Hoofdstuk 3: Centrale kracht problemen Flashcards
Toon aan, via de Lagrange vergelijkingen, dat de beweging van 2 deeltjes die interageren via conservatieve krachten, equivalent is met enerzijds de vrije beweging
van het zwaartepunt, anderzijds de beweging van 1 deeltje met gereduceerde massa
onder een potentiaal die enkel afhangt van de relatieve positie van de 2 deeltjes.
3,1,1
Toon aan dat voor 1 deeltje onderworpen aan een conservatieve centrale kracht, de
beweging plaatsvindt in een vlak, namelijk het vlak door het krachtcentrum loodrecht op het draaimoment, dat een behouden grootheid is.
3,2,1
Ga over op bolco¨ordinaten en bespreek het particuliere geval als het draaimoment
rond het krachtcentrum verdwijnt, en het deeltje op een rechte door het krachtcentrum beweegt.
3,2,2
Toon aan dat bij een algemene beweging onder invloed van een conservatieve, centrale kracht de perksnelheid constant is. Anders gezegd: toon aan dat de positievector van het deeltje in zijn vlakke baan rond het krachtcentrum in gelijke
tijdsintervallen, gelijke oppervalktes beschrijft.
3,2,3
Toon aan, via behoud van draaimoment, dat de bewegingsvergelijking voor een
deeltje in een conservatief krachtveld kan gereduceerd worden tot een 2de orde differentiaalvergelijking in de afstand tot het krachtcentrum.
3,2,4
Toon aan, via behoud van zowel energie als draaimoment, dat het probleem gereduceerd kan worden tot een 1ste orde differentiaalvergelijking. Geef ook een formele
oplossing.
3,2,5
Toon aan dat de 1ste-orde radiale bewegingsvergelijking equivalent is met een 1-
dimensionaal probleem met fictieve potentiaal gelijk aan de som van de echte potentiaal en de centrifugale bijdrage. Schets het verloop van de fictieve potentiaal
in geval van de attractieve invers-kwadratische krachtwet, en geef een kwalitatieve
bespreking van de beweging voor verschillende waarden van de energie.
3,3,1
Zet de 1ste-orde radiale differentiaalvergelijking in r(t) om in een rechtstreekse
differentiaalvergelijking voor de orbitaal u(θ) met u = 1/r. Bespreek, in geval van
een gebonden beweging tussen twee keerpunten, de voorwaarde voor een gesloten
orbitaal.
3,4,1
In geval van een invers kwadratische krachtwet: voer de eccentriciteit in en bespreek
de keerpunten voor de verschillende waarden van de energie: E < 0 , E = 0 , E > 0
3,5,1
Toon aan dat de mogelijke orbitalen kegelsneden zijn, en dat de verschillende waar- den van de energie corresponderen met respectievelijk ellipsen, parabolen en hy- perbolen.
3.5.2
Bespreek de drie wetten van Kepler voor planetenbeweging
3.5.3
Toon aan dat, in het geval van een attractieve invers kwadratische krachtwet F = − k /r^2 . n_r , de LRL-vector een behouden grootheid is, en geef een interpretatie.
3.6.1
