Modul 3 Derivata Tillämpningar Flashcards
Tangentens ekvation steg
Bestäm ekv för en kurva y=f(x) i punkten där x=a
- Ansats y=kx+m
- k = f’(a)
- m = y-kx där y= f(a) och x=a
Sin 0°
0
Rot0/2
Sin30°
1/2
Rot1/2
Sin 45°
Rot2/2
Sin 60°
Rot3/2
Sin 90°
1
Rot4/2
Cos 0°
1
Rot4/2
Cos 30°
Rot3/2
Cos 45°
1
Rot2/2
Cos 60°
1/2
Rot1/2
Cos90°
0
Rot0/2
Tan 0°
0
Tan 30°
1/rot3
Tan 45°
1
Tan 60°
Rot3
Tan 90°
Odef
Skriv om rot2/3
1/rot2
Växande och avtagande funktioner +
Definitionsmängd steg
1+x+4/(x-2)^2
Definitionsmängd:
Delsvar nämnare ej 0 => x alla reella tal förrutom 2
Växande och avtagande:
Om täljare konstant -> flytta upp nämnare
- Derivera
- Sök stationära punkter /kritiska punkter ( där f är odef)
Ex. f’(x) =0, x=4 - Teckentabell (alltid 3 rader)
X- kritisk p.1: 2 - kritisk p.2: 4
f’(x): + : odef: - : 0 : +
f(x) : / : odef : \ : f(4) : /
Undersök vad f’(x) har för tecken i varje intervall
X<2:f’(0) =1
2<x<4: f’(3) = \
X>4: f’(5) = /
Bestäm värdemängden av f steg
- Derivera (bryt ut om vissa saker upprepas)
- Kontinuerlig? För alla funk som inte har nämnare och endast har en rad är funk kontinuerlig
- Beräkna ex f(1)för att ta reda på N (ex π/2)
Arctan1
=arctan45°
π/4
Finn f’ och ange var f’ existerar
f(x) = 1/x
f’(x) = -1/x^2
f’ existerar (-○○, 0) resp (0, ○○)
f’(0) existerar ej pga
1) f’ är odef i x=0
2) f är odef i x=0
Finn f’ och ange var f’ existerar
f(x) = 3rotx = x^1/3
f’(x) =1/3x^-2/3 = 1/3x^2/3
OBS f’(0) existerar ej trots att f är def och kont i origo
SATS: om funktionen f är deriverbar i x=a , är f också kontinuerlig i x = a
Konsekvens: om f inte är kont i x=a, är f inte heller deriverbar i x=a
Vad gäller om en funktion är deriverbar i x=a
funktionen är kontinuerlig i x = a
Konsekvens: om funk ej är kontinuerlig i x=a är funk ej deriverbar i x=a
Finn f’ och ange var f’ existerar
f(x) = rotx = x^1/2
f’(x) = 1/2rotx
Medför att f’(0) existerar inte (f’(x) är odef i x=0) trots att funktionen f(x) är definierad och kontinuerlig i x=0
Df = [0, ○○) där 0 är en ändp
Vad gäller om en funk enbart är definierad på [a, b] (angående derivata)
f’ existerar ALDRIG i ändpunkterna dvs f’(a) och f’(b) existerar inte
Om f är kont i x=a existerar f’(a)?
Det är inte garanterat
Finn f’ och ange var f’ existerar
f(x)= |2x-1|
Vad gäller oftast angående derivator i brytpunter vid funk med absolutbelopp
De existerar ej
När behöver man undersöka VD och HD (vänster och högerderivator)
Om vi har absolutbelopp eller om funk är skriven på två rader
Finn gränsvärdet för
lim (x^2-9)/(x-3)
x->3
- Fräck insättning: definierat?
- Faktorisera och förkorta
Finn gränsvärdet för
lim (x+3)/(x^2-9)
x->3
- Fräck insättning (definierat?)
- Faktorisera och förkorta + sätt in gränsvärdet (nämnare 0)
- Kolla vänster och högerderivata, är den densamma?
VD 1/0^-
-○○
HD 1/0^+
○○
Skissa grafen till f(x) =xe^-x
Vad är viktigt i figuren? Vilka steg?
Viktigt i figuren:
1.Definitionsmängd
2.Max och minimipunkt
3.Var f är växande och avtagande
4.Var grafen skär y axeln (där x=0)
Steg 1 Derivera
Steg 2 kritiska punkter
Steg 3 teckentabell (stanna här om det frågas efter lokala extremp/ var växande avtagande)
Steg 4 undersök hur f(x) beter sig när x går mot randen av def.mängden av f (-○○, ○○)
Arctan 0
0
Arctan30
π/6
Arctan60
π/3
