Fundamentos de Algoritmos para Computação

Question 1

Tema: Conjuntos

Answer 1

• Conceitos;
• Diagramas de Venn e Operações;
• Número de Elementos de um conjunto.

Question 2

Objetivos:

Answer 2

• Familiarizar-se com a linguagem de conjuntos.

- Melhorar o raciocínio lógico.

Question 3

Importância:

Answer 3

• Fornece uma linguagem e ferramentas básicas que nos ajudam no raciocínio tanto na vida cotidiana como na manipualção de outros tópicos matemáticos.

Question 4

Aula 01: Conceitos

Answer 4

Conteúdo:

• Introdução;
• Noção Intuitiva;
• Notação;
• Relação de pertinência;
• Definição;
• Descrição;
• Formalização;
• Conjunto Vazio;
• Relações entre conjuntos;
• Conjunto em partes.

Question 5

Introdução: Encontrar uma estrutura comum a:

Answer 5

• Uma equipe de futebol;
• Um rebanho de ovelhas;
• Uma biblioteca.

Question 6

Formação de estrutura comum:

Answer 6

• Uma equipe de futebol é contituída por um grupo de jogadores;
• Um rebanho de ovelhas é formado por uma reunião de ovelhas.
• Uma biblioteca está formada por uma coleção de livros.

Question 7

Formação de estrutura comum:

Answer 7

• Uma equipe de futebol é constituída por uma coleção de jogadores;
• Um rebanho de ovelhas é formado por uma coleção de ovelhas;
• uma biblioteca está formada por uma coleção de livros.

Question 8

Noção intuitiva:

Answer 8

• Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos.

Exemplos:

• Uma equipe de futebol é um conjunto de jogadores {os elementos são os jogadores}.
• Um rebanho de ovelhas é um conjunto de ovelhas {os elementos são as ovelhas}.
• Uma biblitoteca é um conjunto de livros {os elementos são os livros}.

Question 9

Notação de Conjuntos:

Answer 9

• Letras maiúsculas são usadas para denotar conjuntos.
  Exemplo: Seu conjunto pode chamar-se A e o meu B.
• Letras minúsculas são usadas para descrever os elementos de um conjunto.
  Exemplo: Os elementos do meu conjunto B podem ser denominados por m, t, c, v.

Question 10

Descrição de um conjunto:

Answer 10

• O simbolo { indica o início da descrição de um conjunto.
• O simbolo } indica o fim da descrição de um conjunto.

Exemplo: B = {m,t,v,c,v}

Question 11

Relação de pertinência:

Answer 11

• Noção intuitiva:
  Seja B={m,t,v,c}
• O elemento t está no conjunto B.
• O elemento r não está em B.

Question 12

Definição de pertinência:

Answer 12

• x pertence a um conjunto X se x é um elemento de X.

Notação: x ∈ X

Exemplo:
B={m,t,c,v}
t pertence a B, t ∈ B
r não pertence a B, r ∉ B

Question 13

Exemplo 1:

Answer 13

- N = conjunto dos números naturais
N = {1,2,3,...}
10598 ∈ N
-1 ∉ N
1/5 ∉ N
2.5 ∉ N

Question 14

Exemplo 2:

Answer 14

• C = conjunto das pessoas que são altas.

Você pertence a C?

• Se você mede 1,95 metros, está claro qeu você perte a C.
• Se você mede 1,50, está claro que você não pertence a C.
• Se você mede 1,75 metros, você está em C ou não?

Conclusão: Esta coleção não está bem definida.

Question 15

Modificação do Exemplo:

Answer 15

• C = conjunto das pessoas que têm mais de 1,75 metros.

Conclusão: Esta coleção está bem definida.

Question 16

Definição de Conjunto:

Answer 16

• Um conjunto é uma coleção Bem Definida de objetos, chamados elementos.

Isto é, SEMPRE podemos decidir quando um objeto está ou não no conjunto.

Question 17

Exemplos de Conjunto:

Answer 17

• O conjunto de números naturais que são pares;
• O conjunto dos meses do ano que têm exatamento 30 dias;
• O conjunto dos meses do ano que têm pelo menos 30 dias.

Question 18

Representação explícita:

Answer 18

• Enumeração dos elementos do conjunto.

Exemplo: B = {m,t,c,v} N = {1,2,3,…}

Question 19

Representação implícita:

Answer 19

• Indicação da propriedade que caracteriza os elementos.

