Ley de Gauss

Question 1

¿Que es la ley de gauss?

Answer 1

La ley de Gauss se trata de lo siguiente: Dada cualquier distribución general de carga, se rodea con una superficie imaginaria que la encierre y luego se observa el campo eléctrico en distintos puntos de esa superficie imaginaria. La ley de Gauss es una relación entre el campo en todos los puntos de la superficie y la carga total que ésta encierra

Question 2

¿Como es el campo electrico producido por una superficie respecto al formado por una carga puntual?

Answer 2

En concepto es lo mismo, van a ser lineas saliendo/ingresando al objeto que va a estar mas o menos juntas segun la densidad de carga (ver figura 22 pagina 751)

Question 3

Que pasa en cada uno de los siguientes casos respecto al flujo electrico, donde tenemos una superficie (caja):
A) Una particula positiva en su interior
B) Una particula negativa en su interior
C) Una carga positiva y una negativa en su interior
D) Ninguna carga en su interior
E) Ninguna carga en su interior pero ponemos una lamina cargada paralelamente a una de sus caras

Answer 3

A) La carga “fluye” hacia el exterior de la superficie
B) La carga “fluye” hacia el interior de la superficie
C) La carga neta en el interior de la superficie es 0, pero vamos a tener un flujo hacia el exterior en una de sus mitades, y en la otra flujo hacia el interior
D) No hay carga neta ni flujo en ningun sentido
E) En este caso, se puede interpretar como si el flujo “atravesara” la caja, entrando por el lado paralelo a la lamina y saliendo por el opuesto. La caja no posee carga neta

Importante recalcar que en realidad la carga electrica no fluye, pero usamos el concepto como una analogia

Question 4

Entonces, que podriamos concluir sobre el flujo electrico provocado por cargas externas a la superficie?

Answer 4

Las cargas afuera de la superficie no provocan un flujo eléctrico neto a través de la superficie: todo lo que entra sale

Question 5

Que relacion podemos encontrar entre la magnitud de la carga neta encerrada en una superficie y el flujo electrico?

Answer 5

El flujo eléctrico neto a través de las paredes de la superficie es directamente proporcional a la magnitud de la carga neta encerrada en la misma.

Question 6

Y si lo que aumenatarmos fuera el tamaño de la superficie? (tomar como referencia una caja, a la que le doblamos el tamaño)

Answer 6

El flujo electrico es independiente del tamaño de la superficie (siempre y cuando se mantenga la magnitud de la carga neta y su signo)

Question 7

Nota:

Answer 7

el flujo eléctrico se define como sigue: con respecto a cada cara de la caja, hay que calcular el producto de la componente perpendicular media de por el área de esa cara; luego se suman los resultados de todas las caras de la caja.

Question 8

¿Que dice el enunciado “cualitativo” de la ley de gauss?

Answer 8

Indica que el flujo electrico entrante/salientea traves de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta en el interior de la misma.

Question 9

Entonces, ahora que definimos el campo electerico mediante una analogia de flujo, ¿como calculamos este flujo a travez de una cierta superficie?

Answer 9

Cuando el área es perpendicular a la velocidad de flujo y la velocidad de flujo es la misma en todos los puntos del fluido, la tasa de flujo volumétrico dV/dt es el área A multiplicada por la velocidad del flujo v, que en nuestro caso, es el campo electrico (magnitud):
Φ=E*A
Donde E es la magnitud del campo electrico

Question 10

Pero, si ahora la superficie no fuera perpendicular al flujo, como variaria el calculo y porque? (breve explicacion)

Answer 10

Si la superficie no fuera perpendicular, deberiamos tomar en cuenta la superficie que se genera al proyectar la que tenemos, sobre un plano perpendicular al flujo: el area se modifica en un factor de cos(θ):
Φ=EAcos(θ)
MUY IMPORTANTE VER FIGURA PAGINA 754!!!

Question 11

Y si quisiese obtener el flujo en termios vectoriales?

Answer 11

En dicho caso necesitamos los vectores campo electrico (analogia al vector velocidad de un fluido) y el vector perpendicular al plano por donde “fluye” el campo:
Φ=A ̅*E ̅

Question 12

Extra: ¿El angulo entre cuales dos elementos es el que nos interesa?, ¿Que angulo hay entre ellos cuando el flujo es maximo?
(es maximo para el area de la forma original y la carga ya definida)

Answer 12

Nos interesa el angulo entre el vector campo electrico y el vector normal al plano por el que fluye
Este es maximo (para las condiciones dadas) cuando son paralelos

Question 13

Como sabemos, un area por la cual pasa el campo electrico tiene dos lados, es decir, hay dos sentidos posibles para “A”, Segun el sears (y la conviccion que se usa en general) cual es la direccion que definimos como positiva?

