Forme differenziali lineari Flashcards
Come si definisce una curva in R^n?
Phi:[a,b]—>R^n continua. Phi vett si dice curva in Rn e Phi vett([a,b]) sottoinisieme o uguale di R^n si dice sostegno di phi vett
Definizione di curva chiusa
Una curva phi:[a,b]—>R^n si dice chiusa se phi(a)=phi(b)
Definizione di curva semplice ed esempi
Una curva si dice semplice se per ogni t1,t2 in (a,b), phi(t1 diverso da phi(t2), si noti che se phi(a)=phi(b) e per il resto la definizione è soddisfatta si ha comunque una curva semplice.
Esempi strofoide (non semplice), elica cilindrica (semplice), pg 10
Definizione di curva semplice regolare a tratti. Esempi
Una curva semplice si dice regolare a tratti se phi’(t)!=0 per ogni t in (a,b). Quindi in ogni punto della curva è ben definita una retta tangente di equazione r(t)=t*tau0+P0, dove P0 è il punto in cui voglio definire la retta tangente e tau0=phi’(t)/||phi’(t)||.
Esempi phi(t)=(t^2,t^3) (non regolare in 0)
Cardioide (g(t)cost,g(t)sint) t in [0,2pi], non regolare in t=pi
Definizione di curve equivalenti, esempi
Due curve phi:I–>R^n , psi: J—>R^n si dicono equivalenti se esiste f:I—>J con f C’(I), f’(t)!=0, diffeomorfismo e phi(t)=psi composto f(t). Allora si può definire una classe di equivalenza relativa a queste curve. Si può dire che la classe di equivalenza identifica la curva. Due curve equivalenti avranno lo stesso sostegno.
per esempi pg 13
Definizione di lunghezza di una curva e perchè si definisce così, come si relazione la lunghezza della curva di due curve equivalenti?
La lunghezza di una curva phi:[a,b]—>R^n è definita come l’integrale tra a e b di ||phi’(t)||dt
Due curve equivalenti avranno lunghezza uguale
Per sapere perché si definisce così vedere pg 14
Definizione di parametrizzazione di una curva per ascissa curvilinea (e relativa lunghezza) e di ascissa curvilinea
Una curva si dice parametrizzata per ascissa curvilinea (o lunghezza d’arco) se ||phi’(t)||=1 per ogni t appartenente ad [a,b], se una curva è parametrizzata per ascissa curvilinea la relativa lunghezza è b-a (sostituendo 1 nella definizione di lunghezza di una curva). Se una curva è semplice e regolare è sempre parametrizzabile per ascissa curvilinea.
Sia s(t)=integrale tra a e t di ||phi’(u)||du, con phi: [a,b]–>R^n e s:[a,b]—>[0,Lphi], s è detta ascissa curvilinea e la sua derivata è proprio la funzione integranda ||phi’(t)||(>0), dunque visto che la derivata è >0 è ben definita s^-1
Definizione di integrale curvilineo, l’integrale dipende dalla parametrizzazione?
L’integrale su gamma idi f = l’integrale tra a e b di f(gamma(t))||gamma’(t)||dt, se gamma:[a,b]—>R^n.
No, si può dimostrare come a pg 15 (ma non richiesta).
Definizione di campo vettoriale e di forma differenziale
Un campo vettoriale su Omega è una mappa che associa ad ogni punto di Omega un elemento dello spazio ex, cioè lo spazio dei vettori uscenti da un punto
Una forma differenziale su Omega è una mappa che associa a x appartenente a Omega un elemento dello spazio E*x, cioè del duale relativo a Ex, cioè lo spazio dei funzionali lineari su Ex, dove un funzionale è un’applicazione lineare da uno spazio vettoriale al suo campo di scalari
Cosa implica il teorema di rappresentazione di Riesz per le forme differenziali e i campi vettoriali
Esempio
Dato un campo vettoriale F si può sempre ottenere una forma differenziale prendendo in ogni x in Omega il prodotto scalare in Ex con il vettore F(p). F—>omegaf omegaf(x)=<F(x), . >=omegaf(x) per ogni x in omega
Vale anche il contrario, tramite il teorema di rappr di Riesz si può identificare Ex ed Ex, nel senso che ogni funzionale lineare omega(x) appartenente ad E(x) si può rappresnteare mediante un elemento di Ex.
Da tutto ciò quindi a campi vettoriali si possono associare forme differenziali e viceversa
esempio: Data f:Omega–>R C’(Omega), per ogni x fissato in Omega, visto che f è differenziabile si può definire una mappa Ex a cui appartiene v—->Dvf(x), cioè una mappa che associa ad un vettore v la derivata direzionale in quella direzione
A questa forma differenziale si può associare il campo vettoriale definito da F(x) (x fissato in Omega), dove F(x) garantisce l’identità <F(x),v>=Dvf(x)
Definizione di Campo conservativo, forma esatta e potenziale
Un campo vettoriale F su Omega si dice conservativo se esiste f:Omega—>R di classe C’ tc F=Gradf
omega è una forma differenziale su Omega che si dice esatta se esiste f in C’(Omega) tc omega=df, con f definito potenziale o primitiva di F e omega
Definizione di insieme aperto connesso e proprietà
Omega aperto si dice connesso se non si può rappresentare come unione di due aperti disgiunti, cioè la loro intersezione è vuota). Coincide con la connessione per archi (poligonali), cioè per ogni p e q in Omega esiste una curva gamma:[a,b]—>Omega tc gamma(a)=p, gamma(b)=q
Se siamo in un aperto connesso tutti i potenziali differiscono per una costante
pagina 22 (meglio 4 lezione 5), non saprei come formulare una domanda su sta roba
pag 4 lezione 5
Definizione di forma differenziale lineare
Una forma differenziale lineare è un’applicazione omega:A–>(R^n)*, che ad ogni x in A associa il funzionale lineare in R^n omega(x)=Sommatoria da j=1 a n aj(x)dxj
Definizione di forma differenziale di classe C^k
Una forma differenziale omega=sommatoria da j=1 a n di ajdxj è di classe C^k se aj è C^k(Omega)
