Complementi di Calcolo Differenziale Flashcards
Definisci che cos’è un insieme di livello ZF?
Un insieme di punti tc Zf={x appartenete ad Omega ;F(xvett)=0}. Con xvett è un vettore
Definizione di funzione implicitamente definita
F:Omega sottoinsieme o uguale di R^2—>R, (x0,y0) appartenente ad omega, F(x0,y0)=0, quindi (x0,y0) appartenente ad ZF, è definita una funzione implicita y=f(x) da F(x,y)=0 e (x0,y0) se (x,f(x)) appartiene ad OMega, F(x,f(x))=0 e y0=f(x0)
Enuncia il teorema di esistenza e unicità globale
Sia F:[a,b]x[c,d]–>R continua
F(x,c)*F(x,d)<0 per ogni x appartenente a [a,b]
Per ogni x0 appartenente ad [a,b] fissato F(x0, . ) strettamente crescente/decrescente
Allora esiste unica f:[a,b]—>R tc F(x,f(x))=0. Il fatto che F sia strettamente crescente garantisce l’unicità
Teorema del dini, enunciato + dimostrazione
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Enunciato del teorema del dini rilassato
Se F è C0 e non C1 come vorrebbe il teorema del dini già visto, si ha comunque esistenza e unicità locale di f, ma invece che essere C1 sarà C0
Qual è il concetto dietro il teorema del Dini vettoriale?
Si vuole studiare quando Fvett(xvett, yvett)=0 e quindi quando il sistema
F1(x1,…xm, y1,…., yn)=0
F2(x1,…xm, y1,…., yn)=0
….
Fn(x1,…,xm,y1,…,yn)=0
con Fvett definita da R^k a R^m con k=n+m
la derivata in y di Fvett sarà una matrice in cui F1, …, Fn verranno derivate per y1,…,yn e la derivata in x di Fvett sarà la derivata di F1, …, Fn per x1, … , xm. La jacobiana di Fvett sarà l’affiancamento dele due matrici della derivata in x e in y di F
Enuncia il teorema del dini vettoriale
Sia Omega sottoinsieme o uguale di R^(n+m) aperto, con (x0,y0) appartenente ad Omega e F:Omega__R^m di classe C’ su Omega.
F(x0,y0)=0 e il determinante della derivata in y di F sia diverso da 0 (garantisce l’invertibilità della matrice)
Allora esiste un intorno di x0, U e esiste un intorno di y0 V tc UxV sottoinsieme o uguale di Omega per ogni xvett appartenente ad Omega. Allora esiste unica yvett=f(x) con f funzione vettoriale tc
F(xvett, f(x))=0
f(x0)=y0
f è C’ e la jacobiana di f è -[derivata in y di F]^(-1)*(derivata in x di F, valutata in (xvett, f(xvett))
Diffeomorfismi definizione
A e B sottoinsiemi o uguali a R^n si dicono diffeomorfi se esiste f:A—>B biunivoca f è C’(A) e f^-1 è C’(B)
Si noti che se f è C’, non è detto che lo sia anche f^-1, si veda f(x)=x^3
Invertibilità della jacobiana di un diffeomorfismo
La jacobiana di un diffeomorfismo f è sempre invertibile. Si noti non vale il contrario , se Jf è invertibile, f non è detto che sia un diffeomorfismo(in R^n, in R vale).
Si noti che però l’invertibilità di Jf dà almeno localmente un diffeomorfismo
Definizione di invertibilità locale e di diffeomorfismo locale
Una funzione f=(f1,…,fn), con f:Omega sottoinsieme di R^n—>R^m, con f C’(omega), Omega aperto. f è localmente invertibile in x0 appartenente ad Omega, se esiste I sootoinsieme di Omega, con x0 in I, tc f:I–>f(I) è invertibile
Se f valutata in I è c’(I) e f^-1 valutata in f(I) è C’(f(I)), allora f è diffeomorfismo locale
Enuncia il teorema di Invertibilità locale
sia Omega sottoinsieme o uguale di R^n aperto
f C’(Omega)
f:Omega–>R^n
x0 in Omega
detJf(x0) diverso da 0
Allora esiste un intorno di x0 U(x0) e V(f(x0)) tc f:U–>V è diffeomorfismo C’ e si ha
Jf^-1=[Jf( f^-1(y)]^-1
Condizione necessaria e sufficiente perché una funzione f sia diffeomorfismo tra A e B aperti di R^n
Serve che f sia biunivoca e che il determinante della Jacobiana di f sia diverso da 0
Definisci un punto di massimo (minimo) vincolato
Diciamo che x0 appartenente ad A è un punto di minimo (max) per f vincolato a z, se x0 è punto di minimo per la restrizione di f su z, dove z è il sostegno alla curva phi:[a,b]—>A e f(phi(t)):[a,b]—->R
Definizione di vincolo regolare
Un vincolo z={(x,y) in A:F(x,y)=0}, F:Omega sottoinsieme o uguale a R^2 aperto—->R, F è C’(Omega) si dice regolare se il gradiente di F è diverso da 0 per ogni (x,y) su z
Enuncia e dimostra il teorema dei Moltiplicatori di Lagrange da R^2—>R
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