Matte 3

Question 0

Derivera

f(x) = e^x …

Answer 0

f’(x) = e^x

Question 1

Derivera

f(x) = x^n …

Answer 1

f’(x) = n x^n-1

Question 2

Derivera

f(x) = e^kx …

Answer 2

f’(x) = k e^kx

Question 3

Derivera

f(x) = a^x …

Answer 3

f’(x) = ln a✖a^x

Question 4

Derivera

f(x) = a^kx …

Answer 4

f’(x) = k ln a✖a^kx

Question 5

Hur uttalas f’(x)❓

Answer 5

Derivatan
f’(x)
uttalas ‘f prim av x’❗

Question 6

Hur uttalas f”(x)❓

Answer 6

Andraderivatan
f”(x)
uttalas “f biss av x”❗

Question 7

Vad gäller för en kontinuerlig & deriverbar funktion om

f’(x) >= 0

Answer 7

Om f’(x) >= 0

så är funktionen växande.

Question 8

Vad gäller för en kontinuerlig och deriverbar funktion om

f’(x) < = 0

Answer 8

Om f’(x) < = 0

Så är funktionen avtagande.

Question 9

Lokala extrempunkter

Definition…

Answer 9

Definition:

Question 10

Lokala extrempunkter

Sats…

Answer 10

Sats: f’(

Answer 11

Man kan förlänga ena bråket för att få samma nämnare i alla bråk -eftersom det bråk som förlängs fortfarande har samma värde;
1/2= 0,5 , 2/4= 0,5 osv.

När man har samma nämnare kan man sedan addera eller subtrahera de olika bråken i bråktalet.

Question 12

Sammanfattning3⃣

Växande funktion…

Answer 12

En funktion är växande i ett intervall om f’(x) >= 0 i intervallet.

Question 13

Sammanfattning3⃣

Avtagande funktion…

Answer 13

En funktion är avtagande i ett intervall om f’(x) < = 0 i intervallet.

Question 14

Sammanfattning3⃣

Lokal extrempunkt…

Answer 14

Lokal extrempunkt är antingen en maximipunkt eller minimipunkt.

Question 15

Sammanfattning3⃣

Lokal maximipunkt…

Answer 15

Lokal maximipunkt.

f har ett lokalt maximum

Question 16

Sammanfattning3⃣

Lokal minimipunkt…

Answer 16

Lokal minimipunkt.

f har ett lokalt minimum

Question 17

Sammanfattning3⃣

Terasspunkt…

Answer 17

Terasspunkt.

I en sådan är f’(x) = 0 och derivatan har teckenväxlingen ➖0➖ eller ➕0➕.

Question 18

Sammanfattning3⃣

Global extrempunkt…

Answer 18

Global extrempunkt. En funktion antar sitt största respektive minsta värde i de globala extrempunkterna.
En global extrempunkt är också en lokal extrempunkt.

Question 19

Sammanfattning3⃣

f”(x) = …

Answer 19

f”(x) …
Andraderivata. Derivatan av första derivatan f’(x) .

Olika beteckningar är t.ex. f”(x) , y”

     d^2  y och  --------
     dx^2     .

Question 20

Sammanfattning3⃣

Extrempunktsbestämning med andraderivata…

Answer 20

Extrempunktsbestämning med andraderivata.

Förstaderivatans nollställen är t.ex. x = a.

f”(a) > 0 ➡ minimipunkt för x = a.

f”(a) < 0 ➡ maximipunkt för x = a.

f”(a) = 0 ➡ INGEN SLUTSATS kan dras om förekomst eller typ av extrempunkt.

Question 21

Sammanfattning3⃣

Konkavitet och konvexitet…

Answer 21

Konkavitet och konvexitet. Hur en graf buktar.

                         \

Question 22

Sammanfattning3⃣

Inflexionspunkt…

Answer 22

Inflexionspunkt. En punkt där en kurva ändras från konvex till konkav eller tvärtom. f”(x) = 0 i en inflexionspunkt.

Question 23

Sammanfattning3⃣

Naturlig logaritm (ln)…

Answer 23

LN = ln
Naturlig logaritm (ln). Om e^x = y
så är  x = ln y  ,  y > 0.
För alla positiva tal y gäller 
y = e ^lnY

Question 24

Sammanfattning3⃣

Logaritmlagar för naturliga logaritmer…

Answer 24

Logaritmlagar för naturliga logaritmer.
För positiva tal a och b gäller:

1⃣ ln 1 = 0

        1 2⃣ ln ----- = ➖ln a
        a

3⃣ ln ab = ln a ➕ln b

        a 4⃣ ln ----- = ln a ➖ln b
        b

5⃣ ln a^k = k • ln a

Question 25

Sammanfattning3⃣

Exponentialekvationer med basen e…

Answer 25

Exponentialekvarioner med basen e.
Löses algebraiskt med hjälp av naturlig logaritmer.

Ex:

e^x = 5
x = ln 5
x “ungefär likamed” 1,6

Question 26

Sammanfattning3⃣

Logaritmekvationer…

Answer 26

Logaritmekvationer löses algebraiskt genom att man låter båda leden i ekvationen få samma bas.

Ex:

ln x = 3,8

e ^lnX = e ^3,8

x = e ^3,8

x “ungefär likamed” 45

Question 27

Sammanfattning3⃣

Derivata av exponentialfunktioner…

Answer 27

Derivata av exponentialfunktioner

f(x) = C  •  e ^kx
f'(x) = C  •  k  •  e ^kx

f(x) = C  •  a ^kx
f'(x) = C  •  k  •  ln a  •  a ^kx

Question 28

Lo
Linjär Optimering#⃣

Grafisk lösning av linjära optimeringsproblem med två okända variabler…

Answer 28

Målfunktion = m

Bestäm det optimala värdet som målfunktionen m=… antar i det område som definieras av
olikhets-systemet {… … … …

Lösning: Det område som begränsas av de fyra olikheterna samt bestämmer den inslutna polygonens hörn#⃣

Vi kan då vi dragit olika linjer - se att då m växer parallellförskjuts linjen uppåt - och tvärtom. Vi kan av detta dra slutsatsen att vår målfunktion m=… får sitt största och minsta värde när linjen: -“m=…” lämnar polygonområdet.

Detta resultat gäller generellt och vi konstaterar att målfunktionen antar sitt största och sitt minsta värde i något (några) av polygonens hörn.

Genom att beräkna målfunktionens värde i polygonens alla hörn och sedan jämföra dessa värden kan vi se vilket värde som är störst eller minst #⃣det optimala värdet.

Question 29

Lo
Linjär Optimering#⃣

Hur utför man bestämningen av ett linjärt uttryck (en målfunktion)
m = ax➕by➕c
där punkterna (x,y) tillhör ett polygonområde❓

Answer 29

Att bestämma största och minsta värde av ett linjärt uttryck
(en målfunktion)
m= ax➕by➕c där punkterna (x,y) tillhör ett polygonområde kan utföras på följande sätt:

1⃣ Åskådliggör området i ett koordinatsystem.
2⃣ Bestäm koordinaterna för områdets hörn.
3⃣ Beräkna målfunktionens värde för hörnens koordinater.
4⃣ Det största eller minsta värdet av dessa värden är målfunktionens största respektive minsta värde i polygonområdet.

Question 32

Vad är ramsan för tangenten & derivatan?

Answer 32

Kurvans lutning 
är =
Tangentens lutning
som är =
Derivatans värde !

Question 33

Vad innebär Sekanten…

Answer 33

Sekanten är ändringskvoten

medellutning (medelhastighet) för kurvan mellan sekantens två punkter