QMII Flashcards
Diferencia entre |Ψ> y exp(iθ)|Ψ>
Solo se diferencian en un factor de fase: describen el mismo estado.
Producto escalar entre dos vectores de una base
= SUM( α(i)β(j) )
y si la base es ortonormal
SUM(“) = SUM( α(i)β(j) ) = (α1… αn) (β1… βn)
Expresa un ket en forma matricial
Es una matriz columna sobre base ortonormal:
(…
…)
¿Que describe a los observables de un sistema cuantico? ¿Y los resultados de medidas?
Operadores autoadjuntos en H
Sus autovalores
Probabilidad de obtener el resultado 𝑎 no degenerado al medir el observable A
p(a) = l /εΨ/ l^2
donde |ε⟩ es el autovector del observable A correspondiente al autovalor ε. Tras la medida, el sistema colapsa al estado representado por el vector |ε>
Probabilidad de obtener el resultado 𝑎 degenerado al medir el observable A
𝑝(a) = ll Π(a) lΨ> ll^2 = /Ψ l Π(a) l Ψ/
donde Π(a) es el proyector ortonormal sobre el subespacio propio del observable A correspondiente al
autovalor 𝑎. Tras la medida, el sistema colapsa al estado representado por el vector
[𝐴, 𝐵]
Conmutador:
[𝐴, 𝐵] = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴
Traza de un operador
Tr[A] = ∑𝐴(ii) = ∑ /ei l A l ei /
where / / are brakets
Adjunto de un operador
es un operador 𝐴’ (cruz) que cumple ∀ |𝜓⟩, |𝜙⟩ ∈ ℋ,
|𝜓⟩, 𝐴|𝜙⟩) = (𝐴’|𝜓⟩, |𝜙⟩
⇒ /Ψ l AΦ/ = /A’Ψ l Φ/
⇒ /Ψ l A l Φ/ = /Φ l Α’ l Ψ/∗
(AB)’ (cruz)
(AB)’ = B’A’
Para obtener el adjunto de un producto con factores de diverso tipo es necesario:
- remplazar los factores de la siguiente manera: 𝛼 → 𝛼∗ ; |𝜓⟩ → ⟨𝜓| ; ⟨𝜓| → |𝜓⟩ ; 𝐴 → 𝐴’.
- invertir el orden de los factores.
Define degeneracion
La degeneración 𝑔(a) de un autovalor es el número (>1) de autovectores linealmente independientes asociados a él, que forman un subespacio propio del operador, ℋ(a)
Si dos operadores A y B conmutan entre sí…
Tienen una base propia común
[𝐴, 𝑓(𝐴)]
[𝐴, 𝑓(𝐴)] = 0
Existe entonces una base propia común a ambos, con autovalores 𝑎 para A y 𝑓(𝑎,) para 𝑓(𝐴)
¿Que es y que hace un operador proyeccion?
Un operador proyección es un operador autoadjunto idempotente (Π^2 = Π) con autovalores 0 o 1.
Proyecta cualquier vector sobre el subespacio ℋ
Define valor esperado
El valor esperado de un observable A en el estado representado por |𝜓⟩ es la media de los valores obtenidos en la medida del observable en un conjunto de sistemas preparados de forma idéntica.
Varianza valor esperado
σ^2(A,Ψ) = /A^2/-/A/^2
Dos observables son compatibles si…
Conmutan entre sí; cumplen 𝜎(A)𝜎(B) ≥ 0 y tienen una base propia común
Principio de incertidumbre generalizado
𝜎(A)𝜎(B) ≥ (1/2) |/[A,B]/|
Producto escalar y valor esperado de un operador
= INT[Ψ*(a)Φ(a)da]
= INT[a |Ψ(a)|^2 da]
Operador momento
P Ψ(x) = -iℏ d/dx Ψ(x)
Expresa un vector en el espacio de posiciones
|Ψ> = INT[dx |x>]
= ΙΝΤ[dx Ψ(x) |x>]
donde Ψ(x) =
Conmutadores momento angular
[Jx,Jy] = ihJz [Jy,Jz] = ihJx [Jz,Jx] = ihJy
[J^2, Ji]
0
Como conmutan, se puede hallar una base propia común a ambos
[Jx^2, Jz] =
[Jx^2, Jz] = Jx[Jx, Jz] + [Jx, Jz]Jx
que es una propiedad de comutadores estilo [AB,C]
J^2 |j m>
Jz |j m>
J^2 |j m> = h^2 j(j+1) |j m>
Jz |j m> = hm |j m>
Valores posibles de j y m
j es un (semi)entero positivo
m va de (-j, …, j), luego el subespacio propio de J^2 corr con el autovalor h^2 j(j+1) tiene dimension 2j+1
¿Por qué no podemos conmocer todo sobre el momento angular?
Si dos operadores no conmuten, se cumple el principio de inctertidumbre generalizado
