Probabilità

Question 1

A che serve la probabilità?

Answer 1

La teoria della probabilità entra in gioco in qualunque situazione in cui è necessario fare previsioni o prendere decisioni in condizioni di incertezza. Per questo essa svolge un ruolo cruciale in tutte le scienze naturali e sociali oltre che in ogni genere di processo decisionale.

A domande come “pioverà domenica prossima a Milano?” o “ci sarà un forte terremoto nella regione A nei prossimi 50 anni?” o “se lancio 10 dadi la somma ottenuta sarà minore di 60?” o “la Juventus vincerà il campionato?” o “se risulto positivo al test per la malattia A sono effettivamente malato?” NON si può dare una risposta certa. Non abbiamo informazioni sufficienti oppure le variabili che determinano l’evento sono troppe e le loro interazioni sono troppo complesse.
Ma incertezza non significa che tutte le risposte sono equivalenti. Alcune risposte sono più plausibili di altre. La teoria della probabilità ci aiuta a determinare il grado di plausibilità di una risposta sulla base dei dati disponibili e ad aggiornarlo sulla base di nuovi dati.

Con la crescita esponenziale dei dati disponibili su internet, l’applicazione di metodi probabilistici è indispensabile per ricavare da questa grande massa di dati previsioni di tipo commerciale o politico.

Campi di applicazione della probabilità:
- scienze statistiche
- teoria dei giochi
- economia
- biologia
- genetica
- ecologia
- medicina
- fisica (classica e quantistica)
- meteorologia
- sismologia
- finanza
- ingegneria
- scienze politiche

Question 2

Come nasce lo studio matematico della probabilità?

Answer 2

Lo studio matematico della probabilità nasce nel XVII secolo da uno scambio fra Blaise Pascal e il Cavalier de Méré, accanito giocatore d’azzardo.
Qual è la probabilità di vincere in un gioco il cui scopo è ottenere almeno un 6 in 4 lanci di un unico dado?
Il cavaliere riteneva che bastasse moltiplicare la probabilità di ottenere un 6 (1/6) per il numero di lanci (4) e che dunque questa probabilità fosse uguale a 4/6 = 2/3 = 66%.
Pascal gli fece osservare che in base a una più precisa analisi la probabilità di vincere era di poco superiore al 50%. Per stabilirlo, bisogna considerare tutti i possibili esiti dei quattro lanci: ci sono 1296 disposizioni possibili, di queste 671 sono favorevoli e 625 sfavorevoli. Dunque la probabilità è 671/1296 = 0.51 circa.

Question 3

Esempi di trappole dell’intuizione

Answer 3

Nella vita quotidiana tutti usiamo il concetto di probabilità in modo intuitivo e spesso incoerente. Un giudizio intuitivo viene spesso smentito da un’analisi più accurata della situazione. In generale, in individui non sufficientemente addestrati a fare previsioni probabilistiche, l’intuizione conduce a risposte incoerenti.

Esempio 1) Numeri ritardatari nel gioco del lotto: il 90 non esce da un anno sulla ruota di Napoli, dunque c’è una buona probabilità che esca in una delle prossime estrazioni. L’intuizione che guida questo ragionamento è: dato che la probabilità che esca il 90 in una singola estrazione è 1/90, il 90 dovrebbe uscire in media una volta ogni 90 estrazioni; dunque se non è uscito per un anno (circa 150 estrazioni) c’è una buona probabilità che esca in una delle prossime. MA se consideriamo che ciascuna estrazione è indipendente da quelle precedenti (l’urna non ha “memoria”), possiamo anche pensare che si svolgano contemporaneamente. In questo caso non c’è una “storia precedente” e la probabilità che esca il 90 in ciascuna singola estrazione è sempre la stessa.