Exemplo: C = conjunto das pessoas que têm mais de 1,75 metros de altura.

ou

C stá contituído por elementos (pessoas) x tal que a altura de x é maior que 1,75 metros.

Levando a idéia da notação matemática:

C= {x | altura de x > 1,75 metros}

Question 20

Formalização:

Answer 20

• C está constituído por elementos (pessoas) x tal que a altura de x é maior que 1,75 metros.

C = {x | altura de x > 1,75 metros}

• Propriedade que caracteriza os elementos de C: P(x): altura de x é maior que 1,75 metros.

C = {x | P(x)}

C está constituído pelos elementos x tal que verifica P(x)

Question 21

Outro exemplo

Answer 21

D = conjunto de números maiores ou iguais a 5.

Representação explícita:
D = {5,6,7,…}

Representação implícita:
D = {x | x ∈ N e x ≥ 5}
P(x)

Question 22

Notação de conjuntos conhecidos:

Answer 22

N = conjunto dos números naturais
N = {1,2,3,4,5,...}

Z = conjunto dos números inteiros
Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}

Q = conjunto dos números racionais
Q = {x | x = p/q,p,q ∈ Z, q ≠ 0}

R = conjunto dos números reais

Question 23

Conjunto especial:

Answer 23

• O conjunto vazio, ∅, é o conjunto que não tem elementos.
• Pode-se falar na repsentação de ∅?

Exemplos:

∅ = {x | x ∊ N, x > e x < 0}
∅ = {x | x ∊ Z, 2x - 1 = 0}

Question 24

Definição de igualdade:

Answer 24

• Os conjuntos A e B são iguais quando têm os mesmos elementos.
• Notação A = B

Question 25

Exemplo:

Answer 25

Sejam A = {1,3,a} C = {1,3,1,a} B = {3,a,1} D = (2,3,a}

Os conjuntos A, B e C são iguais, A = B = C
A é diferente de D, A ≠ D

Question 26

Definição de Igualdade:

Answer 26

• Um conjunto A está contido em um conjunto B se todo elemento de A é elemento de B
• Notação: A ⊆ B

Exemplo 1: N = {1,2,3,4,…}
P = {2,4,6,8,…}
S = {0,1}

P está contido em N, P ⊆ N
S não está contido em N, S ⊆ N

Question 27

Exemplo:

Answer 27

A = {1,3,a}
B = {3,a,1}

A ⊆ B e B ⊆ A

Conclusão: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A

é equivalente

Question 28

Observação:

Answer 28

A ⊆ B

• A está contido em B
• A é subconjunto de B
• B contém A (B⊅ A)

Question 29

Definição de Inclusão estrita:

Answer 29

• A ⊆ B e A ≠ B
• Notação: A ⊂ B (A está contido estritamente em B)

Exemplo 1:

N = {1,2,3,4,...}
P = {2,4,6,8,...}

P ⊆ N, mas 1 ∈ N e 1 ∉ P
N ≠ P

Conclusão: P ⊂ N

Question 30

Definição de Inclusão estrita:

Answer 30

• A ⊆ B e A ≠ B
• Notação: A ⊂ B (A está contido estritamente em B)

Exemplo 1:
N = {1,2,3,4,…}
P = {2,4,6,8,…}

P ⊆ N, mas 1 ∈ N e 1 ∉ P
N ≠ P

Conclusão: P ⊂ N

• Observação:
• Para todo conjunto: ∅ ⊆ A
• Para todo conjunto: A ≠ ∅ : ∅ ⊂ A

Question 31

Conjunto de partes de um conjunto:

Answer 31

• Considere o conjunto A:
• O conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Exemplo:
Seja A = {1,2,3}

Então

P(A) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Question 32

Observação:

Answer 32

• Os elementos de P(A) são conjuntos:

Exemplo:
A = {1,2,3}
P(A) = {∅ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
- {1} ∈ P(A) pois {1} ⊆ {1,2,3}
- 1 ∉ P(A)
- {{1}, {1,2,3}} ⊆  P(A)
- {{1}} ⊆  P(A)
- ∅ ∈ P(A)

Question 33

Resumo:

Answer 33

Conceitos/Notação

• Conjunto: A, B,…
• Elemento: a,b,x,…
• Relação de pertinencia: x ∈ A, (x ∉ A)

- Relações entre conjuntos: 
Igualdade: A = B, (A ≠ B)
Inclusão: A ⊆  B, (A ⊈ B)
Inclusão estrita: A ⊂  B, (A ⊄ B)
Conjuntos especiais: ∅, P(A)

Propriedade: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A