Integrale indefinito

Question 1

Data una funzione esiste una funzione la cui derivata sia uguale alla funzione data?

Answer 1

Data una funzione f(x)=2x ci chiediamo se esista una funzione F(x) la cui derivata è proprio 2x. Una funzione di questo tipo viene detta primitiva di f(x).

Question 2

Cos’è una primitiva?

Answer 2

Una funzione F(x) è una primitiva della funzione f(x) definita nell’intervallo [a;b] se F(x) è derivabile in tutto (a b) e la sua derivata è f(x): F’(x) = f(x)

Question 3

La primitiva di una funzione è unica?

Answer 3

La primitiva di una funzione non è unica, infatti, in generale se una funzione f(x) ammette una primitiva, allora ammette infinite primitive del tipo f(x) + c(numero reale qualunque)

Question 4

Teorema sulla primitiva?

Answer 4

Se F(x) è una primitiva di f(x) allora le funzioni F(x) + c, con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole primitive di f(x)

Question 5

Cos’è l’integrale indefinito?

Answer 5

L’integrale indefinito di una funzione f(x) è l’insieme di tutte le primitive f(x) + c, con c numero reale qualunque. Si indica con… dove la funzione f(x) è detta funzione integranda e la variabile x variabile di integrazione.

Question 6

Come si ricava la primitiva fondamentale?

Answer 6

La primitiva fondamentale si ottiene per c=0

Question 7

Cos’è una funzione integrabile?

Answer 7

Una funzione che ammette una primitiva ( e quindi infinite primitive) si dice integrabile

Question 8

Condizione sufficiente di integrabilità?

Answer 8

Se una funzione è continua in (a,b) allora ammette primitive nello stesso intervallo.

Question 9

Prima proprietà di linearità?

Answer 9

L’integrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni.

https://www.google.com/search?q=prima+propriet%C3%A0+di+linearit%C3%A0&rlz=1C5CHFA_enIT929IT929&tbm=isch&source=iu&ictx=1&fir=k8-1BK61wEBJPM%252CG8vlGOJym9yGfM%252C_&vet=1&usg=AI4_-kTzRBghKgDkFd83pDJKQoHa-JyEtQ&sa=X&ved=2ahUKEwjzwrz5g_HwAhWHyaQKHfFGB-UQ_h16BAgOEAE#imgrc=k8-1BK61wEBJPM

Question 10

Seconda proprietà di linearità?

Answer 10

L’integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione.
https://www.google.com/search?q=seconda+propriet%C3%A0+di+linearit%C3%A0&tbm=isch&ved=2ahUKEwjwtO_8g_HwAhXDs6QKHXWVC7kQ2-cCegQIABAA&oq=seconda+propriet%C3%A0+di+linearit%C3%A0&gs_lcp=CgNpbWcQAzIECAAQGFC7ngdY7rYHYL24B2gDcAB4AIABWIgB3ASSAQE4mAEAoAEBqgELZ3dzLXdpei1pbWfAAQE&sclient=img&ei=oVKzYLDgKsPnkgX1qq7ICw&rlz=1C5CHFA_enIT929IT929#imgrc=qD6ac85rbXyQWM

Question 11

Nel caso in cui Alpha sia diverso da -1?

Answer 11

https://www.google.com/search?q=integrali+indefiniti+immediati&rlz=1C5CHFA_enIT929IT929&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwjm4ILZhPHwAhUIr6QKHbLSBDQQ_AUoAXoECAEQAw&biw=1309&bih=717#imgrc=I1NtPUWSZppsZM

Question 12

Nel caso in cui alpha sia uguale a -1?

Answer 12

https://www.google.com/search?q=integrali+indefiniti+immediati&rlz=1C5CHFA_enIT929IT929&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwjm4ILZhPHwAhUIr6QKHbLSBDQQ_AUoAXoECAEQAw&biw=1309&bih=717#imgrc=I1NtPUWSZppsZM

Question 13

Integrale della funzione esponenziale?