Esempio 2) Gianni è risultato positivo al test per una certa malattia. Sappiamo che la frequenza della malattia nella popolazione è dell’1%. Il test ha un’affidabilità del 99% (il 99% dei malati risultano positivi e il 99% dei sani risultano negativi). Qual è la probabilità che Gianni sia malato dato che è risultato positivo al test?
Molti rispondono intuitivamente che Gianni è malato con una probabilità del 99%.
MA la probabilità che Gianni sia malato è solo del 50%. Dato che la malattia colpisce l’1% della popolazione, in un villaggio di 10.000 persone possiamo aspettarci che 100 persone siano malate e 9900 sane. Dato che l’affidabilità del test è il 99%, possiamo aspettarci che risultino positivi 99 malati, ma anche 99 persone sane (il 99% dei sani risulta negativo, quindi l’1% dei sani risulta positivo: 99 è l’1% di 9900). Dunque solo la metà (50%) delle 198 persone che sono risultate positive al test è effettivamente malata.

Question 4

Definizione classica di probabilità

Answer 4

La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano ugualmente possibili.
Quindi se i casi possibili sono n e i casi favorevoli sono nE, secondo la definizione classica la probabilità che accada l’evento E sarà:
Pr(E) = nE/n

Secondo la definizione classica, la probabilità di un evento E è sempre compresa fra 0 e 1:
0 ≤ Pr(E) ≤ 1

Esempio 1) Se lancio una moneta (corretta) i casi possibili sono 2 e si tratta di casi ugualmente possibili. Dunque la probabilità che esca Testa (o Croce) è 1/2.

Esempio 2) Se lancio un dado (corretto) i casi possibili sono 6 e si tratta di casi ugualmente possibili. Dunque la probabilità che esca 1 (oppure un altro qualunque dei 6 risultati possibili) è 1/6.

Esempio 3) Se lancio un dado corretto, qual è la probabilità che esca un numero pari?
I casi favorevoli sono 3 (2,4,6) e i casi possibili sono sempre 6. Dunque se E = uscirà un numero pari Pr(E) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Esempio 4) Qual è la probabilità di estrarre a caso un asso da un mazzo di carte ben mescolato?
I casi favorevoli sono 4 e i casi possibili 52, dunque se E= estrarrò un asso, Pr(E) = 4/52 = 0.0769

Question 5

Quali sono i problemi della definizione classica di probabilità?

Answer 5

Cosa vuol dire che i casi sono ugualmente possibili?
- Se ugualmente possibili significa ugualmente probabili c’è un sospetto di circolarità.
- In ogni caso, come si fa a stabilire che i casi sono ugualmente probabili?

Cosa si fa nel caso in cui gli esiti palesemente non sono ugualmente possibili?
- Qual è la probabilità che esca un 6 se il dado è truccato?
- Qual è la probabilità che la Juventus vinca domenica prossima?

Question 6

Probabilità complementari

Answer 6

Se lancio un dado, la probabilità che NON esca un 6 è di 5/6. Vi sono infatti 5 casi su 6 che verificano la previsione “NON uscirà un 6”.

In generale, se ci sono N casi possibili e i casi favorevoli a E sono nE, ci saranno N-nE casi favorevoli a non-E.

Pr(non-E) = (N-nE)/N = N/N - nE/N = 1 - Pr(E)

Question 7

Unione di eventi disgiunti

Answer 7

Due eventi si dicono disgiunti se non è possibile che si verifichino contemporaneamente.

Dalla definizione classica segue che, se due eventi E1 ed E2 sono disgiunti, allora la probabilità che si verifichi uno dei due è data dalla somma delle probabilità degli eventi presi separatamente.

Pr(E1 oppure E2) = Pr(E1) + Pr(E2)

Per esempio, la probabilità che, lanciando un dado, esca 1 oppure 6 è 1/6 + 1/6 = 2/6.

Question 8

Unione di eventi non disgiunti

Answer 8

Lanciando due dadi corretti, qual è la probabilità che uno dei due dia 6? Se
E1 = esce 6 con il primo dado
E2 = esce 6 con il secondo dado
Pr(E1 oppure E2)?
Facendo la somma delle due probabilità Pr(E1 oppure E2) = 12/36. Ma in questo caso staremmo contando due volte il caso in cui entrambi i dadi danno 6. La probabilità corretta è 11/36 secondo la legge generale della somma.

