Funzioni lineari

Question 1

Funzione lineare/Applicazione lineare/Omomorfismo di spazi vettoriali

Answer 1

Funzione che associa elementi di uno spazio vettoriale a elementi di un altro spazio (su un campo) tale che:
- f(a1v1+a2v2) = a1f(v1) + a2f(v2)

Question 2

Nucleo

Answer 2

ker(f) è l’insieme dei vettori di v tali che
f(v) = 0w

Question 3

Immagine

Answer 3

Im(f) è l’insieme dei vettori w tali che esiste v tale che f(v) = w

Question 4

Rango di una funzione

Answer 4

Dim(Im(f))

Question 5

Nullità di una funzione

Answer 5

Dim(ker(f))

Question 6

Teoremi su funzioni lineari, nucleo e immagine

Answer 6

1. Se f e g sono lineari allora g ° f è lineare
2. Se f è lineare e biiettiva allora la sua inversa è lineare
3. Il nucleo è sottospazio del dominio
4. L’immagine è sottospazio del codominio
5. f è iniettiva se e solo se il nucleo contiene solo lo 0
6. Dim(V) = Dim(ker(f)) + Dim(Im(f))

Question 7

Proiezione

Answer 7

Funzione lineare da V in V tale che u+w –> u
(proiezione su U in direzione di W) (SOLO CON U e W in somma diretta)

Question 8

Proprietà della proiezione

Answer 8

1. ker(f) = W
2. Im(f) = U
3. f(u) = u
4. f ° f = f

Question 9

Simmetria

Answer 9

Funzione lineare da V in V tale che
u+w –> u-w (simmetria di asse U in direzione W)

Question 10

Proprietà della simmetria

Answer 10

1. ker(f) contiene solo 0
2. Im(f) = V
3. f(u) = u
4. f ° f = id
5. U = Im(id+f)
6. W = ker(id+f)

Question 11

Determinare ker(f)

Answer 11

Risolvere il sistema lineare omogeneo AX=0

Question 12

Determinare f^-1(w)

Answer 12

Risolvere il sistema lineare non omogeneo AX=B

Question 13

Invertibilità di una funzione

Answer 13

Dim(A) = Dim(Im(f))
La matrice associata ad A deve avere rango massimo