Fundamentos de Algoritmos para Computação Flashcards
Tema: Conjuntos
- Conceitos;
- Diagramas de Venn e Operações;
- Número de Elementos de um conjunto.
Objetivos:
- Familiarizar-se com a linguagem de conjuntos.
- Melhorar o raciocínio lógico.
Importância:
- Fornece uma linguagem e ferramentas básicas que nos ajudam no raciocínio tanto na vida cotidiana como na manipualção de outros tópicos matemáticos.
Aula 01: Conceitos
Conteúdo:
- Introdução;
- Noção Intuitiva;
- Notação;
- Relação de pertinência;
- Definição;
- Descrição;
- Formalização;
- Conjunto Vazio;
- Relações entre conjuntos;
- Conjunto em partes.
Introdução: Encontrar uma estrutura comum a:
- Uma equipe de futebol;
- Um rebanho de ovelhas;
- Uma biblioteca.
Formação de estrutura comum:
- Uma equipe de futebol é contituída por um grupo de jogadores;
- Um rebanho de ovelhas é formado por uma reunião de ovelhas.
- Uma biblioteca está formada por uma coleção de livros.
Formação de estrutura comum:
- Uma equipe de futebol é constituída por uma coleção de jogadores;
- Um rebanho de ovelhas é formado por uma coleção de ovelhas;
- uma biblioteca está formada por uma coleção de livros.
Noção intuitiva:
- Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos.
Exemplos:
- Uma equipe de futebol é um conjunto de jogadores {os elementos são os jogadores}.
- Um rebanho de ovelhas é um conjunto de ovelhas {os elementos são as ovelhas}.
- Uma biblitoteca é um conjunto de livros {os elementos são os livros}.
Notação de Conjuntos:
- Letras maiúsculas são usadas para denotar conjuntos.
Exemplo: Seu conjunto pode chamar-se A e o meu B. - Letras minúsculas são usadas para descrever os elementos de um conjunto.
Exemplo: Os elementos do meu conjunto B podem ser denominados por m, t, c, v.
Descrição de um conjunto:
- O simbolo { indica o início da descrição de um conjunto.
- O simbolo } indica o fim da descrição de um conjunto.
Exemplo: B = {m,t,v,c,v}
Relação de pertinência:
- Noção intuitiva:
Seja B={m,t,v,c} - O elemento t está no conjunto B.
- O elemento r não está em B.
Definição de pertinência:
- x pertence a um conjunto X se x é um elemento de X.
Notação: x ∈ X
Exemplo:
B={m,t,c,v}
t pertence a B, t ∈ B
r não pertence a B, r ∉ B
Exemplo 1:
- N = conjunto dos números naturais
N = {1,2,3,...}
10598 ∈ N
-1 ∉ N
1/5 ∉ N
2.5 ∉ NExemplo 2:
- C = conjunto das pessoas que são altas.
Você pertence a C?
- Se você mede 1,95 metros, está claro qeu você perte a C.
- Se você mede 1,50, está claro que você não pertence a C.
- Se você mede 1,75 metros, você está em C ou não?
Conclusão: Esta coleção não está bem definida.
Modificação do Exemplo:
- C = conjunto das pessoas que têm mais de 1,75 metros.
Conclusão: Esta coleção está bem definida.
Definição de Conjunto:
- Um conjunto é uma coleção Bem Definida de objetos, chamados elementos.
Isto é, SEMPRE podemos decidir quando um objeto está ou não no conjunto.
Exemplos de Conjunto:
- O conjunto de números naturais que são pares;
- O conjunto dos meses do ano que têm exatamento 30 dias;
- O conjunto dos meses do ano que têm pelo menos 30 dias.
Representação explícita:
- Enumeração dos elementos do conjunto.
Exemplo: B = {m,t,c,v} N = {1,2,3,…}
Representação implícita:
- Indicação da propriedade que caracteriza os elementos.
Exemplo: C = conjunto das pessoas que têm mais de 1,75 metros de altura.
ou
C stá contituído por elementos (pessoas) x tal que a altura de x é maior que 1,75 metros.
