QMII problemas Flashcards
aval S^2
s(s+1)h^2
aval Sz
ms h
donde ms es m-sub-s
Si S=3/2, ms puede ser…
+-1/2 +-3/2
Calcula (1 1) (1 0)’
el segundo es vector columna
=1
x y z
en esféricas
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
¿Cómo obtener el esférico armónico negativo a partir del positivo?
Y(l,-ml) = (-1)^ml [Y(l,ml)]*
Dimensión espacio de Hilbert
2j+1
Tengo dos operadores, S1 y S2, para dos partículas. ¿Conmutan?
Como son para dos partículas distintas, sí conmutan
puedes usar entonces el truco de S^2
La BA es común a
J1^2, J2^2, J^2, Jz
Para dos particulas de s=1/2:
Valores posibles de S y M?
Si s1=s2=1/2,
|1/2-1/2|<=S<=(1/2+1/2)
S=[0,1]
Si S=1, M=[-1,0,1] (triplete)
Si S=0, M=0 (singlete)
¿Cómo calcular E?
Aplicar H sobre un braket
Valores posibles de M ito J
desde - hasta +J
Valor máximo de M
La suma de las m sub ___
Otra forma de escribir J-
Combinación de L- + S-
(operador escalera de momento angular total, J, = ops. esc. orbital + de espín)
PERO hay que pasar then de ba (J) a bd (L, S).
BA
l l s J M > = l J M >
BD
l l ml s ms > = l ml ms >
Calcula autovalores λ
(“ -λ)(v1 v2) = (0 0)
sistema de ecuaciones
< Ψ l S1.S2 l Ψ > , where Ψ = l up1 > x l up2 >
son vectores
https://ibb.co/Lgz8ML2
just to remember how that interaction’d go
Expresar un vector de estado con spin s=1/2 arbitrario.
¿En qué base está?
l x > = cos(θ/2) l upz > + sin(θ/2) exp(iφ) l downz >
En la base propia de S^2 y Sz
Norte en esfera de Bloch
norte es θ=0, AKA l up >
sur es θ=π
Valores posibles de S&M al sumar dos espines 1/2
S es del op S^2, & can be S=[0,1], el singlete y triplete resp. M=[-1,0,1] y es de Sz.
este H tiene dim=4
Vector unitario en esféricas
n = (sin cos, sin sin, cosθ)
Valor esperado de la separacion al cuadrado entre dos particulas
Ver word
Valor esperado para R y R^2 del estado Φ en notación integral
R = int(r lΦl^2 dr)
R^2 = int(r^2 lΦl^2 dr)
en forma integral
R es un vector
int( r χ* Φ dr)
r = vectores
el fermión no obedece el PEP: T or F?
F. It do obey it.
Si tiene s=1/2, la partícula es
Un fermión
¿Dos fermiones distinguibles cumplen PEP?
no, porque están en dif. est.
Spin de electrones, protones y neutrones
1/2
Si estamos en 1s, 2p y 3d
¿n?
¿l?
n=1, 2, 3
l=0, 1, 2
Tengo dos e
¿ms?
+- 1/2
y si uno tiene es ↑, el otro debe ser ↓ por PEP
Vector de estado antisimétrico
l Ψ(2) > = N [ lχ>1 x lφ>2 - lχ>1 x lφ>2 ]
si fuera simétrico, iría con +
Aval. Jz
M h
Si tengo dos e- en el mismo N, ¿qué restricción hay?
msa =/= msb
o se anularía al antisimetrizar
Spin fermiones
Semientero
p.e. 3/2
Si tengo dos fermiones indistinguibles, el vector de estado total será
Antisimétrico
Si tengo dos fermiones indistinguibles con parte espacial simétrica, entonces
La parte de spin será antisimétrica
Conozco el spin de dos partículas
¿Forma de la ba?
l sa sb S Ms >
H oscilador armónico 1D
Avecs
Avals
l ε(0,k) > = l k >
E(0,k) = (k + 1/2) hω
Operador posición ito operadores escalera
X = sqrt(h/2mω) (a+ + a)
Avals operador escalera
J+- l j m > = h sqrt[ j(j+1) - m(m+-1) ] l j m+-1 >
Avals operador escalera oscilador armónico
a+ ln> =√(n+1) ln+1>
Matriz usada para calcular términos de E a primer orden
Avals
ΔH = μ H(^1)
Avals μ E(^1)
Si tengo H=aL^2,
¿qué puedo concluir?
