QMII Flashcards
Diferencia entre |Ψ> y exp(iθ)|Ψ>
Solo se diferencian en un factor de fase: describen el mismo estado.
Producto escalar entre dos vectores de una base
= SUM( α(i)β(j) )
y si la base es ortonormal
SUM(“) = SUM( α(i)β(j) ) = (α1… αn) (β1… βn)
Expresa un ket en forma matricial
Es una matriz columna sobre base ortonormal:
(…
…)
¿Que describe a los observables de un sistema cuantico? ¿Y los resultados de medidas?
Operadores autoadjuntos en H
Sus autovalores
Probabilidad de obtener el resultado 𝑎 no degenerado al medir el observable A
p(a) = l /εΨ/ l^2
donde |ε⟩ es el autovector del observable A correspondiente al autovalor ε. Tras la medida, el sistema colapsa al estado representado por el vector |ε>
Probabilidad de obtener el resultado 𝑎 degenerado al medir el observable A
𝑝(a) = ll Π(a) lΨ> ll^2 = /Ψ l Π(a) l Ψ/
donde Π(a) es el proyector ortonormal sobre el subespacio propio del observable A correspondiente al
autovalor 𝑎. Tras la medida, el sistema colapsa al estado representado por el vector
[𝐴, 𝐵]
Conmutador:
[𝐴, 𝐵] = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴
Traza de un operador
Tr[A] = ∑𝐴(ii) = ∑ /ei l A l ei /
where / / are brakets
Adjunto de un operador
es un operador 𝐴’ (cruz) que cumple ∀ |𝜓⟩, |𝜙⟩ ∈ ℋ,
|𝜓⟩, 𝐴|𝜙⟩) = (𝐴’|𝜓⟩, |𝜙⟩
⇒ /Ψ l AΦ/ = /A’Ψ l Φ/
⇒ /Ψ l A l Φ/ = /Φ l Α’ l Ψ/∗
(AB)’ (cruz)
(AB)’ = B’A’
Para obtener el adjunto de un producto con factores de diverso tipo es necesario:
- remplazar los factores de la siguiente manera: 𝛼 → 𝛼∗ ; |𝜓⟩ → ⟨𝜓| ; ⟨𝜓| → |𝜓⟩ ; 𝐴 → 𝐴’.
- invertir el orden de los factores.
Define degeneracion
La degeneración 𝑔(a) de un autovalor es el número (>1) de autovectores linealmente independientes asociados a él, que forman un subespacio propio del operador, ℋ(a)
Si dos operadores A y B conmutan entre sí…
Tienen una base propia común
[𝐴, 𝑓(𝐴)]
[𝐴, 𝑓(𝐴)] = 0
Existe entonces una base propia común a ambos, con autovalores 𝑎 para A y 𝑓(𝑎,) para 𝑓(𝐴)
¿Que es y que hace un operador proyeccion?
Un operador proyección es un operador autoadjunto idempotente (Π^2 = Π) con autovalores 0 o 1.
Proyecta cualquier vector sobre el subespacio ℋ
Define valor esperado
El valor esperado de un observable A en el estado representado por |𝜓⟩ es la media de los valores obtenidos en la medida del observable en un conjunto de sistemas preparados de forma idéntica.
