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Analisi matematica 3 > Misura e integrazione > Flashcards

Misura e integrazione Flashcards

1
Q

Definisci un intervallo (pluri intervallo) e fai esempi e controesempi

A

pg 37 quaderno

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2
Q

Definizione di volume e proposizione dell’additività del volume

A

pg 37 quaderno

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3
Q

Definizione di ricoprimento di un insieme e del suo volume

A

pg 38

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4
Q

Definizione di misura esterna di un insieme

A

pg 38

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5
Q

Esempi e dimostrazioni di insiemi a misura nulla

A

pg 38

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6
Q

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’estensione del volume

A

pg 38-39

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7
Q

Enuncia la proprietà della misura esterna riguardante la monotonia della misura esterna

A

pg 40

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8
Q

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante la misura di intervalli aperti e chiusi

A

pg 40

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9
Q

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante la sub-additività di m*

A

pg 40

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10
Q

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’approssimazioni con insiemi aperti

A

pg 41

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11
Q

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’additività finita sui separati

A

pg 41

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12
Q

Definisci un insieme misurabile secondo Lebesgue.
Gli aperti lo sono? I chiusi?

A

pg 42-43

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13
Q

Quando la misura di Lebesgue è uguale a quella esterna?
Perché un insieme di misura nulla è misurabile secondo Lebesgue?

A

pg 43

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14
Q

Teorema sull’unione di un numero al più numerabile di insiemi misurabili e misurabilità secondo Lebesgue. Con dimostrazione

A

pg 43

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15
Q

Teorema sulla misurabilità degli insiemi complementari. Intersezioni di misurabili NO DIM

A

pg 44

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16
Q

Definizione alternativa di insiemi misurabili con i chiusi, con dim

A

pg 44

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17
Q

Definizione ed esempi di sigma-algebra

A

pg 44-45

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18
Q

Definizione di misura di Lebesgue

A

pg 45

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19
Q

Teorema di additività delle misure di Lebesgue (CON DIM), con relativo corollario sulla sottrazione delle misure di Lebesgue

A

pg 45-46

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20
Q

Definizioni di funzioni misurabili (con dominio in R e in R esteso)

A

Slide 1,2 lezione 10

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21
Q

Misurabilità di funzioni con dominio ad infinito (incluso ed escluso)

A

Slide 1 Lezione 10

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22
Q

Funzioni misurabili sono chiuse rispetto a somma e prodotto per scalare?

A

Slide 2 lezione 10

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23
Q

Composizioni di funzioni continue e misurabili sono ancora misurabili? Se si in che ordine?

A

Slide 3 lezione 10

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24
Q

Date f e g misurabili, fg, |f|, f^2, f^+, f^-, f/g e quindi (1/f)?
Se |f| è misurabile, lo sarà anche f?

A

Slide 4 lezione 10

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25
Q

Data una successione di funzioni misurabili, il loro sup (inf) è misurabile? Il loro limsup (liminf) per n che va ad infinito? E il loro lim (se esiste) per n che va ad infinito? Dove?

A

inf e sup, liminf e limsup in R esteso, se la successione è definita in R comunque slide 5 lezione 10

26
Q

Cosa si intende per proprietà definite quasi ovunque? Fai esempi

A

Slide 6 lezione 10 o slide 1 lezione 11

27
Q

Definisci la funzione caratteristica, fai esempi e parla dell sua controimmagine in un intervallo (a,+infinito) al variare del parametro a

A

slide 2 lezione 11

28
Q

Definizione di funzione semplice e misurabilità di queste

A

slide 3 lezione 11

29
Q

Le funzioni semplici hanno un’unica rappresentazione? In che condizioni?

A

slide 3 lezione 11 o quaderno pg 47

30
Q

Definizione di integrale di Lebesgue di funzione semplice non negativa

A

slide 4 lezione 11 o pagina47 quaderno

31
Q

Approssimazione di una funzione misurabile ad una funzione semplice (con dim)

A

pg 48-49 o slide 5 lezione 11

32
Q

Definizione di integrale di Lebesgue di una funzione misurabile non negativa, tale definizione è compatibile con quella di integrale di Lebesgue di funzione semplice?