Question 9

Legge generale della somma

Answer 9

La probabilità che si verifichi almeno uno fra due eventi è la somma delle loro probabilità meno la probabilità che si verifichino entrambi:

Pr(E1 oppure E2) = Pr(E1) + Pr(E2) − Pr(E1 e E2)

Question 10

Cosa sono eventi indipendenti?

Answer 10

Se lanciamo due volte un dado non truccato, la probabilità che esca un certo numero al secondo lancio non è minimamente influenzata dal numero che è uscito al primo lancio (il dado non ha “memoria”). Dunque la probabilità di ottenere un 6 al secondo lancio è indipendente dal risultato che è stato ottenuto al primo lancio.
In questo caso si dice che i due eventi, il primo lancio e il secondo lancio, sono indipendenti.

Question 11

Congiunzione di eventi indipendenti

Answer 11

La probabilità che si verifichino insieme due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei due eventi separati.
Se E1 ed E2 sono eventi indipendenti:
Pr(E1 e E2) = Pr(E1) × Pr(E2)

Esempio: la probabilità che lanciando due volte un dado esca 6 entrambe le volte è 1/6x1/6=1/36.

Question 12

Congiunzione di eventi non indipendenti

Answer 12

Supponiamo che in un’urna ci siano 10 palline, 5 bianche e 5 nere. Qual è la probabilità che in due estrazioni la pallina estratta sia in entrambi i casi bianca?
E1 = la prima pallina estratta è bianca
E2 = la seconda pallina estratta è bianca
E1 ed E2 non sono indipendenti.
La probabilità di E1 è 5/10. Ma la probabilità di E2, dato che E1 si è verificato, è 4/9.
I casi possibili sono 90. Di questi quelli favorevoli sono 20. Quindi la probabilità è 20/90 = 5/10 x 4/9 = 0.222

Question 13

Legge generale del prodotto

Answer 13

La probabilità che due eventi si verifichino insieme è uguale al prodotto della probabilità del primo per la probabilità del secondo dato che il primo si è verificato.
Pr(E1 e E2) = Pr(E1) × Pr(E2|E1)
Pr(E2|E1) è la probabilità condizionata che si verifichi E2 dato che E1 si è verificato.

Se E1 e E2 sono indipendenti Pr(E2|E1) = Pr(E2)

Question 14

Probabilità condizionata

Answer 14

La probabilità che si verifichi un evento E2 dato che si è verificato l’evento E1 è uguale alla probabilità che si verifichino entrambi gli eventi diviso la probabilità che si verifichi E1.
Pr(E2|E1) = Pr(E1 e E2) / Pr(E1)

Esempio: se lanciamo due dadi e supponiamo che il primo dia 3, qual è la probabilità che la somma dei due dadi dia 8?
E2 = la somma dei dadi dà 8
E1 = il primo dado dà 3
La probabilità di E2 dato che si è verificato E1 Pr(E2|E1) = Pr(E1 e E2) / Pr(E1)
Pr(E1 e E2) = 1/36
Pr(E1) = 1/6
Pr(E2|E1) = 1/6

Question 15

Definizione frequentista di probabilità

Answer 15

La probabilità di un evento E è il limite della frequenza (relativa) dei successi, cioè del verificarsi dell’evento, quando il numero delle prove tende all’infinito.
Pr(E) =
lim nE/n
n→∞

Le leggi fondamentali della probabilità (probabilità complementari, probabilità condizionata, legge generale della somma, legge generale del prodotto) sono valide sia per l’interpretazione classica sia per quella frequentista.

