Area mellan flera kurvor Flashcards
Vad är en bestämd integral?
En bestämd integral beräknar arean under en kurva mellan två gränser, till exempel från x = a till x = b.
Vad är arean under en kurva?
Arean under en kurva f(x) mellan x = a och x = b beräknas med den bestämda integralen ∫ f(x) dx från a till b.
Vad händer om en funktion är negativ?
Om funktionen f(x) är negativ mellan a och b, får resultatet av integralen ett negativt värde, vilket representerar en area under x-axeln.
Hur beräknar man arean mellan två kurvor f(x) och g(x)?
Arean mellan två kurvor f(x) och g(x) beräknas genom att integrera skillnaden mellan funktionerna:
∫ [f(x) - g(x)] dx från a till b.
När ska man använda absolutbelopp vid beräkning av area?
Om funktionerna skär varandra eller om en funktion går under x-axeln, används absolutbelopp för att säkerställa att arean blir positiv.
Hur vet man vilken funktion som ska vara övre respektive undre?
Funktionen som är större eller ligger ovanför på intervallet kallas den övre kurvan, och den som är mindre kallas den undre.
Hur hittar man gränserna för integration när man ska beräkna area mellan kurvor?
För att hitta gränserna a och b, sätt de två funktionerna lika med varandra, d.v.s. f(x) = g(x), och lös för x.
Hur hanterar man flera delar av arean mellan två kurvor?
Om de två kurvorna korsar varandra på flera ställen delas området upp i flera delområden, och varje del beräknas separat.
Vad innebär det att en kurva ligger mellan två funktioner?
Om f(x) ligger mellan g(x) och h(x) på ett intervall, beräknas arean genom att subtrahera de två funktionerna:
∫ [g(x) - h(x)] dx från a till b.
Vad gör man om de två funktionerna inte är lösliga för att hitta skärningspunkter?
Man använder numeriska metoder som Newton-Raphsons metod för att hitta skärningspunkterna om de inte går att lösa algebraiskt.
Vad innebär det att använda en uppdelad integral?
Om kurvorna byter position (t.ex. en går över och en går under), delas integralen upp vid skärningspunkterna, och varje del beräknas separat.
Hur kan man använda absolutbelopp vid beräkning av arean mellan kurvor?
Om det finns områden där f(x) < g(x), beräknar man integralen av |f(x) - g(x)| för att säkerställa att arean blir positiv.
Vad är formeln för area mellan f(x) och g(x) om f(x) > g(x)?
Area = ∫ [f(x) - g(x)] dx från a till b, där f(x) är över g(x) på intervallet.
Hur beräknar man area mellan två funktioner om de byter position på intervallet?
Dela upp intervallet vid varje skärningspunkt, och beräkna varje del separat:
∫ [f(x) - g(x)] dx från a till x1 + ∫ [g(x) - f(x)] dx från x1 till b.
Vad är skillnaden mellan att beräkna area mellan en kurva och x-axeln och area mellan två kurvor?
Vid area mellan en kurva och x-axeln beräknas ∫ |f(x)| dx, medan vid area mellan två kurvor beräknas skillnaden mellan dem: ∫ [f(x) - g(x)] dx.
Vad händer om det finns flera skärningspunkter mellan kurvor?
Dela upp arean vid varje skärningspunkt och beräkna varje område för sig, med olika uttryck för f(x) och g(x) beroende på vilket som är överst vid varje del.
Vad gör man om kurvorna inte är funktioner av samma variabel?
Om en kurva är uttryckt som y = f(x) och den andra som x = g(y), måste man använda parametriska ekvationer och integrera med avseende på den variabel som är relevant i varje del.
Vad är skillnaden mellan att beräkna y- eller x-baserad area?
Om du beräknar area mellan två kurvor i x-led, använder du ∫ f(x) - g(x) dx. Om du gör det i y-led, använder du ∫ f(y) - g(y) dy.
Vad ska man tänka på vid integration av funktioner som är komplicerade?
För komplexa funktioner, använd substation, partiell integration eller numeriska metoder om en exakt lösning inte är möjlig.
Vad gör man om integralen inte är lätt att beräkna?
För att förenkla beräkningen, använd symmetri eller bryt ner integralen i enklare delar om möjligt.
