Ma3 primit.F. & enkla integraler

Question 0

Vad är den primitiva funktionen till

f(x) = k ❓

Answer 0

Primitiv funktion till k är

F(x) = kx + C

Question 1

Primitiv Funktion …❗…

Answer 1

En funktion F kallas för en primitiv funktion till f om F’(x) = f(x)

Question 2

Vad är den primitiva funktionen till

x^n …
,n får inte vara likamed -1
❓

Answer 2

Primitiv funktion till x^n är

        x ^n+1 F(x) = ---------- + C
          n+1

{då n inte är likamed -1)!

Question 3

Vad är den primitiva funktionen till

e ^kx ❓

Answer 3

Primitiva funktionen till e ^kx är

       e ^kx F(x) = -------- + C 
          k

,k “ej likamed” 0 ❗

Question 4

Vad är den primitiva funktionen till

a ^kx ❓

Answer 4

Primitiva funktionen till a ^kx är

       a ^kx F(x) = -------- + C
       k ln a

,k “ej likamed” 0❗

Question 5

Vilken är skillnaden mellan obestämd och bestämd integral ❓

Answer 5

Den obestämda integralen

Question 6

Beräkning av bestämd integral❓

Answer 6

b b

Question 7

Cantralt innehåll 4⃣

Sid❓

Answer 7

Sid 165❗

♦Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata.

♦ Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena.

Question 8

Inledning 4⃣

Sid❓

Answer 8

Sid 165❗

Tidigare har du startat med en känd funktion & bestämt dess derivata för att få information om funktionens beteende.

I många tillämpningar inom både naturvetenskap & samhällsvetenskap gäller det omvända, derivatan är given och man vill bestämma funktionen. Tex hastigheten för ett föremål är känd och man vill veta vilken sträcka föremålet rör sig på en viss tid,
eller hastigheten med vilken en population ökar är känd & man vill bestämma populationens storlek i framtiden.

Question 9

4⃣… en av matematikens förgrundsgestalter…

Sid❓

Answer 9

Sid 165❗

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) är en av matematikens förgrundsgestalter. Oberoende av varandra men ungefär samtidigt definierade Leibniz & Newton derivering och integrering av kontinuerliga funktioner. Under 1700-talet utvecklades integralkalkylen & tillämpades på många olika fenomen.

Men det var först under 1800-talet som de grundläggande begreppen fick helt strikta definitioner. Ordet integral infördes av Johann Bernoulli (1667-1748) som var professor i Basel.

Question 10

4⃣.1 + ex.

Sid❓

Answer 10

Sid 166❗

Att bestämma funktionen då derivatan är känd är att tänka deriveringsregeln baklänges,
dvs att ställa frågan “Vilken funktion har dennaderivata?” Att bestämma den funktionen kallas att bestämma den primitiva funktionen.

Question 11

Primitiva funktioner med villkor

Sid❓

Answer 11

Sid 171❗

Av alla oändligt många primitiva funktioner kan vi bestämma en speciell om vi har ett villkor för den primitiva funktionen.

Question 12

Läs Integraler

Sid❓

Answer 12

Sid 173-175

Question 13

Läs om
samband mellan integral och derivata

Sid❓

Answer 13

Sid 177-179❗

Question 14

Läs… & Lös
Naturvetenskapliga tillämpningar

Sid❓

Answer 14

Sid 180, 181-182❗

Question 15

Läs
Sammanfattning

Sid❓

Answer 15

Sid 187❗

Question 16

4⃣002 a)

f(x) = x ^{-5)

f(x) = x ^{-n)

Answer 16

Svar:

        x ^{-4) F(x) = ---------- + C
            4

        x ^{-n) F(x) = ---------- + C
            n

Question 17

4⃣002 b)

         1 f(x) = --------
       x ^2

Answer 17

1

Question 18

4⃣002 d)

f(x) = 0

Answer 18

F(x) = C

För att{ 0/0 = 0 & 0 + C = C ).

Question 19

4⃣003)
Vilka funktioner har derivatan❓

a) f(x) = 2x
b) f(x) = 5 x^4
c) f(x) = 1
d) f(x) = 3 x^2 ❓

Answer 19

4⃣003)

a) F(x) = x^2 + C
b) F(x) = x^5 + C
c) F(x) = x + C
d) F(x) = x^3 + C ❗

Question 20

4⃣005 a) Bestäm samtliga primitiva funktioner till:

f(x) = 2 x^3 ➕x➕5

Answer 20

x^4 x^2
F(x) = —— + —— +…
2 2

…+ 5x + C ❗

Question 21

4⃣013 a) Bestäm samtliga F(x) till:

f(x) = 3 e^x

Answer 21

F(x) = 3 e^x➕C

Question 22

4⃣014 b)
Bestäm en
primitiv funktion till:

f(x) = 2x - 8^x

Answer 22

2 x^2 8^x
F(x) = ——- ➖ ——-
2 Ln 8

förenkla ger…

                          8^x tex. F(x) = x^2 ➖------- ❗
                          Ln 8

Question 23

4⃣015 a) Vilken funktion har derivatan…

f(x) = e^3 ❓

Answer 23

[ f(x)➡ f’(x) &…
… F(x)➡ f(x) ]

F(x) = e^3 x ➕C ❗

Question 24

4⃣016 a)

f(x) = 3 e^2x + 5x

Answer 24

3
F(x) = — e^2x +…
2

      5   ... +  ---- x^2 ➕C ❗
      2

Question 25

4⃣016 c)

       2 f(x) = ------➖2
      e^x

Answer 25

2
F(x) = ➖—– ➖2x➕C
e^x

Question 26

sid 167 ex;c)
Bestäm primitiva funktionen till:

        3 f(x) = ------ =
      x^5

Answer 26

3
vi skriver f(x) = ——
x^5

som f(x) = 3 x^➖5

vi ska höja exponenten ➖5 med 1 (n➕1), = ➖4.

vi söker F(x) =

Question 27

Bestäm F(x) om:

f(x) = 0

Answer 27

då 0 • x = 0
så är primitiva funktionen 0➕C.
Alltså finns bara konstanten C.
Så:

F(x) = C❗

Question 28

4004 c) Bestäm samtliga F(x) till:

        x^3 f(x) = --------
          4

Answer 28

f(x) = x^n , (n “ej =” ➖1)

       x^n           x^3 f(x) = -------  =  ---------

Question 29

4005 a) Skriv samtliga primitiva funktioner till:

f(x) = 2 x^3 + x + 5

Answer 29

x^4 x^2
F(x) = 2 ——➕——➕5x …
4 2

Förenkla: 4/2=2

      x^4       x^2 F(x)= ------➕------➕5x➕C
        2           2