Mehrfaktorielle Varianzanalyse Flashcards
Annahmen der mehrfaktoriellen Varianzanalyse
- Es gibt mind. zwei Faktoren:
Faktor 1: Faktor A mit J Stufen
Faktor 2: Faktor B mit K Stufen.
Alle J · K Kombinationen beider Faktoren werden dann an unabhängigen Stichproben realisiert - Die abhängige Variable sei in den jeweiligen Populationen normalverteilt, wobei wir für jede Population einen eigenen Erwartungswert zulassen, aber die gleiche Varianz annehmen:
Yjk ∼ N(µjk , σ²).
a) Die AV muss also innerhalb jeder Faktorstufenkombination (= innerhalb jeder Zelle des Designs) normalverteilt sein. Es darf durchaus sein, dass die abhängige Variable ohne die Beachtung der Faktorstufen nicht normalverteilt ist.
b) Die Varianz der AV muss ebenfalls nur innerhalb der Faktorstufenkombinationen normalverteilt sein - (mindestens) Intervallskalenniveau der abhängigen Variablen
- Unabhängigkeit der einzelnen Stichproben. Wir machen hier weiter die Einschränkung, dass die einzelnen Gruppen alle gleich groß sind. Der Stichprobenumfang pro Gruppe ist also n.
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen Varianzanalyse: Globale Erwartungswerte
Werden mit µj· und µ·k bezeichnet. . .
. . . und werden für jede Stufe des einen Faktors über alle Stufen des anderen Faktors hinweg berechnet. Der Punkt ersetzt dabei den Index des Faktors, über dessen Stufen hinweg gemittelt wird.
beispiel s. F. 10/ 11
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Haupteffekte
- Eine einfaktorielle Varianzanalyse mit dem Faktor A
durchführen und dabei den Faktor B außer Acht lassen
und andersherum –> In etwa das ist mit Haupteffekten gemeint, allerdings steigt die Power durch die Berücksichtigung des jeweils anderen Faktors - testen die Unterschiedlichkeit der globalen Erwartungswerte der einzelnen Stufen jedes Faktors; dabei gibt es immer so viele Haupteffekthypothesen, wie es Faktoren gibt.
- Die Effekte des Faktors A nennen wir wieder αj (wie in der einfaktoriellen Varianzanalyse) und die Effekte des Faktors B nennen wir ganz analog βk :
αj = µj· − µ und βk = µ·k − µ - Dass ein Haupteffekt vorliegt muss nicht unbedingt bedeuten, dass der Faktor unter jeder Stufe des anderen Faktors einzeln betrachtet ebenfalls einen signifikanten Effekt hat –> das kann sei, aber der Haupteffekt ist ja über die Stufen gemittelt daher muss nicht in jeder Stufe ein signifikanter Effekt vorliegen
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Haupteffekte - Aussagekraft
ein Haupteffekt sagt nicht darüber aus, wie die einzelnen Faktoren zueinander stehen, sondern die die Faktoren zur AV stehen, wenn es den jeweils anderen Faktor nicht geben würde
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Haupteffektmodell
der Gruppenerwartungswert setzt sich additiv zusammen aus Gesamterwartungswert und Effekt der Stufe j bzw. der Messwert setzt sich additiv zusammen aus Gesamterwartungswert, Effekt der Stufe j und dem
Messfehler.
Vorläufige Modellgleichung auf Basis der Effekte αj und βk (“Hauteffektmodell”):
µjk = µ + αj + βk
z.B.: für µ11 würde gelten: µ11 = µ + α1 + β1
Es wird klar, die von Haupteffektmodell vorhergesagten Werte und die empirischen Werte stimmen nicht überein! -> daher Interaktionseffekte bestimmen
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Interaktion -Definition
Interaktionen sind Abweichungen der vom Haupteffektmodell vorhergesagten Erwartungswerte von den tatsächlichen Erwartungswerten, also
µjk − (µ + αj + βk )
Wir bezeichnen die Interaktion für jede Zelle mit (αβ)jk und berechnen sie also als:
(αβ)jk = µjk − (µ + αj + βk ) = µjk − µ − αj − βk
sind nichts anderes als Abweichungen von der reinen Additivität der Haupteffekte
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Interaktion - Warum reicht das Haupteffektmodell nicht aus?
