Hamiltoniana

Question 1

Definizione di spazio degli stati e spazio delle fasi e perché si definisce lo spazio delle fasi. Perché vengono introdotti i momenti coniugati? Sono invertibili? Cosa sono le coordinate canoniche?

Answer 1

pg 101-102

Question 2

Cos’è la trasformata di Legendre?

Answer 2

pg 105

Question 3

Si deducano le equazioni di Hamilton

Answer 3

103 e seguenti

Question 4

Che legame hanno energia e Hamiltoniana

Answer 4

106 e seguenti

Question 5

Come scrivere il campo vettoriale delle (q,p) in funzione dell’Hamiltoniana e con la matrice simplettica standard? Proprietà della matrice e di v

Answer 5

pg 107

Question 6

Si dica che cosa sono le coordinate canoniche e se ne faccia un’analogia con le coordinate cartesiane, si dica inoltre qual è la dimensione del volume nello spazio delle fasi

Answer 6

pg 109-110

Question 7

Si definiscano le variabili del moto e le costanti del moto, dicendo la condizione necessaria e sufficiente affinché la variabile sia costante del moto e dicendo il perché

Answer 7

pg 113-114-115

Question 8

Si enunci il teorema di Liouville e se ne dica l’utilità

Answer 8

pg 116

Question 9

Si dia una definizione di parentesi di Poisson e si dica il perché è stata introdotta e alla luce di questo ridefinire gli integrali di moto. Perché è più comoda come definizione?
Si scriva la parentesi di poisson con la matrice simplettica standard

Answer 9

pg 117-118

Question 10

Si enuncino e si dimostrino (almeno un’idea) delle proprietà delle parentesi di Poisson

Answer 10

pg 119

Question 11

Si scrivano e si dimostrino le parentesi di poisson fondamentali

Answer 11

pg 120

Question 12

Si dimostrino le relazioni tra momento angolare e quantità di moto usando le parentesi di poisson (punto materiale nello spazio)

Answer 12

pg 120

Question 13

Si definisca l’algebra di Lie e se ne faccia qualche esempio
In che ambito diventerà utile? Come si definisce il commutatore e a che cosa serve?

Answer 13

pg 121-122

Question 14

Si dica come cambiano q, velocità e p in seguito a un cambio di coordinate nello spazio delle configurazioni e se ne faccia un esempio

Answer 14

pg 127 e pg 32 quaderno (importante)

Question 15

Si dia una definizione delle trasformazioni puntuali estese, cosa succede all’Hamiltoniana e alla Lagrangiana a seguito di una di queste trasformazioni

Answer 15

pg 128

Question 16

Si dia una definizione di trasformazioni canoniche

Answer 16

pg 131

Question 17

Si dica cos’è la tecnica delle funzioni generatrici, si scriva la condizione di Lie (sia con Q sia con P) e la si dimostri e se ne facciano degli esempi

Esempi: azione come variabile coniugata all’angolo nel piano delle fasi di un oscillatore armonico e ancora oscillatore armonico raddrizzato con numeri complessi

Answer 17

pg 131 e seguenti

Question 18

Si spieghi il metodo di Lie per trovare trasformazioni canoniche

Answer 18

pg 137-138

Question 19

Come si possono vedere le costanti di moto osservando la Lagrangiana?

Answer 19

pg 139-140

Question 20

Si riformuli il teorema di Hamilton con le parentesi di poisson

Answer 20

pg 141 e quaderno pg 34???

Question 21

Si dia la definizione di famiglia a un parametro di trasformazioni, di flusso nello spazio delle fasi generato da un’hamiltoniana H e di generatore del gruppo a un parametro di trasformazioni. Se ne esprima la relazione con le trasformazioni canoniche

Answer 21

pg 142

Question 22

Come si possono ricavare simmetrie e leggi di conservazione di un sistema fisico dall’hamiltoniana?

Answer 22

pg 143-144

Question 23

Parentesi di poisson come applicazione lineare e bilineare. è un’operatore differenziale?

Answer 23

pg 144-145

Question 24

Si enunci e si dimostri il teorema di Noether

Answer 24

pg 145-146

Question 25

Si enunci e si dimostri (CIRCA) la condizione necessaria e sufficiente perché la Lagrangiana sia invariante sotto la famiglia di trasformazioni indotta nello spazio degli stati da una famiglia di trasformazioni prossime all’identità nello spazio delle configurazioni

Question 26

Si dia una definizione di invariante integrale

Answer 26

pg 150-151

Question 27

Si enunci e si dimostri l’equazione riguardante la jacobiana del flusso

Answer 27

pg 152-153

Question 28

si enunci e si dimostri l’equazione di continuità

Answer 28

pg 154