Misura e integrazione Flashcards
Definisci un intervallo (pluri intervallo) e fai esempi e controesempi
pg 37 quaderno
Definizione di volume e proposizione dell’additività del volume
pg 37 quaderno
Definizione di ricoprimento di un insieme e del suo volume
pg 38
Definizione di misura esterna di un insieme
pg 38
Esempi e dimostrazioni di insiemi a misura nulla
pg 38
Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’estensione del volume
pg 38-39
Enuncia la proprietà della misura esterna riguardante la monotonia della misura esterna
pg 40
Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante la misura di intervalli aperti e chiusi
pg 40
Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante la sub-additività di m*
pg 40
Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’approssimazioni con insiemi aperti
pg 41
Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’additività finita sui separati
pg 41
Definisci un insieme misurabile secondo Lebesgue.
Gli aperti lo sono? I chiusi?
pg 42-43
Quando la misura di Lebesgue è uguale a quella esterna?
Perché un insieme di misura nulla è misurabile secondo Lebesgue?
pg 43
Teorema sull’unione di un numero al più numerabile di insiemi misurabili e misurabilità secondo Lebesgue. Con dimostrazione
pg 43
Teorema sulla misurabilità degli insiemi complementari. Intersezioni di misurabili NO DIM
pg 44
Definizione alternativa di insiemi misurabili con i chiusi, con dim
pg 44
Definizione ed esempi di sigma-algebra
pg 44-45
Definizione di misura di Lebesgue
pg 45
Teorema di additività delle misure di Lebesgue (CON DIM), con relativo corollario sulla sottrazione delle misure di Lebesgue
pg 45-46
Definizioni di funzioni misurabili (con dominio in R e in R esteso)
Slide 1,2 lezione 10
Misurabilità di funzioni con dominio ad infinito (incluso ed escluso)
Slide 1 Lezione 10
Funzioni misurabili sono chiuse rispetto a somma e prodotto per scalare?
Slide 2 lezione 10
Composizioni di funzioni continue e misurabili sono ancora misurabili? Se si in che ordine?
Slide 3 lezione 10
Date f e g misurabili, fg, |f|, f^2, f^+, f^-, f/g e quindi (1/f)?
Se |f| è misurabile, lo sarà anche f?
Slide 4 lezione 10
Data una successione di funzioni misurabili, il loro sup (inf) è misurabile? Il loro limsup (liminf) per n che va ad infinito? E il loro lim (se esiste) per n che va ad infinito? Dove?
inf e sup, liminf e limsup in R esteso, se la successione è definita in R comunque slide 5 lezione 10
Cosa si intende per proprietà definite quasi ovunque? Fai esempi
Slide 6 lezione 10 o slide 1 lezione 11
Definisci la funzione caratteristica, fai esempi e parla dell sua controimmagine in un intervallo (a,+infinito) al variare del parametro a
slide 2 lezione 11
Definizione di funzione semplice e misurabilità di queste
slide 3 lezione 11
Le funzioni semplici hanno un’unica rappresentazione? In che condizioni?
slide 3 lezione 11 o quaderno pg 47
Definizione di integrale di Lebesgue di funzione semplice non negativa
slide 4 lezione 11 o pagina47 quaderno
Approssimazione di una funzione misurabile ad una funzione semplice (con dim)
pg 48-49 o slide 5 lezione 11
Definizione di integrale di Lebesgue di una funzione misurabile non negativa, tale definizione è compatibile con quella di integrale di Lebesgue di funzione semplice?
pg 49 o slide 7 lezione 11
Enuncia e dimostra le proprietà dell’integrale secondo Lebesgue
pg 50 per gli enunciati, per enunciati con dimostrazioni si veda lezione 11 slide 8-9
Definizione di grafico e sottografico di una funzione misurabile, dimostrazione che il sottografico di f sia misurabile
pg 50-51 (ma meglio sulle slide)
Dimostra la relazione tra integrale di una funzione e la misura del suo sottografico
pagina 52-53 (ma meglio sulle slide)
Additività dell’integrale
pg 53 ma meglio sulle slide
Dimostra la disuguaglianza di Tchebychev
pg 53
Proprietà dell’integrale di Lebesgue
pg 54-55 o slide 12-13 lezione 12
Definizioni di integrabilità secondo Lebesgue e di funzione che ha integrale, dimostra che la definizione alternativa implica la definizione che abbiamo dato
pg 54
Come faccio a definire l’integrale di lebesgue di una funzione negativa o non strettamente positiva?
pg 56 o slide 10 lezione 12
Esempio che mostri la maggior inclusività della teoria di Lebesgue rispetto a quella di Riemann
La funzione di Dirichlet è integrabile secondo Lebesgue e fa 0
pg 56 o lezione 13 slide 3
Metti a confronto la teoria di integrabilità di Lebesgue con quella di Riemann
lezione 13 slide 4 o pg 56
Teorema di convergenza uniforme (con dim?), non è segnato
CON CONTROESEMPI!!! QUELLI LI CHIEDE
pg 57 o lezione 13 slide 6
Teoreme di convergenza monotona o di Beppo Levi con dim
pg 58-59 o lezione 13 slide 6
Teorema di integrazione di serie a termini non negativi? con dim
slide 8 lezione13 o pg 59
Lemma di Fatou, con esempi con dim
pg 60 o slide 10 lezione 13
Teorema di convergenza dominata con dim
pg 61 o slide 12 lezione 13
Teorema che mette in relazione l’integrale di Lebesgue con quello di Riemann
pg 62-63 o lezione 13 slide 14
Teorema riguardante la continuità e la derivabilità di una funzione integrale (di lebesgue)
pg 64 o lezione 13 slide 16
Che problemi si sollevano per integrare secondo lebesgue in due dimensioni o più? Che cosa posso fare in una dimensione? Come si pensa di risolvere tale problema?
slide 1-2 lezione 14
Definizione di sezione e di proiezione di x? esempi
slide 2-3 lezione 14
Teorema di fubini
slide 4 lezione 14
Teorema di Tonelli
slide8 lezione 15
Gli integrali iterati possono essere diversi? esempio
slide 9 lezione 15
Definizione di cambiamento di variabili
slide 10 lezione 15
Teorema di cambiamento delle variabili
slide 12 lezione 15
Come si integra la gaussiana?
pg 65
Definizione di insieme normali e dominio regolare su un piano
pg 66-67 o slide 1 lezione 16
Vettore normale e tangente e orientazione del bordo
slide 2-3 lezione 16
Formule di Gauss Green (senza dim?)
slide 4 lezione 16
