Logica

Question 1

Quali sono le differenze tra deduzione e induzione?

Answer 1

In una deduzione
- so per certo (assumo) qualcosa riguardo a uno stato di cose: ho una conoscenza universale riguardo a quello stato di cose.
- Le premesse forniscono supporto totale alla mia conoscenza su quello stato di cose.
- Tutti gli stati di cose (logicamente) possibili che rendono vere le premesse devono rendere vera anche la conclusione.
- Il ragionamento deduttivo procede dall’universale al particolare (modello top-down).

In un’induzione
- so per certo (assumo) qualcosa riguardo a una parte di uno stato di cose: ho una conoscenza particolare riguardo a quello stato di cose.
- Le premesse forniscono supporto parziale alla mia conoscenza su quello stato di cose.
- Fra gli stati di cose (logicamente) possibili che rendono le premesse vere, la conclusione dev’essere vera in una parte di essi.
- Il ragionamento induttivo procede dal particolare all’universale (modello bottom-up).

Deduzione: supporto a priori delle conclusioni → logica della certezza
Induzione: supporto basato sulle evidenze → logica dell’incerto

Question 2

C’è una logica “giusta”?

Answer 2

Non ci sono a priori inferenze giuste o sbagliate fra questi due tipi (induttive e deduttive).

Quale tipo di inferenza adottare dipende dal problema che affrontiamo e dalle nostre idee su come è possibile risolverlo: la mia concezione della conoscenza può influenzare la scelta se adottare inferenze deduttive o induttive per risolvere problemi. Questo è particolarmente rilevante per l’impresa scientifica.

Storicamente la logica deduttiva prevale nelle dimostrazioni matematiche. La matematica però non procede solamente per deduzione: il matematico certamente dimostra teoremi per deduzione; ma spesso si scoprono teoremi seguendo altri approcci più intuitivi (generalizzazioni induttive, analogie non del tutto motivate, prove ed errori, credenze).

Deduzione ed induzione differiscono anche nel modo di considerare la certezza delle nostre conclusioni:
- In una deduzione, le conclusioni sono vere oppure false (se false, la deduzione è viziata all’origine).
- In un’induzione, le conclusioni sono più o meno supportate dalle evidenze.

Quindi, per tracciare una linea di demarcazione tra deduzione e induzione bisogna guardare alle conclusioni.

Question 3

Quali sono le differenze tra razionalismo ed empirismo?

Answer 3

Razionalismo
- La conoscenza si basa su idee primitive indipendenti dall’esperienza.
- La nostra capacità di ragionare è innata, e su tale base organizziamo i dati dell’esperienza.
- Il modello della conoscenza è il metodo dei matematici – la deduzione, che porta da premesse universali «di ragione» a conseguenze particolari.

Empirismo
- Tutta la conoscenza viene da esperienza ed esperimento; prima di ciò, la mente è tabula rasa.
- La nostra capacità di ragionare è acquisita in un lungo cammino fatto di reiterate associazioni di cose simili.
- Il modello della conoscenza è il metodo delle scienze sperimentali – l’induzione, che porta da casi particolari a regole generali ricavate dai fatti.

Question 4

Cosa significa pensare che il metodo delle scienze della natura sia quello ipotetico-deduttivo?

Answer 4

Pensare che il metodo delle scienze della natura sia quello ipotetico-deduttivo significa fare una scelta razionalista.
- Le ipotesi non dipendono quasi mai soltanto da noi.
- Le conseguenze delle ipotesi, invece, dipendono da come ho costruito l’inferenza; se l’inferenza deduttiva è valida, allora le conseguenze devono essere vere.

Question 5

Cosa significa pensare che il metodo delle scienze della natura sia quello induttivo?

Answer 5

Pensare che il metodo delle scienze della natura sia quello induttivo significa fare una scelta empirista.
- Un induttivista basa le previsioni su casi «simili» nell’esperienza passata. Il sole sorgerà domani perché è sorto fino a oggi per lunghissimo tempo, e questa fiducia («grado di certezza») cresce al crescere degli eventi positivi. Possiamo quantificare il grado di certezza, per esempio probabilisticamente.
- Un induttivista si basa sull’aspettativa dall’uniformità della natura.