Esempio: se lancio una moneta un gran numero di volte, la frequenza del risultato Testa (o Croce), cioè il rapporto fra il numero di volte in cui esce Testa (o Croce) e il numero di lanci effettuati, tende a stabilizzarsi intorno a un valore P ben definito (per esempio il 50% se la moneta è corretta). Secondo la concezione frequentista la probabilità che lanciando quella moneta esca Testa (o Croce) non è altro che questo valore verso cui tenderebbe a stabilizzarsi la frequenza.

Question 16

Quali sono i problemi della definizione frequentista della probabilità?

Answer 16

• Definizione abbastanza oscura.
• Perché la definizione abbia senso è necessario che gli esperimenti casuali siano ripetuti esattamente nelle stesse condizioni. Ma come si fa a sapere che le condizioni sono le stesse? Quali sono le variazioni che possono influire sul risultato? Come distinguiamo le variazioni che influiscono sul risultato da quelle che non influiscono sul risultato?
• Come facciamo a sapere che la frequenza effettivamente tende a un limite? (definiamo la probabilità presupponendo la tendenza della frequenza dei successi a stabilizzarsi intorno a un valore P ben definito). Ma, anche se così fosse, perché la definizione sia operativa dovremmo saperne di più sul modo in cui converge verso questo presunto limite.

Ma il problema principale della definizione frequentista è forse che essa non è in grado di spiegare l’assegnazione di probabilità a eventi singoli, che ovviamente non sono ripetibili indefinitamente nelle stesse condizioni.
- Qual è la probabilità che la Juventus vinca il campionato 2022/2023?
- Qual è la probabilità che esploda la centrale nucleare di ultima generazione appena costruita?
- Qual è la probabilità che Mr. X vinca le prossime elezioni presidenziali negli Stati Uniti?

Question 17

La critica di Popper al frequentismo

Answer 17

Karl Popper propose la teoria della propensità o teoria oggettiva (disposizionale) della probabilità, concezione filosofica sulla natura della probabilità che si contrappone alle interpretazioni soggettiviste della probabilità e al frequentismo, proponendo un’idea di probabilità come proprietà oggettiva del mondo legata alla disposizione o propensione di certi eventi a verificarsi in determinate condizioni.

Question 18

Definizione di probabilità soggettiva

Answer 18

Secondo la concezione soggettivista della probabilità, la probabilità misura il grado di credenza di un individuo nel verificarsi o meno di un evento. Le probabilità sono dunque soggettive (addirittura personali) per definizione e si rivelano nella disponibilità o meno ad accettare determinate scommesse.

In generale, la probabilità soggettiva di un evento E per un dato individuo x è uguale a P/100, dove P è il prezzo equo per x della scommessa.

Esempio: supponiamo che a x venga offerto un biglietto di una lotteria che gli dà 100 euro se la Juventus vince il campionato e nulla se la Juventus non vince il campionato. Il prezzo che x è disposto a pagare per questo biglietto dipende dal suo grado di fiducia nel fatto che la Juventus vinca il campionato. Se x è sicuro al 100% che la Juventus vincerà, sarà disposto a pagare qualsiasi prezzo (fino a 100 euro) per un biglietto di questa lotteria; se è sicuro al 100% che non vincerà, non sarà disposto a pagare nulla. In tutti i casi intermedi ci sarà sempre un prezzo massimo che sarà disposto a pagare per comprare un biglietto e un prezzo minimo per cui sarà disposto a venderlo.
Secondo De Finetti (che ha dato la formulazione della concezione soggettiva operazionale della probabilità) c’è sempre un prezzo P per cui è indifferente a x comprare un biglietto per P euro, vendere un biglietto per P euro o non giocare affatto. Questo prezzo è il prezzo equo della lotteria. Dunque, la probabilità soggettiva per x che la Juventus vinca il campionato è P/100. Per esempio, se il prezzo equo per x è 70 euro, la sua probabilità soggettiva che la Juventus vinca è del 70%.