Answer 13

Se considera flujo positivo cuando SALE de la superficie, por lo cual decimos que cuando tenemos un valor positivo de Φ, hay “flujo hacia afuera”, y cuando tenemos signo NEGATIVO, hay “flujo hacia adentro”

Nota: siempre conviene que el vector A sea paralelo a el flujo

Question 14

Pero, todas las situaciones anteriores son para campos electricos uniformes y areas planas, ¿como se procede si no se dan estas dos condiciones?

Answer 14

Aquí se divide A en muchos elementos pequeños dA, cada uno de los cuales tiene un vector unitario perpendicular a él, y un vector de área El flujo eléctrico se calcula a través de cada elemento y los resultados se integran para obtener el flujo total
∫ E ̅ dA ̅ = ∫EdA*cos(Φ)
El dA es porque de la superficie de paso, tomamos infinitos pequeños tramos y calculamos el flujo que pasa por cada uno de ellos

Question 15

Nota:

Answer 15

el flujo eléctrico ∫EdAcos(Φ) es igual al valor medio de la componente perpendicular del campo eléctrico, multiplicado por el área de la superficie. (ver pagina 755)

Question 16

¿Que sucede respecto a el flujo total (suma del flujo por todas las caras) si por un cubo sin carga hacemos fluir un campo electrico?
¿Y si luego lo rotamos en un angulo theta?

Answer 16

-Como sabemos, el flujo va a ser 0, ya que lo que entra por el frente, sale por detrás, y por los costados o el techo no pasa nada por ser perpendiculares
-En el caso de que rotemos el cubo, el resultado va a seguir siendo el mismo: Las cargas afuera de la superficie no provocan un flujo eléctrico neto a través de la superficie: todo lo que entra sale

Question 17

Si tenemos una esfera con una carga dentro, y evaluamos el flujo, y luego la expandimos, que pasa con el flujo?

Answer 17

El flujo electrico es independiente del tamaño de la superficie (siempre y cuando se mantenga la magnitud de la carga neta y su signo)

Question 18

Explicar brevemente porque si aumento el radio de la esfera a una del doble, el flujo electrico en la superficie continua siendo igual

Answer 18

como el campo eléctrico debido a una carga puntual es inversamente proporcional a r^2, la magnitud del campo sobre la esfera de radio 2R es de la magnitud sobre la esfera de radio R. Así, el flujo eléctrico es el mismo para las dos áreas e independiente del radio de la esfera ya que luego se multiplica por el area, la cual es 4 veces mayor

Question 19

Y si la superficie exterior fuese irregular y mas grande? ¿Porque es asi?

Answer 19

Aplicaria el mismo principio, ya que si tomamos un area de la esfera y la proyectamos sobre la otra superficie, asi como aumenta el radio (distancia) aumenta el area de paso manteniendo constante el flujo.

Nota: Φ=q/ε
(esta ecuacion se cumple para CUALQUIER superficie cerrada con carga)

Question 20

Que debe ocurrir en un cuerpo cualquiera para que alli se “acumulen” las lineas de campo, o “partan” desde alli?

Answer 20

Las líneas de campo eléctrico comienzan o terminan dentro de una región del espacio sólo cuando en esa región existe carga.

Question 21

En resumen, ¿que dice la ley de gauss?
Escribir las distintas ecuaciones (equivalentes)

Answer 21

La ley de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre ε0.
∫EdAcos(Φ) = ∫ E ̅ *dA ̅ =q/ε0

Question 22

Nota:

Answer 22

La ley de Gauss ofrece una relación entre el campo eléctrico en una superficie cerrada y la distribución de carga dentro de esa superficie.

Question 23

Si al analizar el flujo a traves de una superficie Gaussiana, hay una carga fuera pero cerca de esta, ¿como afecta al flujo neto dentro de ella?

Answer 23

Las cargas en el exterior no contribuyen al flujo total (neto) a través de la superficie. Por lo tanto, las ecuaciones son correctas aun cuando haya cargas afuera de la superficie que contribuyan al campo eléctrico en esta última.

Question 24

¿Para que se puede usar la ley de Gauss?

Answer 24

-Para conocer el campo generado por una distribucion de cargas (que tengan algun tipo de simetria)

-Para conocer la distribucion de carga dado el campo electrico que genera

Question 25

Si ponemos un excedente de carga sin movimiento en un material (solido) conductor, ¿que afirmacion podemos hacer sobre el posicionamiento de esta carga?