Varianza valor esperado
σ^2(A,Ψ) = /A^2/-/A/^2
Dos observables son compatibles si…
Conmutan entre sí; cumplen 𝜎(A)𝜎(B) ≥ 0 y tienen una base propia común
Principio de incertidumbre generalizado
𝜎(A)𝜎(B) ≥ (1/2) |/[A,B]/|
Producto escalar y valor esperado de un operador
= INT[Ψ*(a)Φ(a)da]
= INT[a |Ψ(a)|^2 da]
Operador momento
P Ψ(x) = -iℏ d/dx Ψ(x)
Expresa un vector en el espacio de posiciones
|Ψ> = INT[dx |x>]
= ΙΝΤ[dx Ψ(x) |x>]
donde Ψ(x) =
Conmutadores momento angular
[Jx,Jy] = ihJz [Jy,Jz] = ihJx [Jz,Jx] = ihJy
[J^2, Ji]
0
Como conmutan, se puede hallar una base propia común a ambos
[Jx^2, Jz] =
[Jx^2, Jz] = Jx[Jx, Jz] + [Jx, Jz]Jx
que es una propiedad de comutadores estilo [AB,C]
J^2 |j m>
Jz |j m>
J^2 |j m> = h^2 j(j+1) |j m>
Jz |j m> = hm |j m>
Valores posibles de j y m
j es un (semi)entero positivo
m va de (-j, …, j), luego el subespacio propio de J^2 corr con el autovalor h^2 j(j+1) tiene dimension 2j+1
¿Por qué no podemos conmocer todo sobre el momento angular?
Si dos operadores no conmuten, se cumple el principio de inctertidumbre generalizado
J± |j m>
J± |j m> = h SQRT[j(j+1)-m(m±1)] |j m±1>
Elementos de matriz de J±
⟨𝑗 𝑚| 𝐽± |𝑗′ 𝑚′>
⟨𝑗 𝑚| 𝐽± |𝑗′ 𝑚′> = ℏ sqrt[ 𝑗(𝑗 + 1) − 𝑚′(𝑚′±1)] 𝛿(m,m’±1) 𝛿(j,j)
Elementos de matriz de J^2
⟨𝑗 𝑚| 𝐽^2 |𝑗′ 𝑚′⟩
⟨𝑗 𝑚| 𝐽^2 |𝑗′ 𝑚′⟩ = ℏ^2 𝑗(𝑗 + 1) 𝛿(m,m) 𝛿(j,j)
Elementos de matriz de Jz
⟨𝑗 𝑚| 𝐽z |𝑗′ 𝑚′⟩
⟨𝑗 𝑚| 𝐽z |𝑗′ 𝑚′⟩ = ℏm 𝛿(m,m) 𝛿(j,j)
Jx ito J± (2)
𝐽x = 1/2(J+ + 𝐽-)
𝐽x = 1/2i(J+ - 𝐽-)
Operador rotacion
¿y sobre un operador A?
Rn(θ) = exp(-iJn𝜃/h)
donde Jn = J.n (n es unitario) y, como J es op. autoadjunto (observable means autov. reales), Rn(θ) es unitario.
𝐴′ = 𝑅n(𝜃) 𝐴 [𝑅(𝜃)]^-1
Operador Jn ito vectors
Jn = J.n (n es unitario)
Operador momento angular L
𝐿 = −𝑖ℏ (𝑟⃗× 𝛻)
Cual es la función armónico esférico?
¿Qué hacer si se tiene la función para -m pero no m?
Es la Y(l,m(l))(θ,φ) del autovector |l m(l)> = f(r)Y
Y(l,-m(l)) = (-1)^2m(l) [Y(θ,φ)]
Autovector de base propia común a L^2 y Lz
|l m(l)> = f(r) Y(l,m(l))(θ,φ)
o sea, una parte radial y otra angular
Valores posibles de l
la “l” del momento angular orbital debe ser un # entero
Estado entrelazado
UNDONE
Unir dos espacios de H
H=H1 x H2 (producto tensorial)
l ↓ >
l ↓ > = l 1/2 -1/2 > = l - >
= (0
1)
Matrices de Pauli
σx = (0 1/ 1 0) σy = (0 -1/ 1 0) σz = (1 0/ 0 -1)
Las tres son autoadj. (obs.) y con autov. 1, -1
Operadores S, S^2
Sx = hσx/2 Sy = hσy/2 Sz = hσz/2 S^2 = (3h^2/4) Id
donde Id es la matriz identidad en 2D
Representación en función de onda sobre S
… im tired
Autovalores de Sn
Son ± h/2, porque todas las dirs. del espacio son equivalentes
Autovectores de Sz
Son las flechas, o sea (1 0) y (0 1) con autov. ± h/2, respec.