Il prezzo per x equo di una lotteria è influenzato dalle informazioni che ha a disposizione (nel caso di una partita di calcio: giocatori disponibili, stato di forma delle squadre, ecc.).
Dunque le probabilità soggettive (diverse da individuo a individuo) dipendono dalle informazioni che sono disponibili all’individuo che le assegna e si rivelano nella disponibilità o meno ad accettare certe scommesse.

Question 19

Quali sono i vantaggi della concezione soggettivista della probabilità?

Answer 19

• È una definizione chiara e coerente.
• Ha un ambito di applicazione praticamente illimitato.
• Può essere applicata in tutti i casi in cui possono essere applicate la definizione classica e quella frequentista.
• Ma può essere applicata anche a eventi unici e irripetibili (ai quali non può essere applicata la definizione frequentista) in cui i casi possibili non sono ugualmente probabili (per cui non può essere applicata neanche quella classica):
• Qual è la probabilità che vi sia un incidente nella centrale nucleare appena costruita?
• Qual è la probabilità che il Barcellona vinca la coppa dei campioni?

Question 20

Quali sono i problemi della concezione soggettivista della probabilità?

Answer 20

• Molti scienziati rifiutano l’idea che la probabilità sia qualcosa di irrimediabilmente soggettivo e preferiscono la concezione frequentista, nonostante le sue difficoltà e il suo ambito di applicabilità piuttosto ristretto.
• Non è del tutto banale dimostrare che la probabilità soggettiva soddisfa le stesse leggi matematiche che valgono per la definizione classica e per quella frequentista.

Question 21

L’argomento della scommessa olandese

Answer 21

Supponiamo che, pur valutando 0,6 la probabilità di vittoria dell’Inter e 0,2 la probabilità di vittoria del Monza, io valutassi 0,75 la probabilità di vittoria di una delle due squadre, contro le regole del calcolo delle probabilità (essendo eventi disgiunti, le due probabilità andrebbero sommate). Allora io dovrei essere contemporaneamente disposto a:
- Vendere per 75 euro la promessa di pagarne 100 se vince l’Inter o il
Monza (cioè la partita non si concluderà con un pareggio).
- Comprare per 60 euro la promessa di ricevere 100 euro se vince l’inter.
- Comprare per 20 euro la promessa di ricevere 100 euro se vince il Monza.

Se
- Ho venduto la promessa della scommessa per 75€.
- Ho comprato la promessa di ricevere 100€ per 60€.
- Ho comprato la promessa di ricevere 100€ per 20€.
Ho speso 80€ e ne ho incassati 75 (-5 €).

Infatti
- Se vince l’Inter, i 100€ che ottengo devo darli al vincitore della prima.
- Se vince il Monza, i 100€ che ottengo devo darli al vincitore della prima.
- Se le due squadre pareggiano non vinco e non perdo nulla.
In ogni caso ci ho rimesso 5€.

L’argomento della scommessa olandese mostra che un individuo razionale, per quanto sia libero di assegnare le probabilità iniziali agli eventi elementari nel modo che corrisponde al proprio “stato d’animo”, è obbligato ad essere coerente nell’assegnare le probabilità agli eventi complessi.
In generale l’argomento della scommessa olandese viene usato per dimostrare che per un individuo razionale è inevitabile rispettare le leggi della probabilità. Dimostra l’irrazionalità di assegnare probabilità senza tenere in considerazione le leggi matematiche.

Question 22

Definizione del teorema di Bayes

Answer 22

Il teorema di Bayes, così chiamato dal nome suo inventore, il reverendo Thomas Bayes (1702-1761) e detto anche teorema della probabilità delle cause, è uno dei cardini della teoria della probabilità soggettiva.

Il teorema lega la misura di probabilità condizionata di un evento, detta a posteriori, alla misura di probabilità dello stesso evento, detta a priori.