Levando a idéia da notação matemática:
C= {x | altura de x > 1,75 metros}
Formalização:
- C está constituído por elementos (pessoas) x tal que a altura de x é maior que 1,75 metros.
C = {x | altura de x > 1,75 metros}
- Propriedade que caracteriza os elementos de C: P(x): altura de x é maior que 1,75 metros.
C = {x | P(x)}
C está constituído pelos elementos x tal que verifica P(x)
Outro exemplo
D = conjunto de números maiores ou iguais a 5.
Representação explícita:
D = {5,6,7,…}
Representação implícita:
D = {x | x ∈ N e x ≥ 5}
P(x)
Notação de conjuntos conhecidos:
N = conjunto dos números naturais
N = {1,2,3,4,5,...}
Z = conjunto dos números inteiros
Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Q = conjunto dos números racionais
Q = {x | x = p/q,p,q ∈ Z, q ≠ 0}
R = conjunto dos números reais
Conjunto especial:
- O conjunto vazio, ∅, é o conjunto que não tem elementos.
- Pode-se falar na repsentação de ∅?
Exemplos:
∅ = {x | x ∊ N, x > e x < 0}
∅ = {x | x ∊ Z, 2x - 1 = 0}
Definição de igualdade:
- Os conjuntos A e B são iguais quando têm os mesmos elementos.
- Notação A = B
Exemplo:
Sejam A = {1,3,a} C = {1,3,1,a} B = {3,a,1} D = (2,3,a}
Os conjuntos A, B e C são iguais, A = B = C
A é diferente de D, A ≠ D
Definição de Igualdade:
- Um conjunto A está contido em um conjunto B se todo elemento de A é elemento de B
- Notação: A ⊆ B
Exemplo 1: N = {1,2,3,4,…}
P = {2,4,6,8,…}
S = {0,1}
P está contido em N, P ⊆ N
S não está contido em N, S ⊆ N
Exemplo:
A = {1,3,a}
B = {3,a,1}
A ⊆ B e B ⊆ A
Conclusão: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A
é equivalente
Observação:
A ⊆ B
- A está contido em B
- A é subconjunto de B
- B contém A (B⊅ A)
Definição de Inclusão estrita:
- A ⊆ B e A ≠ B
- Notação: A ⊂ B (A está contido estritamente em B)
Exemplo 1:
N = {1,2,3,4,...}
P = {2,4,6,8,...}
P ⊆ N, mas 1 ∈ N e 1 ∉ P
N ≠ P
Conclusão: P ⊂ N
Definição de Inclusão estrita:
- A ⊆ B e A ≠ B
- Notação: A ⊂ B (A está contido estritamente em B)
Exemplo 1:
N = {1,2,3,4,…}
P = {2,4,6,8,…}
P ⊆ N, mas 1 ∈ N e 1 ∉ P
N ≠ P
Conclusão: P ⊂ N
- Observação:
- Para todo conjunto: ∅ ⊆ A
- Para todo conjunto: A ≠ ∅ : ∅ ⊂ A
Conjunto de partes de um conjunto:
- Considere o conjunto A:
- O conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Exemplo:
Seja A = {1,2,3}
Então
P(A) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Observação:
- Os elementos de P(A) são conjuntos:
Exemplo:
A = {1,2,3}
P(A) = {∅ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
- {1} ∈ P(A) pois {1} ⊆ {1,2,3}
- 1 ∉ P(A)
- {{1}, {1,2,3}} ⊆ P(A)
- {{1}} ⊆ P(A)
- ∅ ∈ P(A)
Resumo:
Conceitos/Notação
- Conjunto: A, B,…
- Elemento: a,b,x,…
- Relação de pertinencia: x ∈ A, (x ∉ A)
- Relações entre conjuntos: Igualdade: A = B, (A ≠ B) Inclusão: A ⊆ B, (A ⊈ B) Inclusão estrita: A ⊂ B, (A ⊄ B) Conjuntos especiais: ∅, P(A)
Propriedade: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A
