Relations

Question 1

Une relation (binaire) sur un ensemble E est …

Answer 1

Une partie R ⊂ E²

Question 2

Soit R ⊂ E²

R est réflexive ssi

Answer 2

∀x∈E, xRx

Question 3

Soit R ⊂ E²

R est symétrique ssi

Answer 3

∀x,y ∈ E, xRy => yRx

Question 4

Soit R ⊂ E²

R est transitive ssi

Answer 4

∀x,y,z ∈ E, xRy et yRz => xRz

Question 5

Soit R ⊂ E²

R est anti-symétrique ssi

Answer 5

∀x,y ∈ E, (xRy et yRx) => x = y

Question 6

Se représenter un schéma pour la réflexivité d’une relation

Answer 6

Un point x
Une flèche rouge sur lui même

Question 7

Se représenter un schéma pour une relation symétrique

Answer 7

Deux points x et y
Une flèche bleue de x vers y
Une flèche rouge de y vers x

Question 8

Se représenter un schéma pour une relation transitive

Answer 8

Trois points x, y, z
Une flèche bleue de x vers y
Une flèche bleue de y vers x
Une flèche rouge de x vers z

Question 9

Se représenter un schéma pour une relation anti-symétrique

Answer 9

Deux points x et y
Une flèche bleue de x vers y
Une flèche bleue de y vers x
Un égal rouge entre x et y

Question 10

Une relation d’ordre R sur E est :

Answer 10

• Réflexive
• anti-symétrique
• transitive

Question 11

Donner trois exemples de relations d’ordre

Answer 11

• ≤ sur ℝ
• ⊂ sur 𝒫(E)
• | sur ℕ

Question 12

Soit A ⊂ E ordonné

Un minorant de A est …

Answer 12

un x ∈ E tel que ∀y∈A, x ≤ y

Question 13

Soit A ⊂ E ordonné

Un majorant de A est …

Answer 13

un x ∈ E tel que ∀y∈A, x ≥ y

Question 14

Soit A ⊂ E ordonné

Le minimum de A est …

Answer 14

Un minorant de A tel que x ∈ A

Question 15

Soit A ⊂ E ordonné

Le maximum de A est …

Answer 15

Un majorant x de A tel que x ∈ A

Question 16

Soit A ⊂ E ordonné

La borne inférieure de A est

Answer 16

le plus grand des minorants de A

Question 17

Soit A ⊂ E ordonné

La borne supérieure de A est …

Answer 17

le plus petit des majorants de A

Question 18

Une relation d’équivalence est :

Answer 18

• Réflexive
• Symétrique
• Transitive

Question 19

Donner un exemple de relation d’équivalence

Answer 19

E = ℤ , n ∈ ℤ
pRq ssi p ≡ q[n]

Question 20

Une ordre R sur E est dit total si on a …

Answer 20

∀x,y ∈ E, xRy ou yRx

Question 21

Un ordre qui n’est pas total est dit …

Answer 21

partiel

Question 22

Si R est une équivalence sur E et x ∈ E, la classe d’équivalence de x pour R est …

Answer 22

[x]_R = {y∈E|xRy}

càd: L’ensemble des y de E tels que xRy

Question 23

Si R est une équivalence sur E, l’ensemble quotient E/R est …

Answer 23

l’ensemble des [x]_R

càd l’ensemble de toutes les classes d’équivalence

Question 24

Donner l’énoncé mathématique désignant les éléments maximaux d’un ensemble

Answer 24

{x ∈ E ∣ ∀y ∈ E, (xRy ⇒ x = y)}