[σ^2,σx]
= 0
lo mismo con σy, σz
L±
L± = Lx ± iLy = ±h exp(±iφ) (d’/dθ ± d’/dθ i/tanφ)
L^2
L^2 = -h^2 [1/sinθ d’/dθ(sinθ d’/dθ) + 1/sin^2θ (d’/dφ)^2]
Rango valores numeros cúantico s y ms
s: solo valores enteros o semienteros
ms: [-s,….,s]
Operador asociado al espin 1/2
Es una matriz Sn = S.n (n unitario)
= h/2 [cosθ sinθ exp(-i)
sinθ exp(iφ) -cosθ]
con autovectores(valores)
/↑ > = [cos(θ/2) -sin(θ/2) exp(iφ)]
/↓ > = [sin(θ/2) -cos(θ/2) exp(iφ)]
(±h/2)
l ↑ >
l 1/2 1/2 >
Escribir estado genérico del espin 1/2
l X > = cos(θ/2) l ↑ > + sin(θ/2) exp(φ) l ↓ >
con estas dos coordenadas angulares, se puede asociar un vector a un unico punto sobre una esfera de r=1, la esfera de Bloch, donde el polo norte es l↑>
Base desacoplada
la base propia común de los operadores 𝑗1^2, j1z, j2^2, j2z
https://ibb.co/B2Q9kYB
Base acoplada
la base propia común de los operadores 𝑗1^2, j2^2, j^2, Jz
https://ibb.co/mb3ptkG
Suma de momentos angulares
Los v de la base acop. pueden expresarse como combinación lineal de los vectores de la base
desaco. y viceversa:
l j1 j2 J M > = SUMSUM /j1 m1 j2 m2 l j1 j2 J M/ lj1 m1 j2 m2>
l j1 m1 j2 m2 > = SUM /j1 j2 J M l j1 m1 j2 m2/ l j1 j2 J M>
https://ibb.co/1XDr8yB
los coeficientes reales /…/ de los sumatorios son coeficientes de Clebsch-Gordan
¿Como obterner los coeficientes de Clebsch-Gordan?
Aplicando sucesivamente el op. escalera J- partiendo del vector de la base acoplada con J y M maximos.
(is this important?)
Posibles numeros cuanticos S, M
S=[0,1] donde 1 es triplete y 0 singlete.
M=[-1,0,1]
Posibilidades:
https://ibb.co/r0DP4vb
Hamiltoniano particula de espin S en reposo en un B
H = -μs.B = -γ S.B
donde el vector μs es el momento dipolar magnético de la partícula, proporcional al espin por la razon giromagnetica γ
Evolución temporal vector de estado genérico de espin
https://ibb.co/PW1h4WJ
Valores esperados componentes del espin en estado generico
https://ibb.co/7k12D7W
Frecuencia de Larmor
el valor esperado del vector de espín 𝑆⃗ forma un
ángulo 𝜃 con la dirección del campo magnético (eje z), en torno al cual toma un movimiento de precesión con frecuencia 𝜔L = 𝛾𝐵
(frecuencia de Larmor)
Si una part. tiene S=1, es…
un bosón por tener espin entero
ejemplos bosones
atomo H neutro (e + p)
nucleo del deuteron (proton + neutron)
[A, B]
AB - BA
[S^2, Sx]
= 0
same for y & z
evolucion temporal estado cuantico
normalizar estado antes!
ih d/d’t l Ψ(t) > = H l Ψ(t) >
H = T + V = p^2/2m + V
l Ψ(t) > teniendo H
2 terminos
metodo 2
l Ψ(t) > = exp[-iH/h (t-to)] l Ψ(0) >
con exp [iHt/h] la matriz
[ exp(-iεt/h) 0 0 exp(iεt/h) ]
SII la H dada es diagonal
l Ψ(t) > teniendo H
metodo 1
2 términos
c1(0) exp(-iE1t/h) lε1> + c2(0)…
modulo vector complejo A
A*A