- Gäbe es keine Abweichungen, dann würde das rein additive Haupteffektmodell bereits zur Erklärung der Daten ausreichen.
- Da es allerdings Abweichungen gibt, reicht diese reine Additivität nicht aus.
- Diese Abweichungen sind das, was man Interaktion (hier der zwei Faktoren A und B) nennt.
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Interaktion - Modellgleichung auf Parameter- und Messwertebene
- Parameterebene:
µjk = µ + αj + βk + (αβ)jk - Messwerte-Ebene:
yijk = µ + αj + βk + (αβ)jk + eijk
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Interaktion - Interaktionshypothese
Interaktionseffekt AB (Schlafentzug × Altersgruppe):
H0AB: (αβ)jk = 0
H1AB: es gibt mindestens ein (αβ)jk ≠ 0
Die Nullhypothese des Interaktionseffekts AB nimmt an, dass es keine Abweichung von reiner Additivität gibt, d.h. die Daten rein durch die Haupteffekte erklärt werden können.
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Interaktion - Vorgehen
Empirisch: selten bis nie der Fall, dass Interaktionen komplett 0 sind, auch wenn dies in der Population tatsächlich zutreffen würde.
Das Vorgehen ist das Übliche:
1. Annahme der H0 zum Test der Interaktionseffekthypothese
2. Wie wahrscheinlich sind die beobachteten oder extremere Abweichungen (also die Interaktionen) unter dieser Annahme?
3. Sind sie sehr unwahrscheinlich, zweifeln wir an der Annahme der H0 und gehen davon aus, dass eine Interaktion beider Faktoren vorliegt, also eine Abweichung von reiner Additivität.
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Interaktion - Visualisierung von Daten
- Wenn Linien nicht parallel zueinander verlaufen, ist dies ein Hinweis auf das Vorliegen einer Interaktion.
- Wenn beide Linien parallel zueinander sind, würde man keine Interaktion vermuten, sondern sagen, beide Effekte verhalten sich additiv zueinander (vgl. Folie 23).
Grundlagen und Begriffe der zweifaktoriellen
Varianzanalyse: Interaktion - Interpretation einer Interaktion
Eine signifikante Zweifach-Interaktion bedeutet nicht, dass unter einer Stufe des einen Faktors ein signifikanter Effekt des anderen Faktors vorliegt, und unter anderen Stufen nicht. Es reicht, wenn die einzelnen Effekte der verschiedenen Stufen unterschiedlich stark sind. Dies impliziert übrigens
auch: Um festzustellen, ob der Effekt eines Faktors unterschiedlich stark ist bei verschiedenen Stufen eines anderen Faktors, muss die Interaktion berechnet werden. Einzelne Vergleiche reichen nicht; selbst dann nicht, wenn ein Vergleich signifikant wird, ein anderer nicht.
Berechnung der zweifaktoriellen Varianzanalyse: allgemeines Vorgehen
Berechnung ist konzeptuell identisch mit der einfaktoriellen Varianzanalyse:
1. Erfassung der Gesamtvariation der Daten mit der totalen Quadratsumme SStot
2. Zerlegung in einzelne Bestandteile
3. Überführung in Mittlere Quadratsummen
4. Berechnung der (3) F-Brüche zur Entscheidungsfindung
Berechnung der zweifaktoriellen Varianzanalyse: Quadratsummenzerlegung
Hier bei einer zweifaktoriellen Varianzanalyse wird SStot jetzt in insgesamt vier Bestandteile aufgeteilt:
- diejenigen Anteile, die auf die Haupteffekte der Faktoren A und B zurückgehen (SSA bzw. SSB)
- den Anteil der Interaktion AB (SSAB)
- den Anteil, der auf den Messfehler (SSw) zurückgeht
- Auch hier gilt die gleiche Additivität:
SStot = SSA + SSB + SSAB + SSw
-> Genau wie in der einfaktoriellen Varianzanalyse wird SSw die Grundlage für den Fehlerterm bilden
s. F. 41
Was bedeutet Yijk?
Mit yijk ist der Messwert von Versuchsperson i in der Gruppe gemeint, die sich durch die Kombination von Stufe j des Faktors A und Stufe k des Faktors B ergibt.
