Logique et ensembles

Question 1

Quelle est la négation de P => Q

Answer 1

P et ¬Q

Question 2

Quelle est la réciproque de P => Q

Answer 2

Q => P

Question 3

Quelle est la contraposée de P => Q

Answer 3

¬Q => ¬P

Question 4

Quel lien y a-t-il entre une implication et sa contraposée ?

Answer 4

Elles sont toujours équivalentes

Question 5

(Faux => Faux) est …

Answer 5

Vrai

Question 6

(Faux => Vrai) est …

Answer 6

Vrai

Question 7

(Vrai => Faux) est …

Answer 7

Faux

Question 8

P => Q équivaut à …

Answer 8

¬P v Q

Question 9

P ^ (Q v R) = …

Answer 9

(P ^ Q) v (P ^ R)

[Distributivité de ^ sur v]

Question 10

Quelles sont les dualités de De Morgan ?

Answer 10

• ¬(P ^ Q) = ¬P v ¬Q
• ¬(P v Q) = ¬P ^ ¬ Q

Question 11

Comment définit-on un ensemble en compréhension ?

Answer 11

{x ∈ E | P(x)}

Question 12

Comment définir un ensemble en extension ?

Answer 12

{x₁, …, x_n}

Question 13

Quand dit-on que deux ensembles sont égaux ?

Answer 13

Quand E ⊂ F et F ⊂ E

Autrement dit, E et F ont les mêmes éléments

Question 14

Que signifie l’ensemble des parties de E ?

Answer 14

C’est l’ensemble de tous les ensembles inclus dans E, noté 𝒫(E)

Question 15

Donner l’ensemble des parties de {0, 1}

Answer 15

𝒫({0, 1}) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}

Question 16

Quel est le nombre de parties d’un ensemble à n éléments ?

Answer 16

2ⁿ

Question 17

Deux ensembles A et B sont disjoints si on a …

Answer 17

A ∩ B = ∅

Question 18

Pour tout ensemble A,
A \ ∅ = …

Answer 18

A

Question 19

Pour tout ensemble A,
A \ A = …

Answer 19

∅

Question 20

Pour tout ensemble A,
∅ \ A = …

Answer 20

∅

Question 21

Propriété différence ensembliste :

Pour tout ensemble A,
si b ∉ A, alors …

Answer 21

A \ {b} = A

Question 22

Soit E un ensemble
^cA = …

Answer 22

E \ A

Question 23

Donner deux propriétés de l’union et l’inclusion

Answer 23

• A ⊂ A∪B
• B ⊂ A∪B

Question 24

Donner deux propriétés de l’intersection et de l’inclusion

Answer 24

• A∩B ⊂ A
• A∩B ⊂ B

Question 25

Donner deux propriétés de l’inclusion

Answer 25

• A ⊂ A
• Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C (Transitivité)

Question 26

Définir le produit cartésien de deux ensembles E et F en compréhension

Answer 26

E × F = {(x, y) | x ∈ E et y ∈ F}

Question 27

|E × F| = …

Answer 27

|E||F|

Question 28

Définir en compréhension
𝒫_k(E) = …

Answer 28

{A ∈ 𝒫(E) | |A| = k}

Question 29

Comment calculer le cardinal de 𝒫_k(E) avec les coefficient binomiaux ?

Answer 29

|𝒫_k(E)| = binom(k, |E|)

Dénombrement binomial de k parmi |E|