Question 6

MODUS PONENS

Answer 6

Nella logica, il modus ponens (MP), dal latino modus ponendo ponens (“modo che afferma”, lett. “modo che pone con l’aver posto”) è una regola d’inferenza, che afferma: se “p implica q” è una proposizione vera, e anche la premessa p è vera, allora la conseguenza q è vera.

P→Q
P
Q

Se piove, la strada è bagnata
Piove
Dunque: la strada è bagnata

Il fatto che l’inferenza sia valida non può assicurarci che ognuna delle asserzioni contenute sia vera; la validità del modus ponens ci dice che la conclusione deve essere vera se tutte le premesse sono vere.
Una valida regola di inferenza in cui una o più premesse non sono vere è chiamata inferenza infondata, laddove tutte le premesse sono vere, allora l’inferenza è fondata.
Nella gran parte dei sistemi logici, il modus ponens è considerato valido; tuttavia le sue istanze possono essere fondate o infondate.
Se la regola d’inferenza è il modus ponens e le sue premesse sono vere, allora l’inferenza è fondata.

Una inferenza che utilizza il modus ponens viene chiamata deduttiva.

Question 7

MODUS TOLLENS

Answer 7

Il modus tollens (MT), abbreviazione del latino modus tollendo tollens (lett. “modo che toglie con l’aver tolto”), è una regola di inferenza della logica proposizionale, il cui significato è: “il modo che toglie la verità di una proposizione togliendo quella di un’altra”. Regola con cui si nega l’implicazione q e si conclude la negazione di p.

Il termine p prende il nome di antecedente, mentre q è detto conseguente e rappresentano proposizioni logiche.

1. p è condizione sufficiente per q
2. q è condizione necessaria per p
   cioè: q (se vero) può essere implicato da un termine diverso da p, mentre q (se vero) è necessario per p vero.

P→Q
¬Q
¬P
P = piove (antecendente)
Q = la strada è bagnata (conseguente)
Se piove, la strada è bagnata
La strada non è bagnata
Dunque: non piove

Il modus tollens è un caso particolare di sillogismo ipotetico in cui la seconda premessa è una proposizione il cui valore di verità non è ricavato deduttivamente ma accolto sulla base di un’evidenza empirica.

Question 8

VALORE DI VERITÀ

Answer 8

Una proposizione logica è un’espressione linguistica che può essere vera (V) o falsa (F).
Milano è una bella città non è una proposizione logica propriamente, in quanto non si può dire se sia vera o falsa. 5 è un numero primo, l’asso di picche è una carta nera, 3+3=6, indipendentemente dal loro valore di verità, sono proposizioni che hanno valore logico.

Quando diciamo che una proposizione logica è vera (V) o falsa (F), stiamo dando a quella frase un valore di verità.

Question 9

Quando un’inferenza è corretta?

Answer 9

Un’inferenza è corretta quando non è possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa. In altri termini, in tutti i mondi possibili (anche diversi dal mondo attuale) in cui le premesse sono vere, la conclusione deve essere vera.

Question 10

È possibile che in un’inferenza corretta le premesse siano false (in dato mondo possibile M) e la conclusione vera (nello stesso mondo possibile M)?

Answer 10

Tutti i calciatori sono filosofi
Immanuel Kant è un calciatore
Immanuel Kant è un filosofo

Questa inferenza è corretta dal punto di vista formale. Nel mondo attuale entrambe le premesse sono false, ma la conclusione è vera.

Question 11

È possibile che in un’inferenza corretta le premesse siano false (in dato mondo possibile M) e la conclusione falsa (nello stesso mondo possibile M)?

Answer 11

Tutti filosofi sono tedeschi
Francesco Totti è un filosofo
Francesco Totti è tedesco

Questa inferenza è corretta dal punto di vista formale. Nel mondo attuale entrambe le premesse sono false, e la conclusione è falsa.

Question 12

Se in un’inferenza le premesse sono vere e la conclusione è vera, l’inferenza è necessariamente corretta?

Answer 12

Tutti gli uomini sono animali
Socrate è uomo
Atene è in Grecia

Sia le premesse sia la conclusione sono vere nel mondo attuale, ma l’inferenza non è corretta.

