2. Espaços Vetoriais Flashcards
Subespaço vetorial?
Seja V um espaço vetorial.
Um subconjunto U incluído em V diz-se subespaço de V quando:
- O vetor nulo pertence a U
- A soma de dois vetores pertencentes a U, sejam eles u e v, pertence a U.
- A multiplicação de um vetor u, pertencente a U, por um escalar, pertencente aos números reais, pertence a U.
Espaço vetorial?
Um conjunto V, cujos elementos são designados por vetores.
Um vetor nulo 0 ∈ V, uma operação que associa a cada par (u,v) de vetores um vetor u+v ∈ V (designado por soma de u e v) e, para cada número real α ∈ R, uma operação que associa a cada vetor u∈V um vetor α·u ∈ V (designado por produto de α com u)
Tal que para todos os vetores desse espaço vetorial, são confirmadas as oito condições.
Subespaços triviais do espaço vetorial?
- O espaço vetorial está incluído no próprio espaço vetorial.
- O elemento nulo está incluído no espaço vetorial
Combinação linear?
O vetor
v = α1 ·v1 +···+αn ·vn
Diz-se combinação linear de v1, . . . , vn com coeficientes α1, . . . , αn em R
Subespaço gerado de V?
Quais são as condições?
⟨S⟩ é um subespaço de V porque a soma de duas combinações lineares de vetores de S é uma combinação linear de vetores S.
E a multiplicação de uma combinação linear de vetores de S por um número real é uma combinação linear de vetores de S.
Logo, o subespaço gerado por {v1, . . . , vm} é o conjunto de vetores v de Rn para os quais o sistema correspondente à matriz v1 . . . vn | v é possível.
Independência Linear?
Só existe uma maneira de escrever o vetor como combinação linear de outros vetores.
Vemos se o vetor nulo resolve o sistema. SE resolver então eles são L.I pois só pode haver uma solução.
Condições para ser base?
Os vetores têm de ser geradores e linearmente independentes.
Como relacionamos combinações lineares com subespaços?
Dado um subespaço U este é um subespaço de V se e só se toda a combinação linear de elementos de U também pertence a U.
Como podemos verificar se um dado vetor pertence a um subespaço gerado?
Dado um subespaço vetorial S. Um dado vetor só pertence a esse subespaço se for possível escrever esse vetor como combinação linear dos vetores do subespaço.
Isto é, a matriz com os vetores do subespaço como colunas, onde a última coluna seja o vetor que queremos ver se pertence ou não, tem de ser possível e determinada.
Ou seja, se assim for existem coeficientes que possam escrever o vetor v a partir dos vetores do subespaço.
Como determinamos a base de um espaço vetorial?
Ou seja determinar uma base de um espaço vetorial é a mesma coisa que ver se um dado vetor pertence a um subespaço, só que fazemos para qualquer vetor.
Como determinamos uma base de um subespaço vetorial?
Dado um subespaço S gerado por n vetores. Dada uma matriz A, composta pelos vetores de S em colunas.
Se escalonarmos a matriz A, uma base de S será dada pelos vetores das colunas com pivô.
Seja (v1, . . . , vm) uma sequência de vetores em Rn. Para a determinação de uma base do subespaço S = ⟨v1, . . . , vm⟩ de Rn gerado por estes vetores:
• Consideramos a matriz A do tipo n × m cujas colunas são dadas por v1, . . . , vm, respetivamente.
• Seja B uma matriz em escada equivalente por linhas a A (A B).
Uma base de S é dada pela sequência daqueles vetores de (v1,…,vm) cujas colunas correspondentes em B têm um pivô.
Qual é a dimensão dos seguintes espaços vetoriais?
R^n
R[t]n
Mmxn(R)
No primeiro caso, a dimensão é n.
No segundo caso, no caso dos polinómios de grau n, a dimensão é n+1.
No último caso, das matrizes mxn, a dimensão é mn.
O que fica limitado com a dimensão de um espaço vetorial?
A dimensão de um espaço vetorial indica o número mínimo de geradores.
E o número máximo de vetores linearmente independentes.
Como determinamos uma base de um subespaço vetorial V a partir de um conjunto de vetores geradores?
Dada uma base de um espaço vetorial V de dimensão n e um conjunto de vetores que geram o subespaço S (de V).
A maneira de determinar uma base de S passa por escrever uma matriz onde as colunas dessa mesma matriz são dadas pelos vetores na base B.
Depois escalonamos essa matriz e a base é dada pelas colunas com pivô.