Answer 13

https://www.google.com/search?q=integrali+indefiniti+immediati&rlz=1C5CHFA_enIT929IT929&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwjm4ILZhPHwAhUIr6QKHbLSBDQQ_AUoAXoECAEQAw&biw=1309&bih=717#imgrc=I1NtPUWSZppsZM

Question 14

Integrazione per sostituzione?

Answer 14

Quando l’integrale non è di risoluzione immediata può essere utile applicare il metodo di sostituzione, che consiste nell’effettuare un cambiamento di variabile che consenta di riscrivere l’integrale dato in una forma che sappiamo risolvere.

Question 15

Integrazione per parti?

Answer 15

Date due funzioni f(x) e g(x) con derivata continua, in un intervallo (a b), consideriamo la derivata del loro prodotto:
https://www.google.com/search?q=integrazione+per+parti&rlz=1C5CHFA_enIT929IT929&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwif7cXwhfHwAhVS3qQKHXRtCogQ_AUoAXoECAEQAw&biw=1309&bih=717#imgrc=sZ-0j-ZV-jsYfM

Question 16

Quando introduciamo l’integrale definito?

Answer 16

Introduciamo l’integrale definito quando dobbiamo determinare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo chiuso.

Question 17

Cos’è un integrale definito?

Answer 17

Data una funzione f(x), l’integrale definito in un certo intervallo [a,b] ha un significato geometrico preciso: rappresenta l’area A compresa tra il grafico della funzione f(x), l’asse x e le due rette verticali x=a e x=b.

Question 18

Come si indica l’integrale definito?

Answer 18

è indicato con la scrittura ∫ba f(x) dx dove a e b sono gli estremi di integrazione, a è l’estremo inferiore e b è l’estremo superiore mentre f(x) è detta funzione integranda.

Question 19

Cosa afferma il teorema della media?

Answer 19

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo (a b), esiste almeno un punto z dell'intervallo tale che:
https://www.google.com/search?q=teorema+della+media&rlz=1C5CHFA_enIT929IT929&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwj9wsv5h_HwAhVL3KQKHcnoDpMQ_AUoAXoECAEQAw&biw=1309&bih=717#imgrc=xRk5X1gAHv67uM

Question 20

A cosa equivale geometricamente una funzione positiva?

Answer 20

Geometricamente se una funzione è positiva in (a b) il teorema della media esprime l’equivalenza fra un trapezoide e un rettangolo, aventi uguale base b - a. L’altezza del rettangolo è data dal valore di f in un particolare punto z dell’intervallo:

Questo valore è detto valore medio.

Question 21

A cosa serve il teorema di Torricelli-Barrow?

Answer 21

Il teorema fondamentale del calcolo integrale, chiamato anche teorema di Torricelli-Barrow, permette di collegare il concetto di integrale definito a quello di integrale indefinito, attraverso la funzione integrale.

Question 22

Enunciato del teorema del calcolo fondamentale

Answer 22

Se una funzione f(x) è continua in [a b] allora esiste la derivata della funzione integrale:

per ogni punto x dell'intervallo (a b) ed è uguale a f(x), cioè
F'(x)= f(x)
ovvero F(x) è una primitiva di f(x)

Question 23

Cosa otteniamo dal teorema fondamentale del calcolo integrale?

Answer 23

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo ottenere la formula per calcolare l’integrale definito. Ossia la formula di Leibniz-Newton.

Question 24

Formula Leibniz-Newton?

Answer 24

https://www.google.com/search?q=formula+leibniz+newton&rlz=1C5CHFA_enIT929IT929&tbm=isch&source=lnms&sa=X&ved=2ahUKEwittJHWivHwAhWLjqQKHbnNAWUQ_AUoAnoECAcQBA&biw=1309&bih=717&dpr=2.2#imgrc=I6isbpPgtXeoUM

Question 25

Quale regola vale per la formula di Leibniz-Newton?

Answer 25

L’integrale definito di una funzione continua f(x) è uguale alla differenza tra i valori assunti da una qualunque primitiva di f(x) rispettivamente nell’estremo superiore di integrazione e nell’estremo inferiore.