Question 13

PRINCIPIO DI IDENTITÀ

Answer 13

Un principio fondamentale della logica aristotelica da cui prende spunto la logica classica: cose uguali sono cose che hanno gli stessi attributi.

Question 14

PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE

Answer 14

Un principio fondamentale della logica aristotelica da cui prende spunto la logica classica: una proposizione logica non può essere vera e falsa contemporaneamente.

Question 15

PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO

Answer 15

Un principio fondamentale della logica aristotelica da cui prende spunto la logica classica: data una qualsiasi proposizione A, si possono avere solo due eventualità: o è vera A oppure è vera la sua negazione, cioè la proposizione «non A» (￢A)

Question 16

Definizione di CONNETTIVI

Answer 16

I connettivi proposizionali permettono di combinare insieme più proposizioni per formarne delle nuove. Ogni connettivo si indica con un simbolo particolare e corrisponde a delle particolari particelle del linguaggio comune. Esempi di connettivi: disgiunzione, congiunzione, implicazione. Per ogni connettivo, il comportamento rispetto ai valori di verità viene definito dalle cosiddette tavole di verità.

Question 17

Definizione di TAVOLE DI VERITÀ

Answer 17

Le tavole di verità stabiliscono il valore della proposizione logica composta (contenente cioè dei connettivi), a partire dai valori di verità delle proposizioni logiche componenti.

Question 18

NEGAZIONE

Answer 18

Se p è vera, non-p è falsa.
Se p è falsa, non-p è vera.

• La negazione ¬P è vera se P è falsa ed è falsa se P è vera.
• ¬(a = b) è vera se a = b è falsa ed è falsa se a = b è vera.

Question 19

Legge della DOPPIA NEGAZIONE

Answer 19

¬¬P equivale logicamente a P

¬¬P
P
Non è vero che Roma non è la capitale d’Italia
Roma è la capitale d’Italia

Question 20

CONGIUNZIONE

Answer 20

Si definisce congiunzione ∧ (AND) tra due proposizioni p e q la proposizione composta che è vera quando le proposizione congiunte sono entrambe vere ed è falsa quando almeno una delle due proposizioni congiunte è falsa.

Question 21

DISGIUNZIONE INCLUSIVA

Answer 21

Si definisce disgiunzione inclusiva ∨ (OR) tra due proposizioni p e q la proposizione composta che è vera se almeno una delle due proposizioni è vera, ed è falsa se entrambe le proposizioni sono false.
Esempio: piove o (vel) tira vento

Question 22

Quali sono le differenze tra congiunzione e disgiunzione?

Answer 22

• Una congiunzione è vera quando le proposizioni congiunte sono entrambe vere.
• Una congiunzione è falsa quando almeno una delle due proposizioni congiunte è falsa.
• Una disgiunzione (inclusiva) è vera quando almeno una delle proposizioni disgiunte è vera.
• Una disgiunzione (inclusiva) è falsa quando le proposizioni disgiunte sono entrambe false.

Question 23

DISGIUNZIONE ESCLUSIVA

Answer 23

Si definisce disgiunzione esclusiva ⊻ (XOR) tra due proposizioni p e q, la proposizione composta che è falsa se entrambe le proposizioni sono vere o entrambe le proposizioni sono false, mentre è vera negli altri due casi.
Esempio: alla fine dell’esame lo studente è promosso o (aut) bocciato è vera se lo studente è promosso e è non bocciato oppure se lo studente non è promosso ed è bocciato. Una delle due cose, non entrambe.

Question 24

IMPLICAZIONE

Answer 24

Si definisce implicazione (se-allora) tra due proposizioni p e q, la proposizione composta che è falsa se la prima proposizione è vera e la seconda è falsa, mentre è vera in tutti gli altri casi.
Esempio: p ⇒ q: se manca l’elettricità, allora l’elettrodomestico si blocca è un’implicazione vera; tuttavia la sua implicazione inversa, q ⇒ p: se l’elettrodomestico si blocca, allora manca l’elettricità è falsa.

