Relations Flashcards
Une relation (binaire) sur un ensemble E est …
Une partie R ⊂ E2
Soit R ⊂ E2
R est réflexive ssi
∀x∈E, xRx
Soit R ⊂ E2
R est symétrique ssi
∀x,y ∈ E, xRy => yRx
Soit R ⊂ E2
R est transitive ssi
∀x,y,z ∈ E, xRy et yRz => xRz
Soit R ⊂ E2
R est anti-symétrique ssi
∀x,y ∈ E, (xRy et yRx) => x = y
Se représenter un schéma pour la réflexivité d’une relation
Un point x
Une flèche rouge sur lui même
Se représenter un schéma pour une relation symétrique
Deux points x et y
Une flèche bleue de x vers y
Une flèche rouge de y vers x
Se représenter un schéma pour une relation transitive
Trois points x, y, z
Une flèche bleue de x vers y
Une flèche bleue de y vers x
Une flèche rouge de x vers z
Se représenter un schéma pour une relation anti-symétrique
Deux points x et y
Une flèche bleue de x vers y
Une flèche bleue de y vers x
Un égal rouge entre x et y
Une relation d’ordre R sur E est :
- Réflexive
- anti-symétrique
- transitive
Donner trois exemples de relations d’ordre
- ≤ sur ℝ
- ⊂ sur 𝒫(E)
- | sur ℕ
Soit A ⊂ E ordonné
Un minorant de A est …
un x ∈ E tel que ∀y∈A, x ≤ y
Soit A ⊂ E ordonné
Un majorant de A est …
un x ∈ E tel que ∀y∈A, x ≥ y
Soit A ⊂ E ordonné
Le minimum de A est …
Un minorant de A tel que x ∈ A
Soit A ⊂ E ordonné
Le maximum de A est …
Un majorant x de A tel que x ∈ A
Soit A ⊂ E ordonné
La borne inférieure de A est
le plus grand des minorants de A
Soit A ⊂ E ordonné
La borne supérieure de A est …
le plus petit des majorants de A
Une relation d’équivalence est :
- Réflexive
- Symétrique
- Transitive
Donner un exemple de relation d’équivalence
E = ℤ , n ∈ ℤ
pRq ssi p ≡ q[n]
Une ordre R sur E est dit total si on a …
∀x,y ∈ E, xRy ou yRx
Un ordre qui n’est pas total est dit …
partiel
Si R est une équivalence sur E et x ∈ E, la classe d’équivalence de x pour R est …
[x]R = {y∈E|xRy}
càd: L’ensemble des y de E tels que xRy
Si R est une équivalence sur E, l’ensemble quotient E/R est …
l’ensemble des [x]R
càd l’ensemble de toutes les classes d’équivalence
Donner l’énoncé mathématique désignant les éléments maximaux d’un ensemble
{x ∈ E ∣ ∀y ∈ E, (xRy ⇒ x = y)}
