition une suite bornée

Answer 15

Une suite (xn) est bornée si et seulement si il existe une constante c≥0 tel que | xn |≤ c.

Question 16

Suite (strictement) croissante:

Answer 16

Une suite (xn)n∈N est dite (strictement) croissante si xn≤(

Question 17

Suite (strictement) décroissante:

Answer 17

Une suite (xn)n∈N est dite (strictement) décroissante si xn≥(>)xn+1 pour tout n∈N.

Question 18

Une suite monotone:

Answer 18

Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

Question 19

Suites de Cauchy

Answer 19

si (xn) converge vers x, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que | xn − x |< 1/2ε pour tout n ≥ N. Donc pour tout entier m, n ≥ N
| xn − xm |=| xn − x + x − xm |≤| xn − x | + | xm − x |< 1/2ε +1/2ε = ε

Question 20

Définition 1.59. Suites de Cauchy:
Un suite (xn) est dite de Cauchy si à tout

Answer 20

ε > 0, on peut associer un N ∈ N tel que pour tout n,m ≥ N on a | xn − xm |< ε

Question 21

Théorème 1.60. Suites de Cauchy:

Une suite numérique (xn) est une suite de Cauchy si et seulement si

Answer 21

elle converge

Question 22

Définition 1.55. Suites adjacentes

Answer 22

On dit que deux suites (xn) et (yn) sont adjacentes, si l’une croissante, l’autre décroissante et lim(xn − yn) = 0.

Question 23

Théorème 1.56. Suites adjacentes

Answer 23

Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite et pour tout n ∈ N : x0 ≤ xn ≤ xn+1 ≤ yn+1 ≤ yn ≤ y0
Attention ! Si on a seulement lim(xn − yn) = 0., on ne peut déduire que lim(xn) = lim(yn). car on ne sait même pas a priori que (xn) et (yn) admettentdes limites.

Question 24

Définition 1.64. Négligabilité

Answer 24

La suite u est négligeable par rapport à la suite v, noté Un = o(Vn), s’il existe une suite ε de limite nulle telle qu’à partir d’un certain rang Un = εnxVn.

Question 25

Propriété Négligabilité

Answer 25

On suppose que v ne n’annule pas à partir d’un certain rang. Alors, un = o(vn) si et seulement si lim(un/vn) = 0.

Question 26

Propriété 3 Négligabilité (∼ et Opérations)

Answer 26

Soient u, v, w, t quatre suites et λ∈ K* (K = R ou C).

1. Si un ∼ vn alors λun ∼ λvn.
2. Si un ∼ vn et wn ∼ tn alors unwn ∼ vntn et un/wn ∼ vn/tn
3. Soient a ∈ R et u, v des suites à termes positifs. Si un ∼ vn alors (Un)^a ∼ (Vn)^a