Mængder (færdig) Flashcards
Hvad er en mængde?
Kom med et eksempel.
En samling af elementer.
F.eks. B = {1,2,3}
Hvor 2 er et element i B - betegnet med 2 ∈ B.
Hvad er kardinalitet? Og hvordan beregner man det?
Kardinalitet er en størrelse - det er mængden af antallet af forskellige elementer. Det skrives n = |A|.
Hvis A = {1,2,2,3}, så vil |A| = 3
Fordi det ikke tæller at 2 går igen.
Hvad er et kartesisk produkt?
Hvis vi har mængden A og mængden B, så vil det kartesiske produkt være mængden af alle ordnede par. (Skrives A X B)
Hvor et ordnet par er {{a},{a,b}}
fx (1,2) = {{1}, {1,2}}
Det betegnes A x B = {(a,b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}
Det første element kommer fra A, det andet element kommer fra B.
Mængdenotationen viser, at der findes et par (a,b) der opfylder betingelsen at a er et element i mængden A og b er et element i mængden B.
Hvor (a,b) er en n-tupel.
Kan man sige at A x B = B x A?
Det er et eksempel på at sætte to kartesiske produkter lig hinanden. Det kan man ikke, da man ikke kan bytte om på rækkefølgen, når der er tale om ORDNEDE par.
En n-tupel er netop ordnet.
Kun ja hvis (A = Ø ∨ B = Ø ) ∨ A = B.
Hvad er et Venn diagram? Evt. kom med et eksempel.
Et Venn-diagram bruges til grafisk at illustrere elementerne i en eller flere mængder. Det gøres ved at tegne en mængde som en cirkel.
Man kan f.eks. tegne to mængder (to cirkler) og via Venn-diagrammer vise hvad der er deres foreningsmængde/fællesmængde/komplementærmængde/differencemængde.
Hvad er den tomme mængde?
En mængde uden elementer.
Kardinaliteten er altså lig 0.
Det skrives med Ø = { }.
Hvad er mængden af naturlige tal?
Naturlige tal betegnes med N.
Det indebærer: {0,1,2…}
Dvs. alle positive heltal.
Hvad er mængden af rationelle tal?
Rationelle tal betegnes med et Q.
Det indebærer: {x|x = n / m, n, m ∈ Z, m ≠ 0}
Dvs. alle heltal samt alle brøker, hvor
nævneren dog ikke må være lig 0. Således også decimaltal
Hvad er mængden af reelle tal?
Reelle tal betegnes med et R.
Det indebærer alle rationale tal og irrationale tal. Dvs. stort set alle tal.
Hvordan relaterer De Morgans lov(e) sig til mængder?
Evt. tegn et eksempel med to mængder A og B.
De Morgans love er logiske regneregler - viser at noget er logisk ækvivalent.
Udsprang af udsagnslogik:
1) ¬(p∧q)≡¬p∨¬q
2) ¬(p∨q)≡¬p∧¬q
De Morgans love ift. mængder: viser at fællesmængden af komplimentærmængden af A (vist med A med streg over) og komplimentærmængden af B er logisk ækvivalent med komplimentærmængden af A forenet med komplimentærmængden af B.
1) ̅ ( ̅ A ̅ ∩ ̅ B ̅ ) ̅ = ̅ A ̅ ∪ ̅ B ̅
dvs. komplimentærmængden af A forenet med komplimentærmængden af B
2) ( ̅ A ̅ ∪ ̅ B ̅ ) ̅ = ̅ A ̅ ∩ ̅ B ̅
Prøv at tegn et eksempel med to overlappende mængder A og B i universet U.
Hvad er en foreningsmængde?
Og hvordan beregner man den/afbilder man den i et Venn-diagram?
Med mængderne A og B defineres foreningsmængden som A U B.
Dvs. A U B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Mængdenotationen betyder at foreningsmængden er lig et sæt (en mængde), hvor det første x står for alle mulige tal og det andet x har en betingelse der skal opfyldes og dermed begrænser mængden. I dette tilfælde at x skal være et element i mængden A ELLER at x skal være et element i mængden B.
Venn-diagram tegnes med to cirkler der begge er helt afkrydsede.
Hvad er en fællesmængde?
Og hvordan beregner man den/afbilder man den i et Venn-diagram?
Med mængderne A og B defineres fællesmængden som A ∩ B.
Dvs. A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Mængdenotationen betyder at fællesmængden er lig et sæt (en mængde), hvor det første x står for alle mulige tal og det andet x har en betingelse der skal opfyldes og dermed begrænser mængden. I dette tilfælde at x skal være et element i mængden A OG at x skal være et element i mængden B.
Venn-diagram tegnes med to cirkler, der overlapper hinanden og der hvor de overlapper er der afkrydset.
Hvad er en differencemængde?
Og hvordan beregner man den/afbilder man den i et Venn-diagram?
Med mængderne A og B defineres differencemængden som A - B.
Dvs. A - B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Mængdenotationen betyder at fællesmængden er lig et sæt (en mængde), hvor det første x står for alle mulige tal og det andet x har en betingelse der skal opfyldes og dermed begrænser mængden.
I dette tilfælde at x skal være et element i mængden A OG at x IKKE skal være et element i mængden B.
Venn-diagram tegnes med to cirkler, der overlapper hinanden. A er afkrydset overalt hvor de to cirkler IKKE overlapper.
Hvad er en komplimentærmængde?
Og hvordan beregner man den/afbilder man den i et Venn-diagram?
Med mængderne A og B i universet U defineres komplimentærmængden som ̅A ̅.
Dvs. ̅A ̅ = { x ∈ U | x ∉ A}
Mængdenotationen betyder at fællesmængden er lig et sæt (en mængde), hvor det første x har betingelsen at x skal være et element i universet U. Det andet x har også en betingelse der skal opfyldes og det er at x IKKE må være et element i mængden A.
Venn-diagram tegnes med en cirkel A i universet U. Alt der ikke er mængden A skal afkrydses.
Hvad er en potensmængde? (powerset)
S er en mængde. Potensmængden af S er en mængde, der indeholder alle delmængder af S.
Dvs. P(S).
Eksempel:
S = {0, 1, 2}
P(S) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}
Dvs. 8 delmængder.
Et element i P(S) er altså en delmængde af S.
Kardinaliteten for S:
|S| = 3.
|P(S)|= 8
(fordi 2^3 er 8)
Eksempel:
|A| = n
|p(A)| = 2^|A| = 2^n
dvs. hvis |A| = 2 så er |p(A)| = 2^2 = 4
da 2 muligheder pr. element
