Matte 3 Flashcards
Derivera
f(x) = e^x …
f’(x) = e^x
Derivera
f(x) = x^n …
f’(x) = n x^n-1
Derivera
f(x) = e^kx …
f’(x) = k e^kx
Derivera
f(x) = a^x …
f’(x) = ln a✖a^x
Derivera
f(x) = a^kx …
f’(x) = k ln a✖a^kx
Hur uttalas f’(x)❓
Derivatan
f’(x)
uttalas ‘f prim av x’❗
Hur uttalas f”(x)❓
Andraderivatan
f”(x)
uttalas “f biss av x”❗
Vad gäller för en kontinuerlig & deriverbar funktion om
f’(x) >= 0
Om f’(x) >= 0
så är funktionen växande.
Vad gäller för en kontinuerlig och deriverbar funktion om
f’(x) < = 0
Om f’(x) < = 0
Så är funktionen avtagande.
Lokala extrempunkter
Definition…
Definition:
Lokala extrempunkter
Sats…
Sats: f’(
Man kan förlänga ena bråket för att få samma nämnare i alla bråk -eftersom det bråk som förlängs fortfarande har samma värde;
1/2= 0,5 , 2/4= 0,5 osv.
När man har samma nämnare kan man sedan addera eller subtrahera de olika bråken i bråktalet.
Sammanfattning3⃣
Växande funktion…
En funktion är växande i ett intervall om f’(x) >= 0 i intervallet.
Sammanfattning3⃣
Avtagande funktion…
En funktion är avtagande i ett intervall om f’(x) < = 0 i intervallet.
Sammanfattning3⃣
Lokal extrempunkt…
Lokal extrempunkt är antingen en maximipunkt eller minimipunkt.
Sammanfattning3⃣
Lokal maximipunkt…
Lokal maximipunkt.
f har ett lokalt maximum
Sammanfattning3⃣
Lokal minimipunkt…
Lokal minimipunkt.
f har ett lokalt minimum
Sammanfattning3⃣
Terasspunkt…
Terasspunkt.
I en sådan är f’(x) = 0 och derivatan har teckenväxlingen ➖0➖ eller ➕0➕.
Sammanfattning3⃣
Global extrempunkt…
Global extrempunkt. En funktion antar sitt största respektive minsta värde i de globala extrempunkterna.
En global extrempunkt är också en lokal extrempunkt.
Sammanfattning3⃣
f”(x) = …
f”(x) …
Andraderivata. Derivatan av första derivatan f’(x) .
Olika beteckningar är t.ex. f”(x) , y”
d^2 y och --------
dx^2 .
Sammanfattning3⃣
Extrempunktsbestämning med andraderivata…
Extrempunktsbestämning med andraderivata.
Förstaderivatans nollställen är t.ex. x = a.
f”(a) > 0 ➡ minimipunkt för x = a.
f”(a) < 0 ➡ maximipunkt för x = a.
f”(a) = 0 ➡ INGEN SLUTSATS kan dras om förekomst eller typ av extrempunkt.
Sammanfattning3⃣
Konkavitet och konvexitet…
Konkavitet och konvexitet. Hur en graf buktar.
\
Sammanfattning3⃣
Inflexionspunkt…
Inflexionspunkt. En punkt där en kurva ändras från konvex till konkav eller tvärtom. f”(x) = 0 i en inflexionspunkt.
Sammanfattning3⃣
Naturlig logaritm (ln)…
LN = ln Naturlig logaritm (ln). Om e^x = y så är x = ln y , y > 0. För alla positiva tal y gäller y = e ^lnY
Sammanfattning3⃣
Logaritmlagar för naturliga logaritmer…
Logaritmlagar för naturliga logaritmer.
För positiva tal a och b gäller:
1⃣ ln 1 = 0
1 2⃣ ln ----- = ➖ln a
a
3⃣ ln ab = ln a ➕ln b
a 4⃣ ln ----- = ln a ➖ln b
b
5⃣ ln a^k = k • ln a
Sammanfattning3⃣
Exponentialekvationer med basen e…
Exponentialekvarioner med basen e.
Löses algebraiskt med hjälp av naturlig logaritmer.
Ex:
e^x = 5
x = ln 5
x “ungefär likamed” 1,6
Sammanfattning3⃣
Logaritmekvationer…
Logaritmekvationer löses algebraiskt genom att man låter båda leden i ekvationen få samma bas.
Ex:
ln x = 3,8
e ^lnX = e ^3,8
x = e ^3,8
x “ungefär likamed” 45
Sammanfattning3⃣
Derivata av exponentialfunktioner…
Derivata av exponentialfunktioner
f(x) = C • e ^kx f'(x) = C • k • e ^kx
f(x) = C • a ^kx f'(x) = C • k • ln a • a ^kx
Lo
Linjär Optimering#⃣
Grafisk lösning av linjära optimeringsproblem med två okända variabler…
Målfunktion = m
Bestäm det optimala värdet som målfunktionen m=… antar i det område som definieras av
olikhets-systemet {… … … …
Lösning: Det område som begränsas av de fyra olikheterna samt bestämmer den inslutna polygonens hörn#⃣
Vi kan då vi dragit olika linjer - se att då m växer parallellförskjuts linjen uppåt - och tvärtom. Vi kan av detta dra slutsatsen att vår målfunktion m=… får sitt största och minsta värde när linjen: -“m=…” lämnar polygonområdet.
Detta resultat gäller generellt och vi konstaterar att målfunktionen antar sitt största och sitt minsta värde i något (några) av polygonens hörn.
Genom att beräkna målfunktionens värde i polygonens alla hörn och sedan jämföra dessa värden kan vi se vilket värde som är störst eller minst #⃣det optimala värdet.
Lo
Linjär Optimering#⃣
Hur utför man bestämningen av ett linjärt uttryck (en målfunktion)
m = ax➕by➕c
där punkterna (x,y) tillhör ett polygonområde❓
Att bestämma största och minsta värde av ett linjärt uttryck
(en målfunktion)
m= ax➕by➕c där punkterna (x,y) tillhör ett polygonområde kan utföras på följande sätt:
1⃣ Åskådliggör området i ett koordinatsystem.
2⃣ Bestäm koordinaterna för områdets hörn.
3⃣ Beräkna målfunktionens värde för hörnens koordinater.
4⃣ Det största eller minsta värdet av dessa värden är målfunktionens största respektive minsta värde i polygonområdet.
Vad är ramsan för tangenten & derivatan?
Kurvans lutning är = Tangentens lutning som är = Derivatans värde !
Vad innebär Sekanten…
Sekanten är ändringskvoten
medellutning (medelhastighet) för kurvan mellan sekantens två punkter
