Suites et fonctions Flashcards
Suite géométrique:
x(n+1)=qx(n)
x(n)=x(0)q^n
Sn=(n)Σ(k=1)x(k)=x(0)*(1-q^(n+1))/(1-q)
Démonstration somme d’une suite géométrique
Sn=x(0)+x(0)q+x(0)q^2+……+x(0)q^n
qSn=x(0)q+x(0)q^2+…………+x(0)q^n+x(0)q^(n+1)
(1-q)Sn=x(0)-x(0)q^(n+1)
Sn=x(0)*(1-q^(n+1))/(1-q)
Suite arithmétique:
x(n+1)=x(n)+m
x(n)=x(0)+nm
Sn=(n)Σ(k=1)x(k)=(n+1)(x(0)+x(n))/2
Démonstration d’une suite arithmétique:
Sn=U(0)+U(1)+…….+U(n)
Suite arithmético-géométrique:
U(n+1)=aU(n)+b
U(0)=c∈R
On suppose a≠1 et b≠0
Etape 1:
On cherche le point fixe de f(x)=x avec f(x)=ax+b
Résoudre ax+b=x
La solution noté L
Donc: L=b/(1-a)
Etape 2:
Soit Vn= Un-L
Montrons que Vn est géométrique
V(n+1)=U(n+&)-L
=aUn+b-(b/(1-a))=aUn+(b(1-a)-b)/(1-a)
=aUn-(ab)/(1-a)= a(Un-b/(1-a))
=a(Un-L)= a(Vn)
Etape 3:
Exprimer Vn en fonctionde n puis exprimer Un en fonction de n
Vn=V(0)a^n
=(U(0)-L)a^n
or Vn= Un-L
alors Un=Vn+L=(U(0)-L)a^n+LDéfinition suite constante et stationnaire
Une suite (xn) est constante s’il existe c∈R tel que pour tout entier naturel n, un = c. Une suite est dite stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang.
Suite minorée:
Une suite (xn)n∈N est dite minorée, s’il existe a∈R tel que pour tout n∈N on a xn≥a.
Suite majorée:
Une suite (xn)n∈N est dite majorée, s’il existe b∈R tel que pour tout n∈N on a xn≤b.
Suite bornée:
Une suite (xn)n∈N est dite bornée, si (xn)n∈N est à la fois minorée et majorée.
Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:
Cas réelle : Si Δ>0
xn = λr1^n+ μr2^n
où r1, r2 sont les racines du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈R^2
Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:
Cas réelle : Si Δ=0
xn = (λn+ μ)r^n
où r est la racines double du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈R^2
Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:
Cas réelle : Si Δ<0
xn =r^n(λcos(nθ)+μsin(nθ)
où rexp(+-iθ) sont les racines complexes conjuguées du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈R^2
Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:
Cas complexe : Si Δ≠0,
xn = λr1^n+ μr2^n
où r1, r2 sont les racines du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈C^2
Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2:
Cas complexe : Si Δ=0
xn = (λn+ μ)r^n
où r est la racines double du polynôme
caractéristique et ( λ , μ)∈C^2
Proposition une suite bornée
Une suite (xn) est bornée si et seulement si il existe une constante c≥0 tel que | xn |≤ c.
Suite (strictement) croissante:
Une suite (xn)n∈N est dite (strictement) croissante si xn≤(
Suite (strictement) décroissante:
Une suite (xn)n∈N est dite (strictement) décroissante si xn≥(>)xn+1 pour tout n∈N.
Une suite monotone:
Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.
Suites de Cauchy
si (xn) converge vers x, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que | xn − x |< 1/2ε pour tout n ≥ N. Donc pour tout entier m, n ≥ N
| xn − xm |=| xn − x + x − xm |≤| xn − x | + | xm − x |< 1/2ε +1/2ε = ε
Définition 1.59. Suites de Cauchy: Un suite (xn) est dite de Cauchy si à tout
ε > 0, on peut associer un N ∈ N tel que pour tout n,m ≥ N on a | xn − xm |< ε
Théorème 1.60. Suites de Cauchy:
Une suite numérique (xn) est une suite de Cauchy si et seulement si
elle converge
Définition 1.55. Suites adjacentes
On dit que deux suites (xn) et (yn) sont adjacentes, si l’une croissante, l’autre décroissante et lim(xn − yn) = 0.
Théorème 1.56. Suites adjacentes
Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite et pour tout n ∈ N : x0 ≤ xn ≤ xn+1 ≤ yn+1 ≤ yn ≤ y0
Attention ! Si on a seulement lim(xn − yn) = 0., on ne peut déduire que lim(xn) = lim(yn). car on ne sait même pas a priori que (xn) et (yn) admettentdes limites.
Définition 1.64. Négligabilité
La suite u est négligeable par rapport à la suite v, noté Un = o(Vn), s’il existe une suite ε de limite nulle telle qu’à partir d’un certain rang Un = εnxVn.
Propriété Négligabilité
On suppose que v ne n’annule pas à partir d’un certain rang. Alors, un = o(vn) si et seulement si lim(un/vn) = 0.
Propriété 3 Négligabilité (∼ et Opérations)
Soient u, v, w, t quatre suites et λ∈ K* (K = R ou C).
- Si un ∼ vn alors λun ∼ λvn.
- Si un ∼ vn et wn ∼ tn alors unwn ∼ vntn et un/wn ∼ vn/tn
- Soient a ∈ R et u, v des suites à termes positifs. Si un ∼ vn alors (Un)^a ∼ (Vn)^a