Answer 25

Podemos afirmar que la carga excedente se va a encontrar toda en la superficie del conductor

Question 26

¿Porque esto es asi? (breve explicacion)

Answer 26

Es asi ya que si hay una situacion electrostatica, entonces el campo debe ser 0 en cualquier punto dentro del conductor, entonces, si achicamos cada vez mas el conductor, hasta casi ser un punto, su carga debe ser 0 para respetar la ley de Gauss.

Question 27

¿Que pasa si el campo electrico es perpendicular y constante en cualquier punto de la superficie Gaussiana?

Answer 27

Si E es perpendicular (normal) en cada punto de la superficie con área A:
-si apunta hacia fuera desde interior de la superficie, y si también tiene la misma magnitud en todos los puntos de la superficie, entonces E’ = E = constante y ∫E’*dA sobre la superficie es igual a EA.
-Si en vez de ello, es perpendicular y apunta hacia dentro, entonces

Nota: donde esta E’ significa que es la componente perpendicular (a la superficie gaussiana) del campo electrico

Question 28

Nota:

Answer 28

Si no hay carga dentro de la superficie, pero dentro si, y busco el campo en un punto dentro de la misma, este NO NECESARIAMENTE ES 0.
Otra cosa es que busque el flujo total a traves de la superficie, en dicho caso SIEMPRE ES 0 (carga solo por fuera)

Question 29

Describir como es el procedimiento para encarar un ejercicio de esta seccion (generalizado)

Answer 29

1- Observar la simetria entre las cargas y elegir la superficie Gaussiana mas conveniente

2- Evaluar condiciones como: que el campo sea perpendicular en todos los puntos de la superficie, que sea 0, que sea tangente, entre otras posibilidades

3- Evaluar la integral de la Ley de Gauss observando si hay algun elemento constante (suele ser E, y cuando esto pasa, quedas Φ=E*A)

Nota: ver si o si los ejercicios al final de la seccion

Question 30

Describir como es el procedimiento para encarar un ejercicio de esta seccion (generalizado)

Answer 30

1- Observar la simetria entre las cargas y elegir la superficie Gaussiana mas conveniente
2- Evaluar la integral de la Ley de Gauss

Question 31

¿Como conviene encarar y que debo tener en cuenta en un ejercicio donde tengo una esfera conductora cargada?

Answer 31

En primer lugar observo que, justamente, mi superficie gaussiana debe ser una esfera, (de radio mayor a la conductora para evaluar fuera, y de radio menor para evaluar dentro)
Luego como el conductor es una esfera, el campo electrico es uniforme (igual en cualquier punto de la superficie) y radialmente saliente/entrante
Luego, como en todos los puntos de la sup. el campo es igual, y el area de una esfera es 4pir^2, la integral de Gauss se reduce a E*A

Nota 1: hay dos ecuaciones ya conocidas para el caso de estar la carga en la superficie de la esfera gaussiana, y por fuera de ella
Nota 2: el campo debido a la esfera con carga es equivalente al que habría si toda la carga estuviera concentrada en su centro.

Question 32

¿Como conviene encarar y que debo tener en cuenta en un ejercicio donde tengo una linea infinita de carga?

Answer 32

1-En este caso, las líneas de campo afuera de un alambre infinito con carga uniforme son radiales y se localizan en planos perpendiculares al alambre. La magnitud del campo
sólo depende de la distancia radial desde el alambre.
2-Luego, estas propiedades de simetría sugieren que, como superficie gaussiana, se utiliza un cilindro con radio arbitrario r y longitud arbitraria l, con sus extremos perpendiculares al conductor.
3-Luego Se descompone la integral de superficie para el flujo en una integral sobre cada extremo plano y otra sobre las paredes laterales curvas. A través de los extremos no hay flujo, ya que E es paralelo a ellos.
4-Para calcular el flujo a través de las paredes laterales, hay que observar que E es perpendicular a la superficie en cada punto, por lo que E = E’ por simetría, E tiene el mismo valor en cualquier lugar de las paredes (cuya area es 2pirh)
5-Por último, se necesita la carga total encerrada, que es la carga por unidad de longitud multiplicada por la longitud del alambre dentro de la superficie gaussiana (q=λl)

Nota 1: Se ha supuesto que l es positiva. Si fuera negativa, estaría dirigido radialmente hacia el interior, en dirección de la línea de carga
Nota 2: Hay una formula ya tabulada para este caso

Question 33

¿Como conviene encarar y que debo tener en cuenta en un ejercicio donde tengo un lamina delgada infinita con carga?

