Planos Flashcards
Um plano é definido por o quê?
Um plano P é definido por um ponto P = (a,b,c) e por dois vetores não colineares,
u =(u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3).
Vetores Colineares?
Dois vetores são considerados como sendo colineares quanto têm a mesma direção (ainda que possam ter sentidos opostos)
Como verificar se dois vetores do plano são colineares?
Se tivermos um vetor 𝑢⃗ =(2,6) e um vetor 𝑣⃗ =(3,9), e quisermos verificar se são colineares, então basta utilizar um “truque” muito simples que consiste em fazer a multiplicação cruzada das coordenadas e verificar se dá o mesmo resultado. Neste exemplo ficaria 2×9=6×3. Como ambos os produtos dão o mesmo resultado, então fica demonstrado que os vetores 𝑢⃗ e 𝑣⃗ são colineares.
Como verificar se dois vetores do espaço são colineares?
A definição matemática de vetores colineares diz-nos o seguinte: ∃𝑘∈ℝ:𝑢⃗ =𝑘𝑣⃗ .
Para provarmos que dois vetores no espaço são colineares temos que provar que essa constante 𝑘 existe.
Vamos supor que temos os vetores 𝑢⃗ =(2,3,4) e 𝑣⃗ =(4,6,8). Praticamente sem fazermos cálculos, conseguimos ver que, se multiplicarmos 𝑢⃗ por dois então vamos obter 𝑣⃗ , logo a constante 𝑘 existe e tem o valor dois. Mas nem sempre é assim tão fácil fazer isso desta forma. Em casos mais complicados, para verificar a colinearidade, o mais fácil é dividir cada coordenada de um vetor pela respetiva coordenada do outro e verificar se o resultado obtido é sempre o mesmo. No exemplo dado anteriormente ficaria 4:2=6:3=8:4. Sendo verdadeira esta tripla igualdade, concluímos que estamos na presença de dois vetores colineares.
Equação Vetorial do Plano?
(x, y, z) = (a, b, c) + α(u1, u2, u3) + β(v1, v2, v3)
com α e β pertencentes a R
Equações Paramétricas do Plano?
x = a + α(v1) + β(v1) y = b + α(v1) + β(v1) z = c + α(v3) + β(v3)
As quais se obtêm diretamente da equação vetorial do plano.
Equação Cartesiana?
Envolve apenas as incógnitas x, y e z e tem a forma
ax + by + cz = d
Com a, b e c diferentes de zero
Tendo a equação cartesiana seguinte: 3x + 2y + 4z = 1 indique os passos necessarios para determinar as equações paramétricas e a equação vetorial.
- Escrevemos a equação em ordem a x, por exemplo.
- Daí obtemos uma equação na qual podemos
escrever as incognitas livres (y e z) como aplha e beta, respetivamente. - Daí somos capazes de escrever a equação vetorial, uma vez que de acordo com os coeficientes de cada um dos termos podemos escrever o valor que cada um dos termos tem.
P.ex (x,y,z) = (1/3,0,0) + α(0,-2/3,0) + β(0,0,-4/3)
Esta equação descreve um plano que passa no ponto (1/3,0,0) e com os seguintes vetores diretores (0,-2/3,0) e (0,0,-4/3).
- Posto isto podemos escrever as equações paramétricas da mesma forma, analisando a equação vetorial.
Princípios Gerais de Planos?
O que se obtém com uma equação cartesiana de um plano P?
O que se obtém com a equação vetorial de um plano P?
Em geral, notamos os seguintes princípios:
• dada a equação cartesiana de um plano P, obtém-se a equação vetorial (e as equações
paramétricas) de P resolvendo esta equação.
• dada a equação vetorial e, consequentemente, as equações paramétricas de um plano P, obtém-se a equação cartesiana de P classificando (isto é, verificar quando o sistema é possível) o sistema definido por estas equações.
Quando de um sistema possível resulta uma equação, essa mesma equação diz-se a equação cartesiana do plano.
Como se define uma reta?
Uma reta r é definida por um ponto P = (a,b,c) e por um vetor diretor não nulo, u = (u1, u2, u3)
Equação Vetorial de uma reta?
(x,y,z)=(a,b,c)+α(u1,u2,u3)
Com α∈R
Sistema de Equações de uma reta? Ou equações paramétricas de uma reta?
x = a + α(v1) y = b + α(v1) z = c + α(v3)
