Principi variazionali

Question 1

Si dia un’idea di cosa sono i principi variazionali, specificando cosa si intende caratterizzazione di tipo globale e locale facendo esempi. Si dica anche quale di questi tipi di caratterizzazioni sono invarianti (e rispetto a cosa?) e cosa si intende con ciò

Answer 1

pg 169-170-171

Question 2

Si dimostri la legge di riflessione con metodi variazionali

Answer 2

pg 171

Question 3

I principi variazionali presentano unicità delle soluzioni?

Answer 3

pg 172

Question 4

Si dimostri che curva descrive la distanza minima di un punto da una retta

Answer 4

pg 173

Question 5

Si dia una definizione di funzionale

Answer 5

pg 173

Question 6

Si enunci qualitativamente il principio di Fermat e alla luce di questo si dimostri la legge della rifrazione

Answer 6

pg 175

Question 7

Si enunci il principio di Fermat specificando cosa si intende per minimo per un funzionale con dominio in uno spazio funzionale e non in in R^n

Answer 7

pg 177

Question 8

Si enunci il principio di Maupertius-Jacobi e si descriva la dipendenza dalla velocità nel principio di Fermat e in quello di Maupertius-Jacobi

Answer 8

pg 178

Question 9

Si definisca il funzionale di azione hamiltoniana e se ne faccia un’esempio in connessione con il movimento

Answer 9

pg 179-182-183

Question 10

Si enunci il principio di Hamilton

Answer 10

pg 180

Question 11

I principi variazionali a cui vengono assegnate condizioni al contorno hanno sempre soluzione? Si faccia un’esempio

Answer 11

pg 181

Question 12

Si dimostri che l’azione ammette differenziale e si definiscano conseguentemente i punti stazionari di un funzionale

Answer 12

da pg 183 a 187

Question 13

Si enunci e si dimostri il teorema che caratterizza i movimenti che sono punti stazionari (tra cui le equazioni di Eulero-Lagrange)

Answer 13

pg 188.189-190, 192

Question 14

Si diano le possibili caratterizzazioni dei movimenti naturali di un sistema lagrangiano, avendo cura di definire che cos’è un sistema lagrangiano e dicendo quali sono le differenze tra queste caratterizzazioni

Answer 14

pg 191

Question 15

Definizione di curva e di rispettiva parametrizzazione. Si dia quindi una definizione della lunghezza di una curva e di parametro naturale di una curva. Si analizzi quindi il caso di curve che hanno solo un’intersezione con le rette verticali

Answer 15

Da pg 192 a pg 195

Question 16

Si confronti il funzionale lunghezza di una curva e il funzionale d’azione

Answer 16

pg 195-196

Question 17

Si scriva l’azione hamiltoniana nel caso in cui H=E e l’energia cinetica è quadratica nelle velocità. Alla luce di ciò si definisca l’azione ridotta

Answer 17

pg 200

Question 18

Che relazione c’è tra gli estremali di S e quelli di A? Si facciano le dovute osservazioni sulle parametrizzazioni delle curve

Answer 18

pg 200-201

Question 19

Si dimostri il lemma dell’azione ridotta e il principio di Maupertuis-Jacobi per una particella nello spazio

Answer 19

pg 202

Question 20

Si dimostri che per un’opportuno funzionale (quale?), le equazioni di Eulero-Lagrange coincidono con le equazioni di Hamilton. Che dipendenze ha p in tale funzionale?

Answer 20

pg 204-203

Question 21

Si ricavi la forma di Poincaré-Cartan, facendo un parallelismo con le 1-forme differenziali. Si parli della connessione con l’Hamiltoniana e di quando generici cambiamenti di coordinate ammettono hamiltoniana alla luce di ciò. Si dica cos’è la funzione generatrice della trasformazione canonica e se ne dia una caratterizzazione, anche rispetto al tempo

Answer 21

da pg 205 a 210

Question 22

Si dimostri che il flusso hamiltoniano è una famiglia di trasformazioni canoniche e che l’azione è la corrispondente funzione generatrice, passando per la dimostrazione della formula di Hamilton per la variazione dell’azione

Answer 22

Da pg 210 a pg 213

Question 23

Si dimostri l’equazione di Hamilton-Jacobi

Answer 23

pg 213