Question 25

DOPPIA IMPLICAZIONE

Answer 25

Si definisce doppia implicazione o equivalenza tra due proposizioni p e q, la proposizione composta che è vera se e solo se p e q hanno gli stessi valori di verità, cioè la doppia implicazione di due proposizioni P e Q è la proposizione P se e solo se Q che risulta vera se P e Q sono entrambe vere o entrambe false.
Esempio:
P: un triangolo è equilatero.
Q: il triangolo ha tre lati uguali.
P se e solo se Q: un triangolo è equilatero se e solo se ha tre lati uguali.

Question 26

QUANTIFICATORE UNIVERSALE

Answer 26

Il quantificatore universale, rappresentato dal simbolo ∀ (si legge per ogni) indica che il predicato che lo segue è verificato per ogni valore della variabile di riferimento.
Per esempio, la formula ∀x, x ≥ 0 (che può essere anche scritta come ∀x(x ≥ 0)) assume il seguente significato: per ogni valore della variabile x (appartenente a un opportuno insieme di definizione) x è maggiore o uguale a 0.

NOTA: la verità di una formula contenente un quantificatore dipende dall’insieme a cui appartiene la variabile x. Nell’esempio precedente, infatti, la formula ∀x, x ≥ 0 è vera se x varia nell’insieme dei numeri naturali, mentre è falsa se x varia nell’insieme dei numeri interi.

∀x (per ogni x)

Question 27

QUANTIFICATORE ESISTENZIALE

Answer 27

Il quantificatore esistenziale, rappresentato dal simbolo ∃ (si legge esiste) indica che il predicato che lo segue è verificato per almeno un valore della variabile di riferimento.
Per esempio la formula ∃x, 2 + x = 0 (che può anche essere scritta come ∃x(2 + x = 0)) significa che esiste un valore della variabile x tale che x + 2 = 0; tale valore in effetti esiste nell’insieme dei numeri interi ed è x = −2.

NOTA: barrando il simbolo ∃ si ottiene la negazione del quantificatore esistenziale ∄, che si legge non esiste un/una.

∃x (esiste almeno un x tale che)

Question 28

SILLOGISMO

Answer 28

Il sillogismo (dal greco συλλογισμός, syllogismòs, formato da σύν, syn, “insieme”, e λογισμός, logismòs, “calcolo”: quindi, “ragionamento concatenato”) è un tipo di ragionamento dimostrativo che fu teorizzato per la prima volta da Aristotele.

Partendo dai tipi di termine “maggiore” (che funge da predicato nella conclusione), “medio” e “minore” (che funge da soggetto nella conclusione) classificati in base al rapporto contenente-contenuto, giunge ad una conclusione collegando i suddetti termini attraverso brevi enunciati (premesse).

Nella logica classica un sillogismo può essere: categorico, ipotetico, disgiuntivo, congiuntivo.

Question 29

Le proposizioni usate nei sillogismi

Answer 29

Le proposizioni usate nei sillogismi possono essere divise sotto tre aspetti:
1) Quantitativo: universali o particolari (individuali)
2) Qualitativo: affermativa o negativa
3) Modale:
- possibili : non è in un modo, ma potrebbe esserlo (non piove, ma potrebbe cominciare);
- contingenti : è in un modo, ma potrebbe non esserlo (piove, ma potrebbe non piovere);
- impossibili : ciò che non è, e che non può essere;
- necessarie : ciò che è, e che non potrebbe non essere; (necessità e contingenza si escludono a vicenda).

Question 30

SILLOGISMO CATEGORICO

Answer 30

La forma di sillogismo più comune è il sillogismo categorico. Le proposizioni che compongono un sillogismo categorico possono essere:
- universali affermative (“Tutti gli A sono B”)
- universali negative (“Nessun A è B”)
- particolari affermative (“Qualche A è B”)
- particolari negative (“Qualche A non è B”)

Question 31

SILLOGISMO IPOTETICO

Answer 31

È valido nella logica classica ma non in altri contesti (per esempio nella logica probabilistica):
- Se non mi sveglio, non posso andare a correre.
- Se non posso andare a correre, allora non dimagrirò.
- Pertanto, se non mi sveglio, allora non dimagrirò.