Aval: a l (l+1) h^2 con l l ml >
modulo vector complejo A
A*A
l Ψ(t) > teniendo H
metodo Ei
2 términos
c1(0) exp(-iE1t/h) lε1> + c2(0)…
But how do i know E1 goes w c1?
Well, if you have a diagonal matrix H, then it’s easy to see
l Ψ(t) > teniendo H
2 terminos
metodo 2
l Ψ(t) > = exp[-iH/h (t-to)] l Ψ(0) >
con exp [iHt/h] la matriz
[ exp(-iεt/h) 0 0 exp(iεt/h) ]
SII la H dada es diagonal
evolucion temporal estado cuantico
normalizar estado antes!
ih d/d’t l Ψ(t) > = H l Ψ(t) >
H = T + V = p^2/2m + V
[S^2, Sx]
0
[A, B]
AB - BA
ejemplos bosones
atomo H neutro (e + p)
nucleo del deuteron (proton + neutron)
Si una part. tiene S=1, es…
un bosón por tener espin entero
Reescribe Lx
(L+ + L-)/2
Aval L±
h √ l (l+1) - m (m±1)
Si tengo S y me piden el espectro, cual ket es mi base?
l s ms >
Aval Sx^2
h^2 ms^2
orbital p implica
l=1
si l=2 y s=1, j=?
1, 2, 3
orbital d implica
l=2
electrones: fermiones o bosones?
ferminones bc s=1/2
Reescribe Ly
(L+ - L-)/2i
(ab + ba) =
Re(a*b)
exp compleja ito (co)senos
cos(arg) + i sen(arg)
aval Jz
M h
Puede J ser negativo?
No
Recuerda el valor absoluto a la izq de la desigualdad
En cambio M va desde -J hasta +J
Para un J dado, la energía es mínima cuando M…
es máximo, o sea, M=J
Seno complejo
sinx = (1/2i) (e^ix - e^-ix)
Coseno complejo
cosx = (e^ix + e^-ix)/2
H clasico
H = p^2/2m + V
3ra componente del momento angular total
M
Simetria ito brakets
un estado es simetrico si no cambia bajo permutaciones
Reescribe p^2
-h^2 d’‘/dx
asumiendo sistema 1D en x
El minimo de E(c) es
E(c) = y c = x
una cota superior para la energía del estado fundamental de H y tb una estimación de la misma
segun el met. var.
escribe base ito n, l
l n l ml ms >
Si M es entero, puede J ser semientero?
Y al reves?
No
Tampoco
De qué valor depende PEP
Depende de ms, no de s
Si no, como tendrías dos e- en el mismo nivel EVER?
l puede ser semientero?
no creo bro
¿Importa operar (p.e. un valor esp.) si unos están en ba y otros bd?
SI (E9P3c)
Los operadores escalera S actuan sobre
ms
σ x
σy
σz
se lee de izq/ der y arriba abajo
(0 1 1 0)
(0 -i i 0)
(1 0 0 -1)
Como escribirias la base para un electron en el orbital x?
preferible
l n l ml ms >
ya que s no cambia
Aval J^2
h^2 j (j+1)
Formato para medir probabilidad A(λ1) = k
l < ψ(1) l Ψ(t) > l^2
Si para el mismo estado tengo 5 valores posibles de ml y 2 de ms, cual es la deg.?
5x2 = 10
BD para dos particulas
l m1 m2 >
función de onda spin para 3 electrones en
1s^2 2p
degen?
si s1=1 s2=2 y l3=3
la funcion es
Ψ = 123 + 321 +132 – 132 – 213 – 321
con d=2 porque no hay e- en n=3
3ra comp. mom. ang. total
M
Si s=0, ¿cuantas particulas caben por N?
as many as u want
Si s=3/2, ¿cuantas particulas caben por N?
4 (dep. de ms)
Aval S1^2
h^2 S(S+1)
la posible degen de J depende de…
M
si un estado es = bajo permutaciones, es—-
simetrico
Dos partículas de espín 1/2 se unen para formar una partícula compuesta. La partícula resultante
¿es un fermión o un bosón?
boson pq S=entero
ω(L)
frec de Lαrmor
ω(L) = γB T = 2π/ω
LA DEGENERACION DEPENDE DE
Mx
fermiones no idénticos: PEP?
No (E4P1)
Si son id, entonces ms1=/=ms2
Si no son id, ms1 puede ser =ms2
(conviene hacer tabla desde +Ms->0)
Tengo En, V, Ψn
calcular primera correccion
E(1,n) = < Ψn l V l Ψn >
