Numeri complessi

Question 1

Campo

Answer 1

Insieme non vuoto che comprende addizione e prodotto tale che:
1. Chiusura rispetto all’addizione
2. Chiusura rispetto al prodotto
3. Associatività somma
4. Commutatività somma
5. Elemento neutro somma
6. Inverso somma
7. Associatività prodotto
8. Commutatività prodotto
9. Elemento neutro prodotto
10. Inverso prodotto
11. Distributive

Question 2

Numeri complessi

Answer 2

Insieme delle coppie ordinate R x R della forma a + ib dove i^2 = -1

Question 3

Forma algebrica di un numero complesso

Answer 3

z = a + ib

Question 4

Forma trigonometrica di un numero complesso

Answer 4

z = r(cos(@)+isin(@))

Question 5

Forma esponenziale di un numero complesso

Answer 5

z = r e^(i@)

Question 6

Coniugato di z

Answer 6

z = a -ib

Question 7

Proprietà del coniugio

Answer 7

1. (z) = z
2. z = 0 se e solo se z è reale (b=0)
3. z1+z2 = z1 + z2
4. z1z2 = z1 . z2

Question 8

Modulo di z

Answer 8

|z| = radice di (a^2+b^2)

Question 9

Proprietà del modulo

Answer 9

1. |z| è sempre positivo
2. |z| = 0 se e solo se z = 0
3. |z| = |z|
4. z^-1 = z / |z|^2
5. |z1 . z2| = |z1|.|z2|
6. |z1+z2| =< |z1| + |z2|

Question 10

Teorema fondamentale dell’algebra

Answer 10

Ogni polinomio di grado maggiore di zero è scomponibile come An(z-z1)(…)(z-zn)
quindi z ha n soluzioni complesse

Question 11

Teoremi sui polinomi in C

Answer 11

1. Se @ è una soluzione di p(z) allora anche @ è una soluzione
2. Se p(z) ha grado dispari almeno una soluzione è reale