Operaciones entre conjuntos Flashcards
Se definen las siguientes operaciones sobre conjuntos.
Unión Intersección Diferencia Complemento Conjunto Potencia Producto Cartesiano
Sean A y B dos conjuntos. La UNIÓN de A con B es:
el conjunto de aquellos elementos que están en A o que están en B.
La UNIÓN se simboliza:
A∪B
A∪B = ?
A∪B = { x | (x∈A) v (x∈B) }
Sean A y B dos conjuntos. La INTERSECCIÓN de A con B es:
el conjunto de aquellos elementos que están en A y que están en B.
La INTERSECCIÓN se simboliza:
A∩B
A∩B = ?
A∩B = { x | (x∈A) ^ (x∈B) }
Sean A y B dos conjuntos. La DIFERENCIA de A con B es:
el conjunto de aquellos elementos que están en A y que no están en B.
La DIFERENCIA se simboliza:
A–B
A–B = ?
A–B = { x | (x∈A) ^ (x!∈B) }
En las DIFERENCIAS, el orden:
SÍ importa
Sea A un subconjunto de un universo discurso U; el COMPLEMENTO de A son
todos aquellos elementos de U que no están en A.
El COMPLEMENTO se simboliza:
A^c ó A’
A^c = ?
A^c = { x | (x∈U) ^ (x!∈A) }
El CONJUNTO POTENCIA de A se define como:
el conjuno de todos los posibles subconjuntos de A.
El CONJUTO POTENCIA se simboliza:
2^A
2^A = ?
2^A = { x | (x∈U) ^ (x⊆A) }
Sean A y B dos conjuntos (posiblemente iguales pero no vacíos). El PRODUCTO CARTESIANO de A con B es:
el conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) donde a∈A y b∈B.
El PRODUCTO CARTESIANO se simboliza:
A x B
A x B = ?
A x B = { (x,y) | (x∈A) ^ (x∈B) }
En los PRODUCTOS CARTESIANOS, el orden:
Sí importa
Sea A={1,2,3} y B={3,4,5}; Nuestro universo discurso son todos los x naturales entre 1 y 10, calcula A U B:
A U B = {1,2,3,4,5}
Sea A={1,2,3} y B={3,4,5}; Nuestro universo discurso son todos los x naturales entre 1 y 10, calcula A ∩ B:
A ∩ B = {3}
Sea A={1,2,3} y B={3,4,5}; Nuestro universo discurso son todos los x naturales entre 1 y 10, calcula A - B:
A - B = {1,2}
Sea A={1,2,3} y B={3,4,5}; Nuestro universo discurso son todos los x naturales entre 1 y 10, calcula A x B:
A x B = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,5)}
Sea A={1,2,3} y B={3,4,5}; Nuestro universo discurso son todos los x naturales entre 1 y 10, calcula 2^A:
2^A = { { },{1},{1,2},{1,3},{2},{3},{2,3},{1,2,3} }
Sea A={1,2,3} y B={3,4,5}; Nuestro universo discurso son todos los x naturales entre 1 y 10, calcula A^c:
A^c = {4,5,6,7,8,9,10}
Sea A={1,2,3} y B={3,4,5}; Nuestro universo discurso son todos los x naturales entre 1 y 10, calcula B^c:
B^c = {1,2,6,7,8,9,10}
CONMUTATIVIDAD de conjuntos:
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
AUB=BUA
A∩B=B∩A
ASOCIATIVIDAD de conjuntos:
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
A U (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
DISTRIBUTIVIDAD de conjuntos:
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
LEYES DE IDENTIDAD de conjuntos:
Sea A un conjunto cualquiera, entonces:
A∪∅=A
A∩U=A
*U=Universo
LEYES DE COMPLEMENTO de conjuntos:
Sea A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ AC = U
A ∩ AC = ∅
IDEMPOTENCIA de conjuntos:
Sea A un conjunto cualquiera, entonces:
A∪A=A
A∩A=A
LEYES DE DOMINACIÓN de conjuntos:
Sea A un conjunto cualquiera, entonces:
A∪U =U
A∩∅=∅
LEYES DE ABSORCIÓN de conjuntos:
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
COMPLEMENTO BASE de conjuntos:
U^c = ∅ ∅^c = U
LEY DE DIFERENCIA de conjuntos:
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
(A − B) = A ∩ B^c
Una SUCESIÓN es:
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
(a)m,(a)m+1,(a)m+2,…,(a)n
En las sucesiones, cada elemento (a)k se llama:
término.
La letra k en (a)k se conoce como:
subíndice o índice.
m es el subíndice del término ______.
n es el súbíndice del término ______.
Inicial
Final
Una sucesión infinita es:
un conjunto de elementos ordenados que se pueden describir mediante una lista:
(a)m,(a)m+1,(a)m+2,…,(a)n
Una fórmula explícita o fórmula general para una sucesión es:
una fórmula en función de k que evaluada en k da el término (a)k.
En la notación de sumatoria, k se llama ______, m se llama el ______ de la suma, n se llama el ______ de la suma.
índice
índice inferior
índice superior
La notación de la suma representa la suma desarrollada:
(a)m + (a)m+1 + (a)m+2 + … + (a)n
La notación del producto representa el producto desarrollado:
(a)m * (a)m+1 * (a)m+2 * … * (a)n
En la notación de producto, k se llama ______, m se llama el ______ del producto, n se llama el ______ del producto.
índice
índice inferior
índice superior
Propiedades de las sumatorias:
Si (a)m,(a)m+1,… y (b)m,(b)m+1,(b)m+2,… son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple:
1) Suma(a)k + Suma(b)k = Suma((a)k+(b)k) Si tienen el mismo límite superior
2) cSuma(a)k = Suma(c(a)k)
3) Producto(a)k + Producto(b)k = Producto((a)k*(b)k) Si tienen el mismo límite superior
Corrimiento de índice:
Ver ejemplo en la presentación. (:
Suponga una fila interminable de fichas de dominó.
Suponga que las fichas están estratégicamente colocadas de tal forma que si cualquiera cayera hacia adelante tiraría la siguiente ficha hacia adelante. (Paso _______)
Suponga también que la primera ficha cae hacia adelante.(Paso _______)
Inductivo
Base
Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad, condición, etc) P(n) que está definida para los enteros a partir de un entero fijo a (Para n=a, para n=a+1,para n=a+2,…)
Suponga que las dos siguientes afirmaciones son ciertas:
P(a) es verdadero.
Para cualquier entero k mayor o igual que a:
Si P(k) es cierto, entonces P(k + 1) es cierto.
Entonces la afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P(n) es verdadera.
Para demostrar que es verdadera una afirmación: Para todos los enteros n ≥ a, P(n) cualquier entero k ≥a…
Pruebe que:
Paso Base - P(a) es verdadero.
Paso Inductivo – Muestre que para cualquier
entero k≥a
suponiendo que P(k) es verdadera (Hipótesis inductiva) entonces muestre que P(k + 1) también es verdadera.