Question 34

Nota:

Answer 34

En los ejercicios de superficie Gaussiana se suele usar por un lado la expresion E*A (que tenemos gracias a haber elegido una superficie con simetria) y por el otro lado la expresion q/ε, en donde q la conseguimos gracias a tener su densidad de carga (lineal, superficial, volumetrica) y su longitud, area o superficie.
Luego se igualan estas expresion para despejar el campo o la variable solicitada.

Question 35

Nota 2:

Answer 35

Para determinar la carga se tiene que conocer el campo
eléctrico en todos los puntos de la superficie gaussiana: si es una superficie irregular o asimetrica, no es conveniente

Question 36

Sabemos que si en un conductor hay exceso de carga, este esta todo en la superficie y en situacion electrostatica, tanto el campo electrico como la carga neta son 0 en su interior… Pero, ¿que pasa si hacemos un agujero y ponemos una carga por ejemplo positiva dentro del mismo?

Answer 36

En este caso, el campo electrico (y por tanto la carga) dentro de la cavidad debe ser 0 (averiguar pq), entonces, la carga que colocamos en la cavidad se debe estar encontrando compensada por alguna distribucion de cargas negativas en su superficie.
¿En que lugar de su superficie? pues, si en la superficie del conductor tenemos exceso de carga positiva, entonces esta distribucion va a estar en el borde externo de la cavidad para asi compensar al conductor

Question 37

Pero, ¿que pasa si la carga que agregamos en la cavidad es de distinto signo que la encontrada en la superficie del conductor?

Question 38

Si en un ejercicio me plantean que tengo una cierta carga +Q en la superficie de un conductor y otra carga +q en la cavidad, y me piden calcular la carga la superficie externa del primero, que hago?

Answer 38

Es muy sencillo, solo debo tener en cuenta que en la superficie de la cavidad hay una carga -q que esta alli para compensar q, entonces dentro del conductor estan -q y Q, y su suma es la carga en la superficie externa.

¿Y en la superficie interna? debe ser 0?

Question 39

Si tengo dos elementos, uno cargado y otro no (un recipiente conductor cerrado), sabemos que al acercar el cargado, este induce dipolos sobre la superficie del conductor, pero, ¿Que pasa si dejamos que se toquen?

Answer 39

Cuando se toque, debemos pensarlo como que la carga es la cavidad cargada, entonces su carga debe ser 0, por lo cual es facil deducir que su carga va a ser compensada por las las cargas de signo opuesto que se encuentran en la superficie del conductor.
Luego de esto el conductor queda netamente cargado con el mismo signo que tenia la carga original (ver pag 768)

Question 40

Explicar brevemente, ¿como funciona la jaula de Faraday?

Answer 40

Básicamente consiste en rodear el campo o objeto que deseamos proteger de otros campos, con un material conductor como puede ser cobre.

Al rodearlo de un material conductor, cuando el campo “pegue” contra el mismo, va a provocar una re-distribucion de los electrones libres en el conductor, acomodando la carga de signo contrario en el lado sobre el que pega.

Esta distribución de la carga ocasiona un campo eléctrico adicional de manera que el campo total en cada punto dentro de la caja sea igual a cero (ver pag 770)

Question 41

Nota:

Answer 41

La magnitud del campo entre dos placas conductoras infinitas con cargas opuestas es la misma en todas las distancias a partir de las placas, pero en todos los demás casos disminuye conforme aumenta la distancia a la superficie.

Question 42

Una esfera conductora hueca carece de carga neta. En el centro de la cavidad esférica dentro de la esfera hay una carga puntual positiva q. Se conecta un alambre conductor entre el exterior de la esfera y el terreno:
¿Se medirá un campo eléctrico fuera de la esfera?

Answer 42

No, ya que la carga interior va a inducir polos: el negativo en el borde mas interno del conductor y el positivo en el externo
Luego la carga positiva de el hueco y la negativa inducida del conductor se compensan, quedando unicamente la carga positiva en el borde externo
Finalmente al conectar a tierra, los electrones de esta ultima fluyen hacia la esfera compensando las cargas restantes

Question 43

Nota:

Answer 43

Recordar de esto ultimo que la tierra es absorvedor y proveedor infinito de electrones: absorve cuando conectamos objetos cargados negativamente y provee cuando conectamos objetos con carga neta positiva

(Repasar ejercicios pagina 771)

Question 44

¿Relacion entre ley de gauss y de coulomb?