Hoofdstuk 2: Variationele principes en de lagrangevergelijkingen Flashcards
Leid de Euler-Lagrange vergelijking af voor het volgende probleem: voor welke
functie y(x) die door de twee gegeven punten (x1, y1) en (x2, y2) gaat, is de volgende
integraal extremaal? Hier is f een gladde functie met 3 argumenten
2.1.1
Veralgemeen dit tot het probleem: voor welke functies (y1(x), …, yn(x)) die door
twee gegeven configuraties (y1(x1), …, yn(x1)) en (y1(x2), …, yn(x2)) gaan is de integraal
J extremaal. Leid de corresponderende Euler-Lagrange vergelijkingen af
2.2.1
Definieer de actie-integraal, dit is de tijdsintegraal van de Lagrangiaan tussen twee
tijdstippen, en toon aan dat de eis dat de actie-integraal extremaal is, resulteert in
de Lagrangevergelijkingen.
2.2.2
Toon aan dat de Lagrangiaan niet-uniek is, met andere woorden dat de Lagrange
vergelijkingen invariant zijn als een totale tijdsafgeleide van een functie van de
co¨ordinaten en de tijd bij de Langrangiaan wordt opgeteld.
2.3.1
Voer algemeen het canonisch toegevoegd moment pk van een veralgemeende variabele qk in. Toon aan dat dit een behouden grootheid is als de Lagrangiaan niet van
de variabele qk afhangt (met andere woorden qk is een cyclische co¨ordinaat).
2.4.1
Onderstel een conservatief systeem, en stel dat een veralgemeende co¨ordinaat correspondeert met een translatie van het systeem in een bepaalde richting. Toon aan
dat als de potentiaal invariant is onder een verandering van deze co¨ordinaat, de
projectie van de totale impuls volgens deze richting een behouden grootheid is.
2,4,2
Onderstel een conservatief systeem, en stel dat een veralgemeende co¨ordinaat correspondeert met een rotatie van het systeem rond een bepaalde as. Toon aan dat als
de potentiaal invariant is onder een verandering van deze co¨ordinaat, de projectie
van het totale draaimoment volgens deze richting een behouden grootheid is.
2,4,3
Toon aan dat in geval van holonoom-tijdsonafhankelijke bindingen en conservatieve
gegeven krachten, de Hamiltoniaan van het systeem een behouden grootheid is.
2,5,1
Toon aan via de stelling van Euler, dat in dit geval de Hamiltoniaan correspondeert
met de totale energie van het systeem
2,5,2
Ga na wat in het geval van conservatieve gegeven krachten, maar tijdsafhankelijke
holonome bindingen, de gevolgen zijn voor de Hamiltoniaan van het systeem.
2,5,3
