ALM Flashcards

1
Q

Vektor Definition & Schreibweise

A
  1. Definition Ein Vektor ist eine Zusammenfassung von n Zahlen xi (auch Elemente genannt) Wir beschränken uns auf dem Raum der reellen Zahlen, d.h. jeder Zahl des Vektors ist eine reelle Zahl.
  2. Schreibweise: Vektoren sind im Folgenden immer klein und fett gedruckt
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2
Q

Wie können Vektoren darstellt werden?

A

Sofern nicht anders vermerkt, sind Verktoren immer Spaltenvektoren, während Zeilenvektoren als x´ bezeichnet werden. Dabei zeigt das Apostroph an, dass der Vektor transponiert wurde, d.h. der Vektor nun einer Zeile entspricht

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3
Q

Rechenregeln mit Vektoren: Skalenmultiplikation

A

Bei der Multiplikation mit einem Skalar a wird jedes Element einzeln mit a multipliziert

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4
Q

Rechenregln mit Vektoren: Vektorenaddition

A

Bei der Vektorenaddition werden die Elemente beider Vektoren elementeweise addiert

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5
Q

Rechenregeln mit Vektoren: Skalarprodukt

A

Das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren. Dabei werden die Elemente an der gleichen Position multipliziert und aus allen Produkten wir die Summe gebildet. Das Skalarprodukt ist als eine (reelle) Zahl.

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6
Q

Rechenregeln mit Vektoren: Norm

A

Die Norm ist die Länge eines Vektors und ergibt sich indem man erst alle einzelnen Elemente quadriert, dann summiert und anschließend die Wurzel der Summe berechnet. In anderen Worten: die Norm ist sie Wurzel aus dem Skalarprodukt eines Vektors mit such selber.

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7
Q

Rechenregeln Winkel zwischen zwei Vektoren und Orthogonalität

A

Wenn man zwei Vektoren in ein Koordinatensystem eintragen würde, dann könnte man einen Winkel zwischen ihnen ausrechen. Der Kosinus des Winkels θ, also cos(θ), zweier Vektoren bestimmt sich als das Skalarprodukt der Vektoren getrennt durch das Produkt der Normen der Vektoren . Um den Winkel zu berechnen muss man noch den Arkuskosinus auf den Bruch anwenden

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8
Q

Rechenregeln Winkel zwischen zwei Vektoren und Orthogonalität - Welche Eigenschaft ergibt sich?

A

Nun ergibt sich eine interessante Eigenschaft von Vektoren, wenn diese orthogonal, also rechtwinklig mit einem Winkel von 90° zueinanderstehen. Denn der obige Ausdruck ergibt genau θ=90, wenn arccos(0) gilt, der Bruch innerhalb der Klammern des arccos also insgesamt den Wert 0 annimmt.
Allgemein gilt somit: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren (der Zähler des Burchs) 0, so sind die Vektoren auch gleichzeitig orthogonal zueinander.

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9
Q

Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren

A

Eine Menge von p Vektoren {x1, x2,…,xp} können linear abhängig oder linear unabhängig sein. Dabei heißen die Vektoren genau dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren xi als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Mit anderen Worten: Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn es reelle Zahlen a1, …, ap-1 gibt, sodass gilt:
xp= a1x1 + a2x2 + … + ap-1xp-1
Existiert eine solche Kombination, sind die Vektoren der Menge per Definition linear abhängig.

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10
Q

Matrix: Definition und Schreibweise

A
  1. Definition:Matrizen sind in gewisser Weise eine Verallgemeinerung von Vektoren. Mehrere Spalten- oder Zeilenvektoren lassen sich in Form einer Tabelle mit n Zeilen und q Spalten zusammenfassen; einer (n x q)-Matrix (Sprich: „n kreuz q“).
  2. Schreibweise: Im Folgenden werden Matrizen groß geschrieben und fett gedruckt. Einzelne Elemente indiziert man mit xij mit i ∈ {1, …,n} und j ∈ {1, …,q}.
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11
Q

Arten von Matrizen

A

(i) quadratische Matrix: Wenn eine Matrix genauso viele Zeilen wie Spalten besitzt (n x n), dann bezeichnet man sie als quadratisch.
(ii). Diagonalmatrix: quadratische Matrix mit Zahlen ai ∈ ℝ und ai ≠ 0 auf der Hauptdiagonalen, aber ansonsten nur Nullen.

