Area under en kurva

Question 1

Vad innebär “area under en kurva”?

Answer 1

Det handlar om att beräkna arean mellan en funktion och x-axeln inom ett intervall.

Question 2

Vad är den matematiska formeln för att beräkna area under en kurva?

Answer 2

∫f(x) dx från a till b, där f(x) är funktionen och [a, b] är intervallet.

Question 3

Vad gör den bestämda integralen?

Answer 3

Den beräknar den exakta arean under en kurva mellan två punkter på x-axeln.

Question 4

Vad betyder det när den bestämda integralen ger ett negativt värde?

Answer 4

Det innebär att kurvan ligger under x-axeln och den resulterande arean är negativ.

Question 5

Hur tolkas värdet av en bestämd integral?

Answer 5

Det representerar den nettoarean, det vill säga skillnaden mellan arean ovanför och under x-axeln.

Question 6

Vad händer om hela kurvan är ovanför x-axeln?

Answer 6

Då blir den bestämda integralen alltid positiv och motsvarar den faktiska arean under kurvan.

Question 7

Vad är en primitiv funktion?

Answer 7

En funktion vars derivata är lika med den ursprungliga funktionen. Den används för att beräkna integraler.

Question 8

Hur beräknas en bestämd integral med hjälp av primitiva funktioner?

Answer 8

Först hittar du den primitiva funktionen F(x), sedan beräknar du F(b) - F(a).

Question 9

Hur beräknas area under en kurva som ligger under x-axeln?

Answer 9

Integralen ger ett negativt värde, så du tar absolutbeloppet av det resultatet för att få den faktiska arean.

Question 10

Vad händer om kurvan både är ovanför och under x-axeln?

Answer 10

Du delar upp intervallet där kurvan är över och under x-axeln, beräknar integralerna separat och summerar resultaten.

Question 11

Hur beräknas arean mellan två funktioner f(x) och g(x)?

Answer 11

Genom att beräkna integralen av skillnaden mellan funktionerna: ∫[f(x) - g(x)] dx från a till b.

Question 12

Vad är förutsättningen för att beräkna arean mellan två funktioner?

Answer 12

f(x) måste vara över g(x) inom det aktuella intervallet.

Question 13

Vad gör man om funktionen är både positiv och negativ på olika delar av intervallet?

Answer 13

Använd absolutbeloppet av funktionen för att få den totala positiva arean.

Question 14

Hur påverkar absolutbeloppet beräkningen av arean?

Answer 14

Det säkerställer att all area beräknas som positiv, även om funktionen ligger under x-axeln.

Question 15

Hur beräknas medelvärdet av en funktion över ett intervall [a, b]?

Answer 15

(1/(b - a)) ∫f(x) dx från a till b. Detta ger medelvärdet av f(x) på intervallet.

Question 16

Hur påverkar en funktionens konvexitet areaberäkningarna?

Answer 16

Om funktionen är konvex (uppåtvänd), kommer arean att vara “över” kurvan, medan om den är konkav (nedåtvänd) så är kurvan “under” x-axeln.

Question 17

När används area under en kurva i praktiska tillämpningar?

Answer 17

Vid beräkning av arbete (kraft över en sträcka), hastighet och tid (hastighetsfunktionen), och i ekonomi (kostnad och intäktskurvor).

Question 18

Hur beräknas arean under kurvan y = x² mellan x = 0 och x = 3?

Answer 18

∫x² dx från 0 till 3 = [x³/3] från 0 till 3 = (27/3) - 0 = 9.

Question 19

Hur beräknas arean under kurvan y = sin(x) från x = 0 till x = π?

Answer 19

∫sin(x) dx från 0 till π = [-cos(x)] från 0 till π = (-(-1)) - (-1) = 2.

Question 20

Hur beräknas arean mellan kurvorna y = x² och y = x + 2 mellan x = 0 och x = 2?

Answer 20

∫[(x + 2) - x²] dx från 0 till 2 = ∫(x + 2 - x²) dx från 0 till 2. Beräkna varje del för att hitta resultatet.