A

pg 49 o slide 7 lezione 11

33
Q

Enuncia e dimostra le proprietà dell’integrale secondo Lebesgue

A

pg 50 per gli enunciati, per enunciati con dimostrazioni si veda lezione 11 slide 8-9

34
Q

Definizione di grafico e sottografico di una funzione misurabile, dimostrazione che il sottografico di f sia misurabile

A

pg 50-51 (ma meglio sulle slide)

35
Q

Dimostra la relazione tra integrale di una funzione e la misura del suo sottografico

A

pagina 52-53 (ma meglio sulle slide)

36
Q

Additività dell’integrale

A

pg 53 ma meglio sulle slide

37
Q

Dimostra la disuguaglianza di Tchebychev

A

pg 53

38
Q

Proprietà dell’integrale di Lebesgue

A

pg 54-55 o slide 12-13 lezione 12

39
Q

Definizioni di integrabilità secondo Lebesgue e di funzione che ha integrale, dimostra che la definizione alternativa implica la definizione che abbiamo dato

A

pg 54

40
Q

Come faccio a definire l’integrale di lebesgue di una funzione negativa o non strettamente positiva?

A

pg 56 o slide 10 lezione 12

41
Q

Esempio che mostri la maggior inclusività della teoria di Lebesgue rispetto a quella di Riemann

A

La funzione di Dirichlet è integrabile secondo Lebesgue e fa 0
pg 56 o lezione 13 slide 3

42
Q

Metti a confronto la teoria di integrabilità di Lebesgue con quella di Riemann

A

lezione 13 slide 4 o pg 56

43
Q

Teorema di convergenza uniforme (con dim?), non è segnato
CON CONTROESEMPI!!! QUELLI LI CHIEDE

A

pg 57 o lezione 13 slide 6

44
Q

Teoreme di convergenza monotona o di Beppo Levi con dim

A

pg 58-59 o lezione 13 slide 6

45
Q

Teorema di integrazione di serie a termini non negativi? con dim

A

slide 8 lezione13 o pg 59

46
Q

Lemma di Fatou, con esempi con dim

A

pg 60 o slide 10 lezione 13

47
Q

Teorema di convergenza dominata con dim

A

pg 61 o slide 12 lezione 13

48
Q

Teorema che mette in relazione l’integrale di Lebesgue con quello di Riemann

A

pg 62-63 o lezione 13 slide 14

49
Q

Teorema riguardante la continuità e la derivabilità di una funzione integrale (di lebesgue)

A

pg 64 o lezione 13 slide 16

50
Q

Che problemi si sollevano per integrare secondo lebesgue in due dimensioni o più? Che cosa posso fare in una dimensione? Come si pensa di risolvere tale problema?

A

slide 1-2 lezione 14

51
Q

Definizione di sezione e di proiezione di x? esempi

A

slide 2-3 lezione 14

52
Q

Teorema di fubini

A

slide 4 lezione 14

53
Q

Teorema di Tonelli

A

slide8 lezione 15

54
Q

Gli integrali iterati possono essere diversi? esempio

A

slide 9 lezione 15

55
Q

Definizione di cambiamento di variabili

A

slide 10 lezione 15

56
Q

Teorema di cambiamento delle variabili

A

slide 12 lezione 15

57
Q

Come si integra la gaussiana?

A

pg 65

58
Q

Definizione di insieme normali e dominio regolare su un piano

A

pg 66-67 o slide 1 lezione 16

59
Q

Vettore normale e tangente e orientazione del bordo

A

slide 2-3 lezione 16

60
Q

Formule di Gauss Green (senza dim?)

A

slide 4 lezione 16

Analisi matematica 3 (4 decks)

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