Fundamentos Gerais Flashcards
O que é um vetor?
Um vetor é uma entidade matemática que possui magnitude e direção, representado como um elemento de um espaço vetorial.
O que é uma matriz?
Uma matriz é uma tabela retangular de números organizada em linhas e colunas, usada para representar sistemas de equações lineares ou transformações lineares.
Qual é a diferença entre matriz linha e matriz coluna?
Uma matriz linha tem uma única linha, enquanto uma matriz coluna tem uma única coluna.
Explique o conceito de combinação linear.
Uma combinação linear de vetores é uma expressão formada pela soma de vetores multiplicados por escalares.
O que significa dizer que um conjunto de vetores é linearmente independente?
Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Como determinar se uma matriz é invertível?
Uma matriz é invertível se seu determinante é diferente de zero e se suas colunas (ou linhas) são linearmente independentes.
O que representa o determinante de uma matriz quadrada?
O determinante é um escalar (número) que representa uma propriedade da matriz, como sua capacidade de ser invertida, e está relacionado ao volume de transformação.
O que é a transposta de uma matriz?
A transposta de uma matriz A é obtida trocando suas linhas por colunas.
Defina o produto escalar de dois vetores.
O produto escalar é uma operação que associa dois vetores a um número, calculado como u⋅v=∑ui * vi.
Explique o que é uma matriz diagonal.
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são todos zeros.
O que é a norma euclideana de um vetor?
A norma euclidiana de um vetor é a medida do comprimento ou magnitude desse vetor. Matematicamente, ela é calculada como a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor.
Descreva o que é uma matriz simétrica.
Uma matriz simétrica é uma matriz que é igual à sua transposta, ou seja, A=A^T.
O que é o posto de uma matriz?
É o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
Explique o que é um sistema homogêneo.
É um sistema linear da forma Ax = 0
Explique o que é um espaço vetorial.
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores, juntamente com operações de adição e multiplicação por escalares, que satisfaz axiomas como associatividade, comutatividade e existência do vetor nulo.
O que é um sistema de equações lineares?
É um conjunto de equações lineares que compartilham variáveis comuns e cuja solução é o conjunto de valores que satisfaz todas as equações simultaneamente.
Quais são os possíveis resultados de um sistema de equações lineares?
Um sistema pode ter uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
O que caracteriza um sistema possível e um sistema impossível?
Um sistema é compatível se possui pelo menos uma solução; caso contrário, é incompatível.
Como se representa um sistema linear na forma matricial?
Um sistema linear pode ser escrito como Ax=b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das incógnitas, e b é o vetor dos termos independentes.
O que é o método da eliminação de Gauss?
É um método que transforma o sistema linear em uma forma escalonada usando operações elementares nas linhas da matriz associada.
O que é uma matriz escalonada?
Uma matriz escalonada é aquela onde cada linha não nula tem seu primeiro elemento não nulo (o pivô) igual a 1 e localizado à direita do pivô da linha anterior.
O que é a forma escalonada reduzida de uma matriz?
Na forma escalonada reduzida, os pivôs são iguais a 1, e todas as entradas acima e abaixo dos pivôs são zero, facilitando a interpretação e solução do sistema.
Explique o que é uma matriz triangular.
Uma matriz triangular é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo (triangular superior) ou acima (triangular inferior) da diagonal principal são zeros.
Como se define a soma de dois vetores?
A soma de dois vetores u e v é obtida somando-se suas componentes correspondentes.
O que acontece quando um vetor é multiplicado por um escalar?
Suas componentes são multiplicadas pelo escalar, alterando sua magnitude (e possivelmente sua direção, se o escalar for negativo).
O que significa dizer que dois vetores são ortogonais?
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é igual a zero.
Qual é a relação entre combinação linear e dependência linear?
Se um vetor em um conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros, o conjunto é linearmente dependente.
Como determinar se um vetor é uma combinação linear de outros vetores?
Resolva um sistema linear em que o vetor dado é igual à combinação linear proposta dos outros vetores.
O que é a matriz identidade?
É uma matriz quadrada em que todos os elementos na diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0.
Qual é o impacto de multiplicar uma matriz pela identidade?
Multiplicar uma matriz pela identidade não altera a matriz original.
O que é o traço de uma matriz?
É a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada.
O que é uma matriz ortogonal quadrada?
Uma matriz ortogonal quadrada é uma matriz cuja inversa é igual à transposta.
Como verificar se duas matrizes são inversas?
Duas matrizes A e B são inversas se AB=BA=I, onde I é a matriz identidade.
Qual é o efeito de permutar linhas de uma matriz no determinante?
Permutar duas linhas inverte o sinal do determinante.
Qual é a relação entre álgebra linear e geometria analítica?
A álgebra linear fornece as ferramentas matemáticas para descrever objetos geométricos (como retas e planos) e suas transformações no espaço.
Explique a diferença entre sistemas lineares homogêneos e não homogêneos.
Um sistema homogêneo tem todos os termos independentes iguais a zero, enquanto um não homogêneo tem pelo menos um termo independente não nulo.
Como se define o conjunto solução de um sistema linear?
É o conjunto de todos os vetores que satisfazem as equações do sistema.
Por que a álgebra linear é chamada de “linear”?
Porque estuda objetos e operações que preservam a linearidade, como adição de vetores e multiplicação por escalares, sem elementos quadráticos ou exponenciais.
O que acontece com o determinante de uma matriz ao multiplicar uma linha por um escalar?
O determinante é multiplicado por esse escalar.
Como identificar uma matriz singular?
Uma matriz é singular se seu determinante for igual a zero.
Quais matrizes possuem inversa?
Todas as matrizes quadradas que não são singulares.
O que acontece com o determinante de uma matriz ao adicionar uma linha de uma matriz a outra?
Essa operação não altera o determinante da matriz.
Como multiplicar duas matrizes?
Multiplica-se cada elemento de uma linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes de uma coluna da segunda matriz, somando os produtos.
Qual condição é necessária para que você possa multiplicar duas matrizes A e B?
A quantidade de colunas de A deve ser igual à quantidade de linhas de B.
Qual é o vetor nulo?
O vetor cujos componentes são todos zero.
O que significa dizer que dois vetores são paralelos?
Eles possuem a mesma direção ou direções opostas.
Qual é a função da matriz identidade?
Funciona como o elemento neutro na multiplicação de matrizes.
O que significa que um sistema linear é impossível?
Significa que ele não possui solução.
Qual é a condição para que um sistema linear homogêneo tenha solução única?
O determinante da matriz associada deve ser diferente de zero.
O que é um vetor unitário?
É um vetor com magnitude igual a 1.