(iii). Einheitsmatrix: Sind bei einer Diagonalmatrix zusätzlich alle ai = 1, dann spricht man von einer Einheitsmatrix.

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12
Q

Rechenregeln mit Matrizen: Skalarmultiplikation

A

Jedes Element der Matrix wird mit a multipliziert.

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13
Q

Rechenregeln mit Matrizen: Matrizenaddition

A

Die Elemente der Matrizen werden paarweise addiert.

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14
Q

Rechenregeln mit Matrizen: Transposition

A

Zeilen und Spalten werden vertauscht, d.h. die erste Zeile wird zu ersten Spalte, die zweite Zeile wird zur zweiten Spalte usw.

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15
Q

Rechenregeln mit Matrizen: Matrizenmultiplikation

A

Das Produkt zweier Matrizen ist wieder eine Matrix, deren Elemente die Skalarprodukte der Zeilen der ersten und der Spalten der zweiten Matrix sind.
Die Rechenregel lautet dabei also in etwas „Zeile mal Spalte“. Dabei ist die Matrizenmultiplikation nur dann möglich, wenn die Matrix X genauso viele Spalten besitzt, wie die Matrix Y Zeilen. Weiterhin gilt, dass das Ergebnis des Produkts einer (n x q)-Matrix mit einer (q x m)-Matrix eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten ergibt ( (n x q ) * (q x m) = (n x m)). Daruas folgt, dass die Matrizenmultiplikation, so wie sie definiert ist, nicht kommutativ ist, d.h. die beiden Matrizen nicht „ihre Reihenfolgen tauschen können“ (wie es bei der normalen Multiplikation möglich ist).

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16
Q

Rechenregeln mit Matrizen: Matrixinversion

A

Die oben kurz er erwähnte Einheitsmatrix spielt schließlich eine sehr wichtige Rolle für die Inverse einer Matrix. Sei nun A eine quadratische Matrix. Die Inverse zu A ist diejenige Matrix A-1, für die gilt:
A * A-1 = A-1 * A = I

17
Q

Rechenregeln mit Matrizen: Was passiert, wenn man eine Matrix mit ihrer Inversen multipliziert?

A

Das heißt, multipliziert man eine Matrix mit ihrer Inversen, ergibt sich die Einheitsmatrix. Dabei besitzt eine quadratische Matrix A nur dann eine Inverse, wenn ihre Spalten- 8oder auch Zeilenvektoren) linear unabhängig sind. Man sagt dann, die Matrix sei von vollem Rang. Eine Möglichkeit die Inverse einer Matrix zu bestimmen ist das Gauß-Jordan-Verfahren.

18
Q

Das Allgemeine Lineare Modell: Schritte von der Regression zu Allgemeinen linearen Modell

A

Muss ich auf Lerzetteln lernen

19
Q

Wann ist die Inverse einer Matrix nicht bestimmbar? Was ist der Rang der Matrix?

A
  1. Wenn die Matrix nicht quadratisch ist
  2. Wenn die Matrix nicht von vollen Rang ist, d.h. Der Rang
    einer Matrix ist die Maximalzahl der linear unabhängigen Spalten- bzw. Zeilenvektoren. Wenn wir in einer Matrix linear abhängige Vektoren besitzen, ist die Matrix nicht von vollem Rang und die Inverse ist nicht bestimmbar. Den Rang einer Matrix können wir bestimmen mit:
    library(pracma)
    Rank(mat)
20
Q

Wie kann ich umrechnen, wenn ich die Steigung einer logistische Regression in logit bekomme und welchen odds bei X = a, wie groß die Wahrscheinlichkeit bei X = x ist?

A
  1. Da e^b ja angibt, um wie viel die Odds eines Erfolges verändert werden, wenn der Prädiktor um den Wert 1 erhöht wird. können wir so oft rechnen odds von a * e^b, wie sich a und x unterscheiden. ( wenn sie sich z.B.: um 3 Einheiten unterscheiden würden wir odds von a * e^b * e^b * e^b rechnen)
  2. dann können wir odds noch in Wahrscheinlichkeiten umrechnen
21
Q

Das Produkt einer (quadratischen Matrix) von vollen Rand und ihrer Inverse ergibt?

A

Eine quadratische Matrix