Principi variazionali Flashcards
Si dia un’idea di cosa sono i principi variazionali, specificando cosa si intende caratterizzazione di tipo globale e locale facendo esempi. Si dica anche quale di questi tipi di caratterizzazioni sono invarianti (e rispetto a cosa?) e cosa si intende con ciò
pg 169-170-171
Si dimostri la legge di riflessione con metodi variazionali
pg 171
I principi variazionali presentano unicità delle soluzioni?
pg 172
Si dimostri che curva descrive la distanza minima di un punto da una retta
pg 173
Si dia una definizione di funzionale
pg 173
Si enunci qualitativamente il principio di Fermat e alla luce di questo si dimostri la legge della rifrazione
pg 175
Si enunci il principio di Fermat specificando cosa si intende per minimo per un funzionale con dominio in uno spazio funzionale e non in in R^n
pg 177
Si enunci il principio di Maupertius-Jacobi e si descriva la dipendenza dalla velocità nel principio di Fermat e in quello di Maupertius-Jacobi
pg 178
Si definisca il funzionale di azione hamiltoniana e se ne faccia un’esempio in connessione con il movimento
pg 179-182-183
Si enunci il principio di Hamilton
pg 180
I principi variazionali a cui vengono assegnate condizioni al contorno hanno sempre soluzione? Si faccia un’esempio
pg 181
Si dimostri che l’azione ammette differenziale e si definiscano conseguentemente i punti stazionari di un funzionale
da pg 183 a 187
Si enunci e si dimostri il teorema che caratterizza i movimenti che sono punti stazionari (tra cui le equazioni di Eulero-Lagrange)
pg 188.189-190, 192
Si diano le possibili caratterizzazioni dei movimenti naturali di un sistema lagrangiano, avendo cura di definire che cos’è un sistema lagrangiano e dicendo quali sono le differenze tra queste caratterizzazioni
pg 191
Definizione di curva e di rispettiva parametrizzazione. Si dia quindi una definizione della lunghezza di una curva e di parametro naturale di una curva. Si analizzi quindi il caso di curve che hanno solo un’intersezione con le rette verticali
Da pg 192 a pg 195
Si confronti il funzionale lunghezza di una curva e il funzionale d’azione
pg 195-196
Si scriva l’azione hamiltoniana nel caso in cui H=E e l’energia cinetica è quadratica nelle velocità. Alla luce di ciò si definisca l’azione ridotta
pg 200
Che relazione c’è tra gli estremali di S e quelli di A? Si facciano le dovute osservazioni sulle parametrizzazioni delle curve
pg 200-201
Si dimostri il lemma dell’azione ridotta e il principio di Maupertuis-Jacobi per una particella nello spazio
pg 202
Si dimostri che per un’opportuno funzionale (quale?), le equazioni di Eulero-Lagrange coincidono con le equazioni di Hamilton. Che dipendenze ha p in tale funzionale?
pg 204-203
Si ricavi la forma di Poincaré-Cartan, facendo un parallelismo con le 1-forme differenziali. Si parli della connessione con l’Hamiltoniana e di quando generici cambiamenti di coordinate ammettono hamiltoniana alla luce di ciò. Si dica cos’è la funzione generatrice della trasformazione canonica e se ne dia una caratterizzazione, anche rispetto al tempo
da pg 205 a 210
Si dimostri che il flusso hamiltoniano è una famiglia di trasformazioni canoniche e che l’azione è la corrispondente funzione generatrice, passando per la dimostrazione della formula di Hamilton per la variazione dell’azione
Da pg 210 a pg 213
Si dimostri l’equazione di Hamilton-Jacobi
pg 213