Il teorema di Bayes è valido in tutte le interpretazioni della probabilità. Tuttavia, può essere evitato da un approccio frequentista (interpretazione della probabilità che si basa sulla frequenza con cui si verificano gli eventi in un esperimento ripetuto) perché usa gradi di credibilità (più specificamente di probabilità bayesiana) per esprimere l’evidenza su uno stato del mondo (i gradi di credibilità sono un modo per esprimere la probabilità in un approccio bayesiano e rappresentano la nostra convinzione sulla verità di un’ipotesi, data l’evidenza disponibile).

Pr(H|E) =
[Pr(H) × Pr(E|H)] / Pr(E)

Pr(H|E) = probabilità a posteriori dell’ipotesi H data l’evidenza E.
Pr(H) = probabilità a priori dell’ipotesi H.
Pr(E|H) = probabilità condizionata che E si verifichi assumendo che l’ipotesi H sia vera.
Pr(E) = probabilità che E si verifichi sulla base della sola conoscenza di sfondo.

Col teorema di Bayes si può calcolare la probabilità che una certa persona abbia una determinata malattia nel caso in cui sia risultata positiva al test diagnostico, conoscendo la frequenza con cui si presenta la malattia e la percentuale di efficacia del test.

Esempio: Gianni è positivo al test per la malattia M. La frequenza della malattia M nella popolazione è dell’1%. L’affidabilità del test è del 99%, cioè il 99% dei malati risultano positivi e il 99% dei sani risultano negativi. Qual è la probabilità che Gianni abbia la malattia M?
H = Gianni ha la malattia M.
E = Gianni è risultato positivo al test.
Pr(H|E) = probabilità che Gianni sia malato dato che è risultato positivo al test = ?

Pr(H) = probabilità a priori che Gianni sia malato = 0.01 (assumendo che la popolazione sia di 100)
Pr(E|H) = probabilità che Gianni risulti positivo al test dato che ha la malattia M = 0.99
P(E|non-H) = probabilità che Gianni risulti positivo dato che non ha la malattia = 0.01
Pr(E) = probabilità a priori che Gianni risulti positivo al test (indipendentemente dal fatto che abbia o meno la malattia M) =
= Pr(H e E) + Pr(non-H e E) =
= Pr(H) x Pr(E|H) + Pr(non-H) x Pr(E|non-H) applicando la legge del prodotto = (0.01 x 0.99) + (0.99 x 0.01) = 0.0198

Pr(H|E) = [Pr(H) × Pr(E|H)] / Pr(E) = (0.01 × 0.99) / 0.0198 = 0.5

Se la frequenza della malattia nella popolazione fosse dell’1 per mille, avremmo Pr(H) = 0.001
Pr(E) = Pr(H) x Pr(E|H) + Pr(non-H) x Pr(E|non-H) = (0.001 x 0.99) + (0.999 x 0.01) = 0.01098

Pr(H|E) = [Pr(H) × Pr(E|H)] / Pr(E) = (0.001 × 0.99) / 0.01098 = 0.09

Question 23

Se lancio due dadi corretti, qual è la probabilità che un dado mostri un numero pari e l’altro un numero dispari?

Answer 23

Dobbiamo calcolare la probabilità che due eventi accadano insieme:
Pr(E1)= ½ (che esca un numero pari)
Pr(E2)= ½ (che esca un numero dispari)
Dovendo verificarsi insieme, ma essendo eventi indipendenti, avremo, secondo la legge del prodotto:
Pr(E1 e E2)= ½ x ½ = 1/4 (0.25)

MA per ottenere la probabilità totale dell’evento, ovvero la probabilità che, tirando due dadi insieme, uno indichi un numero pari e l’altro un numero dispari, devo considerare anche il caso che esca un numero dispari come E1 e un numero pari come E2.
Caso 1) E1 e E2 = P D
Caso 2) E1 e E2 = D P
Ci sono due casi favorevoli (su quattro: PD, DP, PP, DD) ma UNO SOLO può verificarsi (non è possibile che si verifichino contemporaneamente). Quindi dobbiamo applicare al risultato precedente la formula dell’unione di eventi disgiunti:
Pr(C1 o C2) = ¼ + ¼ = ½ = 0.50 (50%)