Storhetsuträkning Flashcards
Vad är storhetsuträkning?
Att beräkna en fysikalisk storhet som arbete, massa eller volym genom användning av integraler.
Vad är ett exempel på storhetsuträkning med arbete?
Arbetet W som utförs av en kraft F(x) när den rör sig från punkt a till punkt b beräknas som:
W = ∫ F(x) dx från a till b.
Hur kan man beräkna massan av en kropp med varierande densitet?
Massa = ∫ ρ(x) dx från a till b, där ρ(x) är densiteten vid varje punkt längs kroppen.
Vad används för att beräkna volymen av ett område?
Volymen kan beräknas genom att använda en integral för att summera små volymelement längs en axel.
Vad innebär proportionalitet i sammanhang med integraler?
Om två variabler är proportionella, kan man använda en konstant k för att beskriva deras relation:
y = kx, där k är proportionalitetskonstanten.
Hur påverkar en konstant multiplicering av en funktion i en integral?
Om f(x) är en funktion och k är en konstant, så:
∫ k * f(x) dx = k * ∫ f(x) dx.
Hur påverkar skalning av intervallet i en integral?
Om intervallet för integrationen ändras, t.ex. genom en skalning, multipliceras integralen med den faktorn:
∫ f(ax) dx = (1/a) * ∫ f(x) dx, där a är en konstant.
Vad händer när man integrerar en funktion av formen f(ax)?
Då kan man använda substitution för att förenkla och faktorisera om integralen, vilket kan göras genom att sätta u = ax.
Hur beräknas medelvärdet av en funktion?
Om f(x) är en funktion och intervallet är från a till b, så beräknas medelvärdet som:
Medelvärde = (1 / (b - a)) * ∫ f(x) dx från a till b.
Hur beräknar man arbete när kraften inte är konstant?
Arbetet beräknas som integralen av kraften över det avstånd där kraften verkar:
W = ∫ F(x) dx från a till b.
Hur beräknas den totala massan för en kropp med varierande densitet?
Om densiteten är en funktion ρ(x), så beräknas massan som:
M = ∫ ρ(x) dx från a till b.
Hur beräknar man volymen av en kropp roterad kring en axel?
Volymen av en kropp roterad kring x-axeln beräknas som:
V = ∫ π * [f(x)]² dx från a till b.
Vad är ett exempel på differentiell proportionalitet i integraler?
Om en funktion är proportionell mot sin egen derivata, som i f’(x) = k * f(x), då löses detta med en exponentialfunktion.
Hur löses en differentialekvation som är proportionell?
För ekvationen f’(x) = k * f(x) används metoden för separation av variabler:
df/f(x) = k dx → ln |f(x)| = kx + C.
Hur används integraler för att beräkna total intäkt eller kostnad i ekonomi?
Om intäkten per enhet är en funktion av x, kan total intäkt beräknas som:
Intäkt = ∫ P(x) dx från a till b, där P(x) är priset per enhet.
Hur beräknas den totala förändringen i en kvantitet över tid?
Genom att integrera förändringstakten över den givna tiden:
ΔQ = ∫ dQ/dt dt, där dQ/dt är förändringstakten vid varje ögonblick.
Vad innebär en variabelsubstitution i en integral?
Substitution innebär att byta ut en variabel för att förenkla integralen, till exempel: u = g(x), så att du kan ersätta dx med du/g’(x).
Hur kan du hantera en integral med sammansatta funktioner?
Genom att använda kedjeregeln för att förenkla uttrycket innan integration.
Vad är en rationell funktion och hur integreras den?
En rationell funktion är kvoten av två polynom. Den integreras genom att dela upp den i enklare delar, ibland med partialbråksuppdelning.