Question 32

SILLOGISMO DISGIUNTIVO

Answer 32

Il sillogismo disgiuntivo è fondato su due premesse
- una asserzione disgiuntiva (P v Q, dove P è l’antecedente e Q il conseguente);
- la negazione dell’antecedente o del conseguente;
da cui si può trarre una deduzione necessaria (inferenza) positiva rispettivamente sul conseguente o sull’antecedente.

P∨Q
¬P
—-
Q

P∨Q
¬Q
—-
P

O sono sveglio oppure dormo;
non dormo (non sono sveglio)
quindi sono sveglio (dormo).

NOTA
- P vel Q è vera quando almeno una delle proposizioni disgiunte è vera: per iscriversi alla magistrale ci vuole la laurea in filosofia o in matematica (inclusiva).
- P aut Q è vera quando esattamente una delle proposizioni disgiunte è vera: oggi è martedì o mercoledì (esclusiva).

Question 33

SILLOGISMO CONGIUNTIVO

Answer 33

Il sillogismo congiuntivo è fondato su due premesse
- la negazione di una congiunzione (P ∧ Q, dove P è l’antecedente e Q il conseguente);
- l’affermazione dell’antecedente o del conseguente;
da cui si può trarre una deduzione necessaria (inferenza) negativa rispettivamente sul conseguente o sull’antecedente.

¬(P∧Q)
P
¬Q

¬(P∧Q)
Q
¬P

Non è vero che Antonio è padre sia di Maria sia di Francesca.
Antonio è padre di Maria (di Francesca).
Dunque Antonio non è padre di Francesca (di Maria).

Question 34

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

Answer 34

Se da un insieme di PREMESSE insieme all’ipotesi che una certa proposizione P sia vera segue una contraddizione, allora dalle premesse segue la negazione di P.

Da PREMESSE + P segue logicamente una contraddizione
Da PREMESSE segue logicamente ¬P

Se è valido lo schema precedente ed è valida anche la legge della doppia negazione, allora è valido anche lo schema seguente:

Da PREMESSE + ¬P segue logicamente una contraddizione
Da PREMESSE segue logicamente P

Esempio:
Tutti i corvi sono neri
Alcuni uccelli sono corvi
Dunque qualche uccello è nero
Nessun uccello è nero (ipotesi per assurdo)
∃x(U(x)∧C(x))
U(a)∧C(a)
∀x(C(x)→N(x))
∀x(U(x)→¬N(x)) = ¬∃x(U(x)∧N(x))
U(a)
C(a)
C(a) → N(a)
U(a) → ¬N(a)
¬N(a)
N(a) Contraddizione

Question 35

Esempio di una dimostrazione per assurdo

Answer 35

Supponiamo che i numeri primi non siano infiniti, ma siano 2,3,…,pn. Sia a = 2 x 3 x…x pn e consideriamo il numero a + 1. Questo numero non è divisibile per nessuno degli n numeri primi. Ma per il teorema fondamentale dell’aritmetica, ogni numero naturale o è primo o può essere espresso come un prodotto di numeri primi.
Sono possibili due casi:
- a +1 è primo;
- esiste un numero primo q non compreso nella lista, tale che a+1 è divisibile per q.

In entrambi i casi si ottiene una contraddizione.
Abbiamo dunque dimostrato per assurdo che ci sono infiniti numeri primi.

Question 36

RAGIONAMENTO PER CASI

Answer 36

Se da un insieme di PREMESSE, insieme all’ipotesi che una proposizione P sia vera segue una conclusione Q, e dalle stesse PREMESSE insieme all’ipotesi che P sia falsa segue la stessa conclusione Q, allora Q segue dalle PREMESSE indipendentemente dal fatto che P sia vera o falsa.

Da PREMESSE + P segue Q
Da PREMESSE + ¬P segue Q
Da PREMESSE segue Q

Question 37

Se vs Solo se

Answer 37

Mario è nonno solo se è padre (che Mario sia Padre è una condizione necessaria perché Mario sia nonno)
= Se Mario è nonno, allora è padre
Nonno(M) → Padre(M)

Mario è nonno se è padre (che Mario sia padre è una condizione sufficiente perché Mario sia nonno)
= Se Mario è Padre, allora è nonno
Padre(M) → Nonno(M)