Matrice Flashcards
Realna matrica
A tipa (formata) (m, n) je funkcija A : M × N → R pri čemu se funkcijska vrijednost A(i, j)
označava s aij i smješta u i-ti redak i j-ti stupac tablice s m redova i n stupaca.
Definicija jednakost dvije matrice
Za matrice A = [aij ] tipa (m, n) i B = [bij ] tipa (p, q) kažemo da su jednake i pišemo A = B ako vrijedi
m = p, n = q
aij = bij ∀ij
Definicija kvadratne matrice
Kvadratna matrica reda n je matrica tipa (n, n). Dakle, to je matrica koja ima jednak broj redaka i
stupaca.
Dijagonalna matrica je
kvadratna matrica čiji su elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0, tj. aij = 0
za i = j
Gornje trokutasta matrica je
kvadratna matrica kojoj su elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0, tj.
aij = 0 za i > j.
Donje trokutasta matrica je
kvadratna matrica kojoj su elementi iznad glavne dijagonale jednaki 0, tj.
aij = 0 za i < j
Jedinična matrica je
Dijagonalna matrica kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1
jednoredna matrica
je matrica tipa (1, n), tj. to je matrica koja ima samo jedan redak
Jednostupčana matrica
je matrica tipa (m, 1), tj. to je matrica koja ima samo jedan stupac.
Nulmatrica je
matrica ciji su svi elementi jednaki 0
Antisimetricna matrica
Je kvadratna matrica A=[aij] ako vrijedi aij=-aij, ∀i, j
Transponirana matrica je
matrica A tipa(m,n) je matrica A^T tipa(n,m) za koju vrijedi
[A^T]ij = [A]ji
Kako se dobija transponirana matrica?
Transponirana matrica se dobije tako da se svi njezini redovi napišu u stupce
Kako množimo matricu?
Matricu množimo brojem tako da svaki element matrice pomnožimo tim brojem i dobivamo matricu istog tipa kojeg je bila i početna matrica
Transponiranje matrice je kakva operacija na matricama?
Unarna
Definicija ulančanih matrica
Kazemo da je matrica A ulancana s matricom B ako matrica B ima onoliko redaka
koliko matrica A ima stupaca, tj. ako je A tipa (m, n), a B tipa (n, p).
Definicija množenja matrice skalarom
Neka je A = [aij ] ∈ Mmn i k ∈ R. Produkt matrice A i realnog broja k je matrica
C = [cij ] ∈ Mmn takva da je
cij = k aij , ∀i, j.
Pisemo: C = kA.
Definicija oduzimanja matrice
dvije matrice istog tipa oduzimamo tako da im oduzmemo
odgovarajuce elemente i kao rezultat dobijemo opet matricu istog tipa kojeg su bile i
pocetne matrice.
Dakle, ako je A = [aij ] i B = [bij ], tada je
A − B = [aij − bij ].
Za matrice A,B I C tipa (m,n) vrijedi:
- Komutativnost zbrajanja matrica: A + B = B + A
- Asocijativnost zbrajanja matrica: (A + B) + C = A + (B + C)
- Postoji neutralni element: nulmatrica tipa (m, n) A + O = O + A = A
Svojstva mnozenja matrica
asocijativnost: A(BC) = (AB)C
desna distributivnost: (A + B)C = AC + BC
lijeva distributivnost: A(B + C) = AB + AC
kvaziasocijativnost: k(AB) = (kA)B = A(kB)
AI = IA = A, gdje je A kvadratna matrica
(AB)^T = B^T A^T
Definicija kofaktora
Kofaktor ili algebarski komplement elementa aij je broj
Aij = (−1)i+jMij
Kako znamo da li je permutacija p parna ili neparna?
Za permutaciju p kaˇzemo da je parna ako je sign(p) = 1.
Za permutaciju p kaˇzemo da je neparna ako je sign(p) = −1.
Definicija minore
Neka je A kvadratna matrica n-tog reda. Minora Mij elementa aij je determinanta
submatrice matrice A koja sadrzi elemente koji preostanu nakon sto se uklone i-ti
redak i j-ti stupac matrice A.
Permutacija skupa je
svaka bijekcija na skupu A. Svaka permutacija konacnog
skupa moze se prikazati na sljedeci nacin:
p = ( 1 2 · · · n)
(p(1) p(2) · · · p(n))
