Funkcionális függőség

Question 1

Funkcionális függés

Answer 1

Az R séma két attribútumhalmaza, X és Y között, X -> Y-nal jelölt funkcionális függés előírja az alábbi megszorítást azokra a lehetséges rekordokra, amelyek egy R fölötti r relációt alkothatnak: bármely két, r -beli t1 és t2 rekord esetén, amelyekre t1[X] = t2[X] teljesül, teljesülnie kell t1[Y] = t2[Y]-nak is.

Question 2

Funkcionális függés tulajdonságai

Answer 2

1. A reflexivitás szabálya szerint egy attribútumhalmaz mindig meghatározza önmagát, vagy saját maga bármilyen részhalmazát.
2. Az augmentivitás szabálya szerint egy funkcionális függés mindkét oldalának ugyanazzal az attribútumhalmazzal történő bővítése újabb érvényes funkcionális függést eredményez.
3. A tranzitivitás szabálya szerint a funkcionális függések tranzitívak.
4. A dekompozíció szabálya azt mondja, hogy egy funkcionális függés jobb oldaláról eltávolíthatunk attribútumokat.
5. Az additivitás szabálya szerint funkcionális függések egy {X -> A1, X -> A2, …, X -> An} halmazát összevonhatjuk egyetlen X -> {A1, A2, … , An} funkcionális függéssé.

Question 3

Reflexivitás bizonyítása

Answer 3

Tegyük fel, hogy X ⊇ Y, és hogy léteznek t1 és t2 rekordok R valamely r relációjában úgy, hogy t1[X] = t2[X]. Ekkor t1[Y] = t2[Y], mivel X -> Y; ezért X -> Y-nak teljesülnie kell r-ben.

Question 4

Az augmentivitás bizonyítása

Answer 4

Tegyük fel, hogy X → Y fennáll R egy r relációjában, de XZ → YZ nem áll fenn. Ekkor léteznie kell t1 és t2 rekordoknak úgy, hogy
① t1[X] = t2[X],

② t1[Y] = t2[Y],

③ t1[XZ] = t2[XZ] és

④ t1[YZ] ≠ t2[YZ]. Ez nem lehetséges, mert ③-ból kapjuk, hogy

⑤ t1[Z] = t2[Z],
míg ②-ből és ⑤-ből kapjuk, hogy t1[YZ] = t2[YZ], ami ellentmond ④-nek.

Question 5

Tranzitivitás bizonyítása

Answer 5

Tegyük fel, hogy ① X → Y és ② Y →Z fennáll egy r relációban.

Ekkor tetszőleges t1 és t2 r-beli rekordokra, melyekre igaz, hogy ① t1[X] = t2[X], ① miatt kapjuk, hogy ③ t1[Y] = t2[Y]t; így ③-ból és a ②-es feltevésünkből azt is kapnunk kell, hogy ④ t1[Z] = t2[Z], ezért ezért X → Z-nek fenn kell állnia r-ben.

Question 6

Dekompozíció bizonyítása

Answer 6

① X → YZ adott

② YZ → Y, felhasználva a reflexivitás szabályát, és tudva, hogy YZ ⊇ Y

③ X → Y, alkalmazva a tranzitivitás szabályát ①-re és ②-re

Question 7

Additivitás bebizonyítása

Answer 7

① X → Y adott

② X → Z adott

③ X → XY, alkalmazva az augmentivitás szabályát ①-re, azt X-szel bővítvett; megjegyezve, hogy XX = X

④ XY → YZ, alkalmazva az augmentivitás szabályát ②-re, azt Y-nal bővítve

⑤ X → YZ, alkalmazva a tranzitivitás szabályát ③-ra és ④-re

Question 8

Pszeudotranzitivitás bebizonyítása

Answer 8

① X → Y adott

② WY → Z adott

③ WX → WY, alkalmazva az augmentivitás szabályát ①-re, azt W-vel bővítve

④ WX → Z, alkalmazva a tranzitivitás szabályát ③-ra és ②-re

Question 9

Armstrong-axiómák

Answer 9

A reflexivitás, az augmentivitás és a tranzitivitás szabálya együtt helyes és teljes.

Question 10

Helyesség

Answer 10

Ha adott egy R relációsémán fennálló funkcionális függéseknek egy F halmaza, akkor bármilyen függés, amely levezethető F-ből a három szabály segítségével, fenn fog állni R minden olyan r relációjában, amely kielégíti az F-beli függéseket.

Question 11

Teljesség

Answer 11

Három szabályt mindaddig ismételten alkalmazva, míg már nem kapunk újabb függéseket, előállítható az F-ből levezethető összes lehetséges függés teljes halmaza. Más szavakkal, F-ből kiindulva kizárólag a három szabály alkalmazásával meghatározható az F+ függések halmaza, amit F lezártjának hívunk.