Matemática para Computação

Question 1

Histórico:

Answer 1

• Cálculo ou Matemática das Variações.
• Descoberta do Cálculo (séc. XVII):
• Isaac Newton (1942-1727), Inglaterra.
• Gottfried W. Leibniz (1646-1716), Alemanha.

Question 2

Motivações:

Answer 2

• Reta tangente a uma curva;
• Área de uma região genérica;
• Máximos e Mínimos;
• Deslocamento, velocidade e aceleração.

Question 3

Aplicações Modernas:

Answer 3

• Impressões digitais;
• Música;
• Ruídos em dados;
• Fluxo de ar em torno de automóveis ou aviões;
• Previsão do tempo.

Question 4

Processos infinitos:

Answer 4

• Alguns processos não podem ser terminados após um número finito de passos.

Question 5

Funções de uma Variável:

Answer 5

• Em quase todo tipo de atividade humana, encontramos dois tipos de Variáveis: aquelas as quais podemos controlar diretamente e as que não podemos.
• Felizemente, as variáveis que são podemos controlar diretamente, respondem frequentemente de alguma forma às que não podemos. Por exemplo, a aceleração de um carro responde à forma pela qual controlamos o fluxo de gasolina para o motor, a taxa de inflação de uma economia responde à forma pela qual o governo controla a oferta de dinheiro e o nível de um antibiótico na corrente sanguínea de uma pessoa responde à dosagem e à escolha do momento oportuno de uma receita de um médico.
• Ao entender quantitativamente como as variáveis as quais não podemos controlar diretamente respondem àquelas que podemos, é possível esperarmos por predições sobre nosso ambiente e ganhar algum domínio sobre ele.

Question 6

Um dos temas importantes em Cálculo é a análise das relações entre as quantidades físicas ou matemáticas. Tais relações podem ser descritas em termos de gráficos, de fórmulas, de dados numéricos ou de palavras.

Answer 6

Nesta aula, vamos desenvolver o conceito de função de uma variável, que é a idéia básica subjacente a quase todas relações matemáticas e físicas, não importando como elas são empressas.

Question 7

Exemplo:

Answer 7

Se uma variável y depende uma variável x, de forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x.

Denotando-se por x o raio de um circulo e por y a área deste círculo, então y depende de x de um modo bem definido, ou seja:

y- πx^2

Por conseguinte, diz-se que a área de um círculo é função de seu raio.

Question 8

Notação e Terminologia utilizadas no contexto das funções:

Answer 8

1) As letras (minúsculas e maiúsculas) do alfabeto (latino e, também, do grego) são utilizadas para simbolizar as funções. As mais usadas, do alfabeto latino, são f, g, h (ou F, G, H).
2) Se f é uma função, representa-se o valor de y que corresponde a x como f(x) (lê-se “f de x”), ou seja y=f(x).
3) A equação y=f(x) expressa y como função de x. A variável x é chamada independente (ou argumento) de f, e a variável y é chamada de variável dependente de f.

Question 9

4) Denomina-se função real de uma variável real ou função de uma variável real a valores reais as funções com um argumento nas quais as variáveis dependente e independente são números reais.

Answer 9

5) se y=f(x), então o conjunto de todos os possíveis valores da variável x é chamado domínio de f, e o conjunto de todos possíveis valores de y (os quais resultam da variação de x no domínio de f) é chamado de imagem de f.

Question 10

6) Se f é uma função real de uma variável real, então o gráfico de f no plano xy é definido como sendo o conjunto de pontos (x,y) do plano que verificam a equação y=f(x).

Answer 10

Observações:

• As funções reais de uma variável real.
• São funções diferentes (mesmo tendo a mesma Lei ou fórmula) pois os domínios são diferentes.
• Para definirmos uma função além de especificarmos a lei (a qual relaciona a variável dependente com a independente) é necessário indicar, também, qual é o domínio (ou, alternativa, a imagem).

Question 11

Álbegra de Funções:

Answer 11

Sejam f e g funções reais de uma variável real cujos domínio tem uma interseção não-vazia. As funções reais de uma variável real simbolizadas por f+g, f-g, fg e f/g são definidas pelas equações:
(f+g)(x):=f(x) + g(x)
(f-g)(x):-f(x) -g(x)
(fg)(x):=f(x)g(x)
(f/g)(x):=f(x) / g(x)

Em cada caso, o domínio da função definida consiste de todos os valores de x da interseção dos domínios de f e g, exceto que para a função f/g os valores para os quais g(x)=0 serão excluídos.

Question 12

Álgebra de funções:

Answer 12

Considere as funções:

f(x)=x^2+3 e g(x)=2x-1

Determine a lei e o domínio das funções: f+g, f-g, fg ef/g.

D(f) = D(g) = R

1) (f+g)(x):=f(x)+g(x)=(x^2+3)+(2x-1)=x^2+2x+2 e D(f+g)=R
2) (f-g)(x):=f(x)-g(x)=(x^2+3)-(2x-1)=x^2-2x+4 e D(f-g)=R
3) (fg)(x):=f(x)g(x)=(x^2+3)(2x-1)=2x^3-x^2+6x-3 e D(fg)=R
4) (f/g)(x):=f(x)/g(x)= x^2+3/2x-1 e D(f/G0= R- {1/2}