N° complejos. Ecuaciones e Inecuaciones.

Question 1

N° complejos

Answer 1

los |C son los vectores del plano R2=|C y sobre este conjunto se define la suma y el producto

(a;b) a es la parte real y b la parte imaginaria

(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)
(a;b).(c;d)=(a.c-b.d;a.d+bc)

Question 2

Unidad imaginaria y potencia

Answer 2

i=(0;1)

i^0=1 i^1=i
i^2=-1 i^3=-i
i^m=i^r=(i^4)^k.i^r 4.c.r=m

Question 3

Unidad real

Answer 3

0=(1;0)

Question 4

Forma vectorial cartesiana

Answer 4

z=(a;b)

Question 5

un |C es R si y solo si…

Answer 5

la parte imaginaria es cero

Question 6

un |C es imaginario puro si y solo si…

Answer 6

su parte real es cero

Question 7

Suma

Answer 7

z1+z2=(a;b)+(c;d)

z1+z2=z2+z1
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
z1+0=z1
z1+(-z1)=0

Question 8

producto

Answer 8

z1.z2=(a;b).(c;d)

z1. z2=z2.z1
z1. z2).z3=z1.(z2.z3
z1. (1;0)=z1 (DEMOSTRAR)
z. (z^-1)=(1;0)
z1. (z2+z3)=z1.z2+z1.z3

Question 9

inverso multiplicativo

Answer 9

z^-1=(a/(a^+b^2);b/(a^2+b^2))

Question 10

Función de R en |C

Answer 10

sea f:R-|C / f(a)=(a;0)

f es un monomorfismo de R-|C

Question 11

unidad i

Answer 11

permite convertir un n° complejo rela en uno complejo puro

b;0).(0;1)=(b.0-0.1;1.b+0

Question 12

x^2+1=0

Answer 12

i^2+1=(0;1)^2+1=-1+1=0

Question 13

Forma binomica

Answer 13

z=a+bi (DEMOSTRAR)

Question 14

Conjugado de un |C

Answer 14

z¬=a-bi

(z¬)¬=z
z+z¬=2a
z-z¬=2bi
z.z¬=a^2.b^2
(z1.z2)¬=z1¬.z2¬
(z1/z2)¬=(z1¬)/(z2¬)

operador lineal f:|C-|C / f(z)=z¬

Question 15

Un n° es R si y solo si…

Answer 15

es igual a su conjugado

Question 16

Modulo de un |C

Answer 16

|z|=(a^2+b^2)^1/2

Question 17

Forma polar

Answer 17

z=(p;@)=(p;cos@+sen@)

{p=(a^2+b^2)^1/2 y @=tg^-1(b/a)
{a=pcos@ y b=psen@

p=modulo @=argumento

Question 18

z1 y z2 en su forma polar si y solo si…

Answer 18

p1=p2 y @2=2kπ+@1

Question 19

Multiplicación en forma polar

DEMOSTRAR

Answer 19

z1.z2=p1.p2.[cos(@1+@2)+isen(@1@2)]

Question 20

División en forma polar

DEMOSTRAR

Answer 20

z1/z2=p1/p2[cos(@1-@2)+isen(@1-@2)

Question 21

Potencia en forma polar

DEMOSTRAR

Answer 21

z^n=p^n[cos(@.n)+isen(@n)]

Formula de Moivre

Question 22

Radicación en forma polar

DEMOSTRAR

Answer 22

z posee n raíces n-esimas distintas

wk=p^1/n.[cos((@+2kπ)/n)+isen((@+2kπ)/n)]

k=0,1,2,…,n-1

Question 23

Forma exponencial

Answer 23

z=x+yi e^z=e^xe^i

e^iy=cosy+iseny (Formula de Eulez=p(cos@+isen@) z=pe^i@

Question 24

Operaciones forma exponencial

Answer 24

z1.z2=p1.p2.e^i(@1+@2)
z1/z2=(p1/p2)e^i(@1-@2)
z^n=p^n.e^i(n@)
z^1/n=(p)^1/n.e^i((@+2kπ)/n)

Question 25

Logaritmación

DEMOSTRAR

Answer 25

lnz=w si y solo si e^w=z

lnz=ln(p)+i(@+2kπ)

Question 26

exponencial compleja

Answer 26

z1^z2=w entonces; ln(z1^z2)=z2.ln(z1)=ln(w)

Question 27

Teorema de D’Alembert

Answer 27

todo polinomio con coeficientes complejos de grado positivo tiene al menos una raíz compleja

junto con el teorema del resto podemos descomponer un polinomio P(x) de grado positivo en factores lineales

P(x)=(x-z)Q(x)

si P(x) tiene un grado mayor a 1 podemos seguir descomponiendo el polinomio y encontrar otras raíces complejas (z)

Question 28

z (un |C) es raíz de P(x) de orden r (un |N)si y solo si…

Answer 28

existe Q(x) tal que P(x)=(x-z)^r.Q(x)

Q(z) distinto de 0

Question 29

Teorema fundamental del álgebra

Answer 29

todo polinomio de grado n mayor a 0 con coeficientes en los |C tiene exactamente n raíces complejas

Question 30

Ecuaciones con coeficientes reales

Answer 30

si un |C es raiz de uun polinomio con coeficientes R, entonces su conjugado también lo es

Question 31

Ecuaciones bicuadradas

Answer 31

son de 4to grado y solo poseen raices en los exponentes pares

ax^4+bx^2+c=0

reemplazamos x^2 por z obteniendo obteniendo dos pares de raíces complejas
luego calculamos las raíces cuadradas de las encontradas anteriormente

Question 32

Reciprocas de 3r grado

Answer 32

ax^3+bx^2+bx+a=0

a(x^3+1)+b(x^2+x)=0 (x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1)
a(x+1)(x^2-x+1)+b(x^2+1)=0
(x+1)[a(x^2-x+1)+bx]=0

(x+1)=0 x1=-1
de [a(x^2-x+1)+bx=0] obtenemos x2 y x3 tal que; x3=1/x2

Question 33

Reciprocas de 4to grado

Answer 33

ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0

primero dividimos todo por x^2
ax^2+bx+c+b(1/x)+a(1/x^2)=0
a(x^2+(1/x^2))+b(x+(1/x))+c=0

remplazamos z=(x+1/x) y z^2-2=(x^2+1/x^2)
y obtenemos dos raices z1 y z2 de las cuales obtenemos x1, x2, x3 y x4 ta que
x2=1/x1 y x4=x/x3

Para corroborar al multiplica las raices entre sus reciprocas debe dar 1;
x1.x2=1

Question 34

Ecuaciones binómicas

Answer 34

P(x) es un binímio de dos términos de grado m

ax^m+b^n=0

al resolver sacamos factor común x^n tal que;
x^n=0 (raíz múltiple)
ax^(m-n)+b=0

Question 35

Ecuaciones trinómicas

Answer 35

P(x) es de segundo grado

ax^(2n)+b^n+c=0

sustituimos z=x^n
az^2+bz+c=0

asi, obtengo dos raices z1 y z2
x=(z1)^1/n
x=(z2)^1/n

consiguiendo n raices |C