Modul 3 Derivata Tillämpningar

Question 1

Tangentens ekvation steg
Bestäm ekv för en kurva y=f(x) i punkten där x=a

Answer 1

1. Ansats y=kx+m
2. k = f’(a)
3. m = y-kx där y= f(a) och x=a

Question 2

Sin 0°

Answer 2

0
Rot0/2

Question 3

Sin30°

Answer 3

1/2
Rot1/2

Question 4

Sin 45°

Answer 4

Rot2/2

Question 5

Sin 60°

Answer 5

Rot3/2

Question 6

Sin 90°

Answer 6

1
Rot4/2

Question 7

Cos 0°

Answer 7

1
Rot4/2

Question 8

Cos 30°

Answer 8

Rot3/2

Question 9

Cos 45°

Answer 9

1
Rot2/2

Question 10

Cos 60°

Answer 10

1/2
Rot1/2

Question 11

Cos90°

Answer 11

0
Rot0/2

Question 12

Tan 0°

Answer 12

0

Question 13

Tan 30°

Answer 13

1/rot3

Question 14

Tan 45°

Answer 14

1

Question 15

Tan 60°

Answer 15

Rot3

Question 16

Tan 90°

Answer 16

Odef

Question 17

Skriv om rot2/3

Answer 17

1/rot2

Question 18

Växande och avtagande funktioner +
Definitionsmängd steg

1+x+4/(x-2)^2

Answer 18

Definitionsmängd:
Delsvar nämnare ej 0 => x alla reella tal förrutom 2

Växande och avtagande:
Om täljare konstant -> flytta upp nämnare

1. Derivera
2. Sök stationära punkter /kritiska punkter ( där f är odef)
   Ex. f’(x) =0, x=4
3. Teckentabell (alltid 3 rader)

X- kritisk p.1: 2 - kritisk p.2: 4
f’(x): + : odef: - : 0 : +
f(x) : / : odef : \ : f(4) : /

Undersök vad f’(x) har för tecken i varje intervall

X<2:f’(0) =1
2<x<4: f’(3) = \
X>4: f’(5) = /

Question 19

Bestäm värdemängden av f steg

Answer 19

1. Derivera (bryt ut om vissa saker upprepas)
2. Kontinuerlig? För alla funk som inte har nämnare och endast har en rad är funk kontinuerlig
3. Beräkna ex f(1)för att ta reda på N (ex π/2)

Question 20

Arctan1

Answer 20

=arctan45°
π/4

Question 21

Finn f’ och ange var f’ existerar
f(x) = 1/x

Answer 21

f’(x) = -1/x^2

f’ existerar (-○○, 0) resp (0, ○○)
f’(0) existerar ej pga
1) f’ är odef i x=0
2) f är odef i x=0

Question 22

Finn f’ och ange var f’ existerar
f(x) = 3rotx = x^1/3

Answer 22

f’(x) =1/3x^-2/3 = 1/3x^2/3
OBS f’(0) existerar ej trots att f är def och kont i origo

SATS: om funktionen f är deriverbar i x=a , är f också kontinuerlig i x = a

Konsekvens: om f inte är kont i x=a, är f inte heller deriverbar i x=a

Question 23

Vad gäller om en funktion är deriverbar i x=a

Answer 23

funktionen är kontinuerlig i x = a

Konsekvens: om funk ej är kontinuerlig i x=a är funk ej deriverbar i x=a

Question 24

Finn f’ och ange var f’ existerar
f(x) = rotx = x^1/2

Answer 24

f’(x) = 1/2rotx
Medför att f’(0) existerar inte (f’(x) är odef i x=0) trots att funktionen f(x) är definierad och kontinuerlig i x=0

Df = [0, ○○) där 0 är en ändp

Question 25

Vad gäller om en funk enbart är definierad på [a, b] (angående derivata)

Answer 25

f’ existerar ALDRIG i ändpunkterna dvs f’(a) och f’(b) existerar inte

Question 26

Om f är kont i x=a existerar f’(a)?

Answer 26

Det är inte garanterat

Question 27

Finn f’ och ange var f’ existerar
f(x)= |2x-1|

Answer 27

Question 28

Vad gäller oftast angående derivator i brytpunter vid funk med absolutbelopp

Answer 28

De existerar ej

Question 29

När behöver man undersöka VD och HD (vänster och högerderivator)

Answer 29

Om vi har absolutbelopp eller om funk är skriven på två rader

Question 30

Finn gränsvärdet för
lim (x^2-9)/(x-3)
x->3

Answer 30

1. Fräck insättning: definierat?
2. Faktorisera och förkorta

Question 31

Finn gränsvärdet för
lim (x+3)/(x^2-9)
x->3

Answer 31

1. Fräck insättning (definierat?)
2. Faktorisera och förkorta + sätt in gränsvärdet (nämnare 0)
3. Kolla vänster och högerderivata, är den densamma?

Question 32

VD 1/0^-

Answer 32

-○○

Question 33

HD 1/0^+

Answer 33

○○

Question 34

Skissa grafen till f(x) =xe^-x
Vad är viktigt i figuren? Vilka steg?

Answer 34

Viktigt i figuren:
1.Definitionsmängd
2.Max och minimipunkt
3.Var f är växande och avtagande
4.Var grafen skär y axeln (där x=0)

Steg 1 Derivera
Steg 2 kritiska punkter
Steg 3 teckentabell (stanna här om det frågas efter lokala extremp/ var växande avtagande)

Steg 4 undersök hur f(x) beter sig när x går mot randen av def.mängden av f (-○○, ○○)

Question 35

Arctan 0

Answer 35

0

Question 36

Arctan30

Answer 36

π/6

Question 37

Arctan60

Answer 37

π/3